Levi方程的Painleve分析和精确解
抽象函数的levi定理及应用
抽象函数的levi定理及应用
Levi定理，又称Levi恒等式，是一种算子的抽象函数，它可以用来表示一系列数学概念，例如拓扑、非曲面、向量空间等。
它最初由意大利数学家Giuseppe Levi提出，是一种非常有用的数学工具，用于描述和分析复杂的拓扑结构。
Levi定理描述了一种抽象函数，它把一个集合的元素映射到一个更小的集合的元素。
它在拓扑学中有特殊应用，可以用来构建有穷集合的结构。
这种函数有几个重要的性质：一是它可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中；二是它可以将一个集合中的元素映射到其子集中；三是它可以将集合中的元素映射到集合的子集的交集中。
Levi定理的应用广泛，它被广泛用于拓扑学、几何学、向量空间理论、图论和机器研究等领域。
它可以用来描述拓扑结构，从而求解复杂的拓扑问题。
它也可以用于求解向量空间和线性变换的性质，如线性独立性和线性可分性等。
它还可以用于机器研究中的分类问题，例如支持向量机。
fellenius法的解析解法
fellenius法的解析解法
求解非线性方程组是数学中一个重要的问题，它可以用来求解复杂的物理系统和工程系统。
Fellenius法是一种用于求解非线性方程组的解析解法，它是由瑞典数学家Fellenius于1930年提出的。
Fellenius法是一种迭代法，它的基本思想是：首先将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后用迭代法求解线性方程组，最后用求得的线性方程组的解来求解原非线性方程组。
Fellenius法的具体步骤如下：
（1）给定非线性方程组：
F(x)=0
（2）将非线性方程组转化为线性方程组：
F(x+h)=F(x)+J(x)h=0
其中，J(x)是非线性方程组的雅可比矩阵。
（3）用迭代法求解线性方程组：
h=h-J(x)^(-1)F(x)
（4）用求得的线性方程组的解来求解原非线性方程组：
x=x+h
Fellenius法是一种有效的求解非线性方程组的解析解法，它的优点是简单易行，可以快速求解复杂的非线性方程组。
但是，Fellenius法也有一些缺点，比如它的收敛性不够好，而且它只能求解某些特定类型的非线性方程组。
总之，Fellenius法是一种有效的求解非线性方程组的解析解法，它的优点是简单易行，可以快速求解复杂的非线性方程组，但也有一些缺点，比如它的收敛性不够好，而且它只能求解某些特定类型的非线性方程组。
(2+1)维Boiti—Leon—Pempinelli方程的精确解
ｌ 一 ｃ ” ＝ （ 一 ０ ［ 甜 ｒ ） ” ＋ ２ ０ 【 Ｖ ＝ ０ ， （ ９ ） 【 一 ａ ｃ ｖ ＝ ‘ ｖ ” ＋２ ａ ｕ ｖ ＝０ 。
对方程组 （ ９ ） 的第 一 个 方 程 积分 两 次 ， 忽 略
积 分常 数 ， 得
甜 一 号 一 ｄ ４ 。 （ １ ０ ）
级数
ｌ ，
）
Ｇ－
（ ３ ）
其 中
＝０ ， １ ， ２ ， …， ， ） 是 待 定 常数 ， 正 整数 ，由
平衡方程 （ ２ ） 的最 高 阶导 数 项 和 最 高 阶非 线 性项 来 决定 ， Ｇ满 足 Ｇ ” ＋ ２ Ｇ ＋ ｐ Ｇ＝ ０ （ ， 为 常数） 。 （ ４ ）
第４ １ 卷 第１ 期
２ ０ １ ３ 年２ 月
江汉 大学学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ． Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ ． Ｓ ｃ ｉ ． Ｅ ｄ ． ）
Ｖｏ ｌ ｜ ４１ Ｎｏ ． １ Ｆｅ ｂ ． ２ ０１ ３
