山东建筑大学高数作业题答案第七章

第七章 空间解析几何与向量代数
1. 一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它的各顶点的坐标。

解 因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为
)0 ,0 ,2
2(a -, )0 ,0 ,2
2(a , )0 ,2
2 ,0(a -, )0 ,2
2 ,0(a , ) ,0 ,2
2(a a -, ) ,0 ,2
2(a a , ) ,2
2 ,0(a a -, ) ,2
2 ,0(a a .
2. 求点()5,3,4-M 到各坐标轴的距离。

解 点M 到x 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即 345)3(22=+-=x d . 点M 到y 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距离, 即 415422=+=y d . 点M 到z 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即 5)3(422=-+=z d .
3. 设, 3 , 2c b a v c b a u -+-=+-= 试用c b a 、、
表示v u 32-。

解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c . 4．若4=r ，它与轴u 的夹角为
3
π
，求r
在轴u 上的投影。

解 22
1
43
c o s ||j Pr =⋅=⋅=πr r u .
5. 一向量的终点在)7,1,2(-B ，它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4、4-和7，求此向量起点A 的坐标。

解 设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得 ⎪⎩⎪
⎨⎧=--=--=-7
74142z y x , 解得x =-2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (-2, 3, 0).
6. 设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算2
1M
M 的模、方向余弦、方向角以
及和21M M 方向一致的单位向量。

解 →
)1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21-=---=M M ; →
21)2()1(||22221=++-=M M ;
2
1c o s -=α, 2
2
cos =β, 21cos =γ; 32πα=, 43 πβ=, 3
πγ=.
7. 设k j i a 23--= 、k j i b -+=2 ，求:（1）b a b a ⨯⋅及 （2）()b a b a
232⨯⋅-及 （3）b a 、 的夹角的余弦。

解 (1) a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3, k j i k
j i b a 75
121 213++=---=⨯.
(2) (-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18, a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k . (3) 21
23
6143||||||) ,cos(^
==⋅=
b a b a b a .
8. 求{}4,3,4-=a
在{}1,2,2=b 上的投影。

解 2)142324(3
1
)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221|
|1|
|j Pr 2
22=⨯+⨯-⨯=
⋅-++=
⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b . 9. 已知)2,1,1(1-M 、)1,3,3(2M 、)3,1,3(3M ，求与21M M 、32M M 同时垂直的单位向量。

解 →
)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21-=-+-=M M , →
)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32-=---=M M . →→
k j i k j i n 446
220 142
3221--=--=⨯=M M M M ,
17
2161636||=++=n , )
223(17
1)446(17
21k j i k j i e --±
=--±
=为所求向量.
10. 已知, 3OB , 3k j k i OA +=+=求OAB ∆的面积。

解 根据向量积的几何意义, →
→
||OB OA ⨯表示以→OA 和→
OB 为邻边的平行四边形的面积,
于是∆OAB 的面积为
→
→
||2
1
OB OA S ⨯=. 因为→
→
k j i k j i +--==⨯333
10301OB OA , →→
191)3()3(||223=+-+-=⨯OB OA ,
所以三角形∆OAB 的面积为
→
→
19
2
1||21=⨯=OB OA S .
11. 一动点与两定点()1,3,2和()6,5,4等距离，求动点的轨迹方程。

解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有 (x -2)2+(y -3)2+(z -1)2=(x -4)2+(y -5)2+(z -6)2
, 即 4x +4y +10z -63=0. 12．方程0242222=++-++z y x z y x 表示什么曲面？
解 由已知方程得 (x 2-2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1, 即 2222)6()1()2()1(=++++-z y x ,
所以此方程表示以(1, -2, -1)为球心, 以6为半径的球面.
13. 将xoz 坐标面上的双曲线36942
2
=-y x 分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x 2-9y 2-9z 2
=36.
双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x 2+4z 2-9y 2=36.
14. 求椭圆抛物面2
2
2y x z +=与抛物柱面2
2x z -=的交线关于xoy 面的投影柱面和在xoy 面上的投影曲线方程。