（ ２ ＋ １ ） 维Ｂ ｏ ｉ ｔ ｉ — Ｌ ｅ ｏ ｎ — Ｐ ｅ ｍｐ ｉ ｎ ｅ ｌ ｌ ｉ 方 程 的精 确 解
２ （ ２十１ ） 维Ｂ Ｌ Ｐ方程的精确解
近年 来 ， 数 理学 家对 （ ２ ＋１ ） 维Ｂ Ｌ Ｐ方程
收 稿 日期 ：２ ０ １ ２ —１ ２ —０ ２ 基 金 项 目 ： 国 家 自然 科 学基 金 资助 项 目 （ １ １ ２ ７ １ ０ ６ ６ ） 作 者简 介 ：赵 艳 丽 （ １ ９ ８ ０ 一） ，女 ，助教 ，硕 士 ，研 究 方 向 ：偏 微 分 方程 。
４
方法 ， 文献 ［ １ ４ ］ 采 用广 义 代 数方 法 ， 文献［ １ ５ ］ 采
slln定理 -回复
slln定理-回复什么是slln定理？SLLN定理（Strong Law of Large Numbers）是概率论中的一项重要定理，它描述了随机变量序列的平均值在大样本下收敛于其期望值的概率。
SLLN定理是数理统计与概率论领域的基础理论之一，被广泛应用于实践中的数据分析和推断。
SLLN定理的数学表述如下：对于独立同分布的随机变量序列X₁，X₂，…，Xₙ，它们的期望值E(Xᵢ) = μ存在，且有限。
则对于任意给定的正数ε，有：P( (X₁+X₂+…+Xₙ)/n - μ> ε) →0, n→∞其中P表示概率，n表示样本量。
该定理说明了当样本量趋向于无穷大时，随机变量序列的平均值与期望值之间的差距趋于零的概率极高。
换言之，当样本量足够大时，随机变量序列的平均值能够准确地反映真实的期望值。
SLLN定理的证明是基于大数定律，其中最著名的是切比雪夫大数定律。
而SLLN定理则是对切比雪夫大数定律的进一步推广。
综合使用概率论、数理统计和数学分析方法，可以证明SLLN定理的有效性。
证明中的关键步骤包括：1. 根据独立同分布的假设，将随机变量序列拆解为独立同分布的随机变量之和。
2. 引入切比雪夫不等式，利用平均值的偏差的上界估计概率。
3. 通过取样本量趋向于无穷大，令概率极限趋于零，推导出SLLN定理的结果。
需要指出的是，SLLN定理是针对独立同分布的随机变量序列成立的，对于不满足这一假设的随机变量序列，可能需要使用其他的定理或方法进行推导。
SLLN定理的理论价值和实际应用都非常广泛。
在概率论和数理统计研究中，SLLN定理为研究随机变量序列的性质和收敛行为提供了基础。
在实际工程和科学问题中，SLLN定理为数据分析和推断提供了有效的理论支持。
例如，在统计学中，SLLN定理被用于验证样本均值和总体均值之间的关系。
通过对大样本随机抽样的研究，可以得出样本均值趋近于总体均值的结论。
这对于确定总体的特征值、评估统计推断的精确度等具有重要意义。
(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解
(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解赵艳丽【摘要】介绍了求解非线性偏微分方程的方法一(G'/G)-展开法.通过使用该方法,并借助Maple得到了(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli(简称BLP)方程的多种新精确解,其中包括双曲函数解、三角函数解和有理函数解等.【期刊名称】《江汉大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(041)001【总页数】4页(P19-22)【关键词】(2+1)维BLP方程;(G'/G)-展开法;扭结孤子解;符号计算【作者】赵艳丽【作者单位】成都理工大学工程技术学院基础部,四川乐山 614000【正文语种】中文【中图分类】O175.23寻找非线性偏微分方程的精确解是研究非线性偏微分方程的非常重要的问题，因为物理领域中的许多现象都可以用非线性偏微分方程来描述。
近年来，人们一直在想办法通过直接探讨非线性偏微分方程的准确解的结构来得到它的精确解，已获得了许多求解非线性方程的准确解的方法，例如：双曲正切函数展开法［1-3］、正弦-余弦法［2-3］、指数函数法［3-4］、Hirota's双线性法［5］、Jaco⁃bi椭圆函数展开法［6］、修改的tanh展开法［7］、辅助微分方程［8-10］等，文献［11］提出了(G′/G)-展开法，本文将利用这一方法构造BLP方程的精确解。
首先，利用一个行波变换ξ=α(x+y+ct)将非线性偏微分方程变成常微分方程下一步，把未知量U展开为含有(G′/G)的幂级数其中αi(i=0，1，2，…，l)是待定常数，正整数l由平衡方程（2）的最高阶导数项和最高阶非线性项来决定，G满足由方程（4）的解，我们可以得到关于(G′/G)的下列结果：其中 A1，A2为任意实数。
把方程（3）、（4）代入方程（2），可以得到一组关于(G′/G)的代数方程。
合并(G′/G)的同幂次项，令同幂次项的系数为零，可以得到一组关于αi(i=0，1，2，…，l)，α，c的代数方程。
N维Hamilton系统的Painleve分析及精确解
2
2
/list.php/50010404.html
/list.php/50011699.html
N 维 Hamilton 系统的 Painleve 分析及精确解
utt − u xx = − sin u
上式左边与线性波动方程类似. 目前,孤立子的数学理论已初步形成比较完整的理论系统, 而这些孤立子方 程的求解成为最受关注的问题,孤立子理论中已有一整套方法用于求解非线性偏 微分方程的精确解,为非线性偏微分方程（NPDE）及非线性科学注入了新的活力. 例如 1967 年 GGKM 发现的用一维 Schrodinger 方程求解方程初值问题的反散射方 法[5-8],在一定程度上可以看成非线性问题的傅立叶方法；利用多种变换和技巧 求解非线性偏微分方程精确解的 Darboux 变换[9-11]、Backlund 变换[12-18]、 Hirota 双线性方法[19-22],Painleve 分析法[24-29]、齐次平衡法、非线性化方 法、代数曲线方法等.这些方法涉及到经典分析、泛函分析、李群、李代数、无穷 维李代数、微分几何、代数几何、拓扑学、动力系统和计算数学等多个数学分支. 它们的发现和应用,不仅使得过去难以求解的非线性偏微分方程得以成功求解,而 且不断发现许多非线性方程的具有重要意义的新解. 给定一个非线性发展方程,如何判定它是否可用反散射方法（IST）求解？这 是孤立子理论的基本问题,在这方面至今虽有大量的工作,但较有成效的还属 Wahlquist 和 Estabrook 的延拓结构法[23]以及 Ablowitz 等人的化为 Painleve 方程的方法[24-29]. Ablowitz 等人发现从 IST 可解的偏微分方程（PDE）,用相似 约化方法得出常微分方程（ODE）,有非常简单的特征：都具有 Painleve 性质.比 如大家熟知的 Boussinesq 方程 utt = u xx + ( u2 1 ) xx + u xxxx ,MKdV 方程 2 4
一个新孤子方程的Painlevé分析及其精确解
在非线性物理问题的可积性研究 中， Ｗｅ ｉ ｓ ｓ Ｊ ， Ｔ ａ ｂ ｏ ｒ Ｍ和 Ｃ ａ ｍｅ ｖ ａ ｌ ｅ Ｇ（ Ｗ Ｔ Ｃ ） 建立的 Ｐ ａ ｉ ｎ ｌ ｅ ｖ ６
分析 方法 卜 是 众多 方法 中最 有用 的方 法 之一 ．将 该 方 法应 用 到 非 线性 偏 微 分 方 程 中 ， 可 以证
Ｂａ ｃ ｋ ｌ ｕ ｎｄ ｆａ ｎｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｉ ｓ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ． Ｓ ｏ ｍｅ ｅ ｘ ａ ｃ ｔ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｂ ｙ
ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ Ｓ ｃ ｈ ｗａ ｒ ｚ ｉ ａ ｎ ｄ ｅ ｉｖ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：Ｐ ａ ｉ ｎ ｌ ｅ ｖ ６ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ；Ｂａ ｃ ｋ ｌ ｕ ｎ ｄ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ；Ｓ ｃ ｈ ｗ ａ ｒ ｚ ｄ ｅ ｉ ｒ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ
中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． ２ ９
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ９— ７ ８ ２ １ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ２— ０ ０ ０ ５— ０ ５
Ｔｈ ｅ Ｐ ａ ｉ ｎ ｌ ｅ ｖ ６ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｆ ｏ ｒ ａ ｎ ｅ ｗ ｓ ｏ ｌ ｉ ｔ ｏ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ
分析方法对方程组（ １ ） 进行研究 ， 探讨其可积性并求方程组的解．
(2+1)维变系数kdv方程的新精确解
(2+1)维变系数KdV方程的新精确解是利用线性算子理论和Painlevé分析来求解的。
其中，线性算子理论是指通过研究线性算子来得到方程组解的方法，而Painlevé分析则是指利用Painlevé定理来确定是否存在精确解的方法。
这些新的方法在近年来得到了广泛的研究和应用。
在线性算子理论方面，通过对(2+1)维变系数KdV方程的Lax算子进行研究，可以得到这个方程的稳定性和解析解。
在Painlevé分析方面，首先需要将(2+1)维变系数KdV方程进行移项和变形，然后利用Painlevé定理对其进行分析，确定其是否存在精确解。
在新的研究中，已经得到了一些新的精确解和新的稳定性分析，为进一步研究(2+1)维变系数KdV方程提供了重要的理论基础。
除了线性算子理论和Painlevé分析之外，还有其他的方法可以求解(2+1)维变系数KdV方程的精确解，例如：Backlund变换: 它是一种将一个不确定方程变成另一个确定方程的变换方法，可以用来求解(2+1)维变系数KdV方程的精确解。
分离变量法: 它是一种将复杂的方程分解成若干个简单的方程的方法，可以用来求解(2+1)维变系数KdV方程的精确解。
特殊函数法: 利用类似于笛卡尔函数，紫函数等特殊函
数，将原方程转化为简单的形式，进而解决。
这些方法在近年来也都得到了广泛的研究和应用。
(2+1)维广义破碎孤子方程的Painleve可积性和多孤子解
Ｋｅ ｒ ｓ （＋１一ｉ ｎ ｉ ａ ｇｎ ｒｌ ｒａ ｉｇ ｏｉ ｎｅ ｕ ｔ ｎ Ｐ ｉｌ ６ ｎ ｌ— ｙｗｏ ｄ ２ ） ｍｅ ｓ ｎ ｌ ｅ ｅａ ｂ ｅｋｎ ｌｏ ａｉ ； ａｎｅ ａ ｄ ｏ ｓ ｔ ｑ ｏ ｖａ ｙ
ｓｓ Ｂｅ ｌ ｌ ｎｏ ｉ ｌ ｉ； ｌ ｐｏ ｙ ｍ ａ ；Ｈｉｏ ａ ｂ ｌｎ ａ ｒ ； ｏ ｉｏｎ ｓ ｌ ｔｏ ｒ ｔ ｉｉ ｅ ｒｆ ｍ ｓ ｌ ｏ ｔ ｏ ｕ ｉ ｎ