解 由⎩⎨⎧-=+=2
2
222x
z y x z ，消去z 得曲线关于xoy 面的投影柱面方程为122=+y x ， 在xoy 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧==+0
1
22z y x
15. 求与坐标原点O 及点()4,3,2的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ 解 设点()z y x ,,满足题意，则有：
2
1)
4()3()2(2
2
2
2
2
2
=
-+-+-++z y x z
y x ，
化简整理得曲面的方程为：911634)3(322
22=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y x ；
它表示以⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
--
34,1,3
2为球心，以3292为半径的球面。

16. 求旋转抛物面)40( 22≤≤+=z y x z 在三个坐标面上的投影。

解 令z =4得x 2
+y 2
=4, 于是旋转抛物面z =x 2
+y 2
(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2
+y 2
≤4.
令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2
, 于是旋转抛物面z =x 2
+y 2
(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2
≤z ≤4. 17. 求过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程。

解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 18. 求过点()1,1,1-、()2,2,2--和()2,1,1-的平面方程。

解 n 1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n 2=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为
k
j i k
j i n n n 6930
1332021++-=-=⨯=,
所求平面的方程为 -3(x -1)+9(y -1)+6(z +1)=0, 即x -3y -2z =0.
19. 一平面过点)1,0,1(-且平行于向量{}1,1,2=a
，{}0,1,1-=b , 试求此平面方程。

解 所求平面的法线向量可取为 k
j i k
j i b a n 30
11112-+=-=⨯=,
所求平面的方程为 (x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即 x +y -3z -4=0.
20． 求与平面043=+-+z y x 平行，且在z 轴上截距等于2-的平面方程。

解 由题意，所求平面过z 轴上的点)2,0,0(-，且所求平面的法线向量为n =(3,1, -1),
所求平面的方程为 04)2()0()0(3=++--+-z y x , 即023=+-+z y x . 21．试确定k 的值，使平面0=+++k z y kx 、0=+++k kz ky x ： （1）互相垂直； （2）互相平行； （3）重合。

解 由题意，n 1=(k , 1, 1) , n 2=(1, k , k ) , 则：
（1）两平面互相垂直003},,1{}1,1,{21=⇔==⋅=⋅⇔k k k k k n n ，
（2）两平面互相平行111112
±=⇔=⇔==⇔
k k k
k k ，（3）两平面重合1111
=⇔=
=
=
⇔
k k
k k
k
k .
22．求平面0522=++-z y x 与xoy 坐标面的夹角的余弦。

解 此平面的法线向量为n =(2, -2, 1). 此平面与yOz 面的夹角的余弦为3
2
1)2(22|
|||) ,cos(cos 1
22^=+-+=
⋅⋅==i n i
n i n α; 此平面与zOx 面的夹角的余弦为3
21)2(22|
|||) ,cos(cos 1
22^-
=+-+-=
⋅⋅=
=j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为3
11)2(21|
|||) ,cos(cos 1
22^=
+-+=
⋅⋅==k n k n k n γ. 23．求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离。

解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为 1221|
1012221|2
22=++-⨯+⨯+=
d .
24． 求过点)4,2,0(且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。

解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, -3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求
直线的方向向量s , 即
k
j i k
j i s ++-=-=323
10201. 所求直线的方程为 1
4
3
22
-=-=-z y x .
25． 求过点)2,1,3(-且通过直线
1
2
35
4z y x =
+=
-的平面方程。

解 所求平面的法线向量与直线1
2354z
y x =+=
-的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为
k
j i k
j i s s n 22982
4112521--=-=⨯=. 所求平面的方程为 8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0, 即8x -9y -22z -59=0.
26． 求直线⎩
⎨⎧=--=++00
3z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角ϕ。

解 直线⎩
⎨⎧=--=++00
3z y x z y x 的方向向量为)2(21
1131
1)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k
j i
s -+=--=--⨯=,
平面x -y -z +1=0的法线向量为n =(1, -1, -1). 因为 s ⋅n =2⨯1+4⨯(-1)+(-2)⨯(-1)=0, 所以s ⊥n , 从而直线⎩⎨
⎧=--=++0
03z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角为0.
27． 证明直线 ⎩⎨
⎧=++-=-+7
272z y x z y x 与直线 ⎩⎨
⎧=--=-+0
28363z y x z y x 平行。

解
直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 的方向向量分别为 k
j i k
j i s 531
121211++=--=, k
j i k
j i s 15391
123632---=---=.
因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.。