２ １ ａ ｈ ｍ ａ ｉｓＳ ｂ ｅ ｔＣｌｓｉｃ ｔｏ ３Ｃ ８ ３Ｋ ０ ３Ｅ ９ ０ ０ Ｍ ｔ ｅ ｔｃ ｕ ｊ ｃ ａ ｓｆ ａ ｉｎ ５ ０； ５ １； ５ ９ ｉ
Ｃ ｈｉ ｓ ｂｒ ｒ Ｃ ｌ ｓｆｃ ｔ ｏｎ Ｏ １ ５２ ｎｅ ｅ Ｌｉ ａ ｙ ａｓ ｉ ａ ｉ ｉ ７ ．９
２１ ０ ２年 ６月
Ｊ ｎ ０２ ｕ ．２ １
应用数 学与计算数学学报
ＣＯ Ｍ Ｍ Ｕ Ｎ．ＡＰＰＬ．Ｍ ＡＴＨ ．Ｃ０ Ｍ ＰＵＴ
第 ２ ６卷 第 ２期
ＶＯ１ ２ Ｎ ｏ． ．６ ２
文章编号： １０—３０２ １）２００ １ ０６６３ （０２０—２３１
（＋１ 维广义破碎孤子方程 的 Ｐ ｉｌ ６ ２ ） ａｎｅ ｖ 可 积性 和 多孤 子 解
３ Ｃ０ ； ５ ０ ３ Ｅ ９ ５ ８ ３ Ｋ１ ； ５ ９ 文献标志码 Ａ
２１ ０ ０数学分类号
中图分类号 Ｏ１ ５２ ７ ．９
Ｐａ ｎｌ ｖ ｎ ｅ ａ ｌ ｙ ａ ｕｌ ｉｓ ｌｔ ｎ ｉ ｅ ６ ｉ ｔ ｇｒ ｂｉｉ ｎｄ ｍ ｔ ｔ－ ｏ ｉｏ
ｓ ｌｔ ｎ ｏ （＋１一 ｉ ｎ ｉｎ ｌ ｏｕ ｉ ｓ ｆｒ ２ ） ｍｅ ｓ ａ ｏ ｄ ｏ
布拉格方程和谢乐方程
布拉格方程和谢乐方程布拉格方程和谢洛方程是物理学中的两个重要方程，它们分别描述了光的衍射和散射现象。
这两个方程的提出，极大地推动了光学领域的发展，为我们理解光的行为和性质提供了重要的理论基础。
布拉格方程是由德国物理学家布拉格父子提出的，它描述了光通过晶体时的衍射现象。
布拉格方程可以用如下形式表示：nλ = 2d sinθ其中，n是正整数，表示衍射的级数；λ是光的波长；d是晶体的晶面间距；θ是入射光线与晶面的夹角。
布拉格方程告诉我们，当入射光线满足特定的角度和波长条件时，会出现衍射峰，从而产生衍射图样。
这个方程的提出，为研究晶体结构提供了重要的工具和方法。
谢洛方程是由德国物理学家谢洛提出的，它描述了光在粒子表面散射时的现象。
谢洛方程可以用如下形式表示：I(θ) = |f(θ)|^2其中，I(θ)是散射光的强度；f(θ)是散射振幅。
谢洛方程告诉我们，光在散射时会发生干涉现象，从而产生不同方向上的散射光。
这个方程的提出，为我们研究材料的光学性质提供了重要手段。
布拉格方程和谢洛方程的提出，不仅为光学理论的发展做出了重要贡献，也为实际应用提供了理论基础。
例如，在材料科学中，利用布拉格方程可以研究晶体的结构和性质，从而设计出更好的材料。
在生物医学中，利用谢洛方程可以研究细胞、分子等微小结构。
这些应用都离不开布拉格方程和谢洛方程的指导。
布拉格方程和谢洛方程是物理学中两个重要的方程，它们描述了光的衍射和散射现象。
这两个方程的提出，推动了光学领域的发展，为我们理解光的行为和性质提供了重要的理论基础。
通过研究和应用这两个方程，我们可以更深入地认识光学现象，从而为科学研究和实际应用提供更多的可能性。
应用PDE讲解09StumLiouville问题
11
2.1 典则方程
特别关注二阶常微分方程的不同表现形式。
0
如果在有关区间上
0，可以换成
0 在方程两边分别乘以
合并，得到
exp
exp
0
从而得到方程
0 有导数项的系数本身与微分相联系的特性。
§2 解的零点与振荡性态 .................................................................... 11 2.1 典则方程..................................................................................... 12 2.2 Sturm 比较定理 ........................................................................ 13 2.3 Liouville 定理............................................................................. 19
§3 特征值与特征函数 ......................................................................... 23 3.1 特征函数正交性 ....................................................................... 23 3.2 特征值非负性 ........................................................................... 24 3.3 例子：热传导问题 ................................................................. 27
painleve方程的解析性质
painleve方程的解析性质在我国，第一个用三次指数幂级数表示函数关系式的数学家是王元。
一八七六年他发表了“关于方程根的三角函数表示法”一文，为高等代数学中引进幂级数做出了杰出的贡献。
但是，幂级数在应用中还有很多问题不清楚，今天这节课我们就来研究painleve方程的解析性质。
试验设计1-6，请同学们自己计算（注意写好计算过程）。
首先，请同学们讨论painleve方程的解析性质，然后把你所理解到的内容讲给大家听听。
试验结果和讨论如下：（ 1） painleve方程有两个解（ 2）根据方程的解析性质， painleve方程可以转化为下面的等式：①－③7-20，首先由学生观察分析得出下面的结论： painleve方程有两个解（ 2）根据painleve方程的解析性质， painleve方程可以转化为下面的等式：①－③21-24，在这里解答是要让学生明白：（ 1）已知条件①是可以利用根的三角函数表达式和根与系数的关系进行求解的，所以说painleve方程的解析性质也是用根的三角函数表达式和根与系数的关系求解的；（ 2）在⑤中，必须从左边找出a^2+bx-cx+c，再由对应的指数项求出解。
25-30，在这里解答要让学生明白：①是由一个比较特殊的方程——交错级数方程组求得的，并且可以直接将其化为ax+by+c=0的形式，由于该方程有两个实根，并且系数b、 c均为正数，所以，只需将a^2+bx-cx+c设为定值，即可求出ax+by+c=0，也就是说painleve 方程的解析性质主要研究在上式中当b=0时的情况。
这时方程可化为：x^3+2x+5y-8z=0。
31-35，在这里解答要让学生明白：①是由于交错级数相邻的各项的乘积出现了循环小数，所以，将交错级数的前一项设为负数，即可化为正数的形式，此时只需再把后一项设为定值，即可求得痛leve 方程的解析性质。
34-36，在这里解答要让学生明白：①是由于交错级数相邻的各项的乘积出现了负数，所以，将交错级数的前一项设为负数，即可化为正数的形式，此时只需再把后一项设为定值，即可求得painleve方程的解析性质。
levy-mises方程
levy-mises方程Levy-Mises方程是一种描述高分子材料粘弹性行为的模型，该方程由法国物理学家Paul Mises和塞尔维亚工程师Dimitri Lévy于1926年提出。
该方程广泛应用于高分子材料的工程设计和材料科学研究中，对于理解高分子材料的动态力学行为和预测其性能具有重要意义。
高分子材料是由大量重复单元组成的聚合物，具有高分子量、长链结构和聚集状态。
与传统的固体材料相比，高分子材料的粘弹性行为较为显著，即在受力后会表现出部分可恢复的变形和流动行为。
这种粘弹性行为是由于高分子材料的长链结构和聚集状态引起的。
Levy-Mises方程描述了高分子材料的应变率（strain rate）与应力（stress）之间的关系。
在一维情况下，该方程可以写作：σ=η(ε̇)ε̇+λε其中，σ是高分子材料的应力，ε̇是应变率，η是粘度函数（viscosity function），λ是弹性模量，ε是应变。
粘度函数η描述了高分子材料在不同应变率下的粘性特性。
由于高分子材料具有聚集状态，其粘滞效应会导致材料的粘度随应变率的增加而增大。
这种粘滞效应是由于高分子链的断裂和重组，以及分子间的空间重新分布引起的。
因此，粘度函数η可视为应变率对粘滞性的一种度量。
弹性模量λ描述了高分子材料的弹性特性。
弹性模量反映了高分子材料在受力后能够恢复原状的能力。
与传统的固体材料不同，高分子材料的弹性模量受到粘滞性的影响。
即使在没有外力作用时，高分子链的重组和分子间的空间再排列也会导致材料的应变。
Levy-Mises方程还可以描述高分子材料的非线性粘弹性行为。
当应力变化较大时，高分子材料会表现出非线性的粘弹性响应，即应变率不仅与应力成正比，还与应力的平方和立方有关。
这种非线性粘弹性行为是由于高分子材料的聚集状态和分子间相互作用引起的。
Levy-Mises方程的应用范围广泛。
在工程设计中，该方程可以用于预测高分子材料的变形和流动行为，从而指导产品的选择和设计。
koutecky-levich方程
koutecky-levich方程Koutecky-Levich方程由Jan Koutecký和John Levich于1960年提出，用来描述电解反应的速率方程。
它结合了影响电解反应的不同变量，提出一个性能综合考虑的速率方程。
这是一个非常重要的方程式，它可以帮助我们了解电解反应，从而研究电解质和化学电源。
这个方程也有助于更好地进行电解反应的活化能计算，可以帮助优化应用到实际工艺中的反应系统。
Koutecky-Levich方程的基本形式为：RCdd = k [an+]b [bn-]c [cn+n-]d，其中R为电极面积，C代表电容，k是反应速率常数，指数a,b,c,d表示参与反应的物质的正负电荷数。
Koutecky-Levich方程涉及两个重要的參數：电位（电势差）ΔEm和界面粗糙度α.ΔEm是指电极之间的电势差，而α主要受电极表面浸润消费性（即氧化还原反应）影响后变大。
Koutecky-Levich方程最常用于电解液电位优化技术中，其主要特点是可以跟踪电位的精确变化，同时也可以帮助电解液的优化，最终达到电解液的最佳运行，从而可以最大程度地提升电解反应的效率。
Koutecky-Levich方程还可以用于研究电极表面对电解反应影响，在研究不同类型电极时非常有用，这样可以帮助研究人员在做研究时独立地改变代表电位和界面粗糙度的参数，从而更好地理解反应机理。
Koutecky-Levich方程可以用于研究氧化还原反应、电阻热和扩散阻力等多种参数，这将帮助提高对可再生能源的利用效率，加快新型电池的研发工作，为环境污染减轻指明方向。
Koutecky-Levich方程也在生物学和分子生物学等领域提供了新平台，可以帮助。
总之，Koutecky-Levich方程是一个非常重要的方程，它可以帮助研究者更好地理解电解反应，为实践提供有用的参考，这对我们的电池技术和可再生能源的发展具有极其重要的作用。
Painleve方法构造Hirota—Satsuma方程组的精确解
应用到非线性偏微分方程组 ,不 [１９~２１] 仅 可 以 得 到 诸 如 Painlev������性 质、Lax 对、双 线 性 型、
变 换[１１~１６]
等性质,还可以得到可积和不可积模型的严格 解．具 体 地 说,如 果 WTC 方 法 考 虑 一 个 给 定 的 非 线 性 偏 微 分
Байду номын сангаас
方程:
方法２:按照 Painlev������求常微分方程调谐 因 子 方 法,假 设u＝u０ϕ－ρ＋ujϕj－ρ,将u 代 入 原 方 程,提 取 出ϕ 的最低次幂项,得到:Q(j)uj＝０,这里 Q(j)＝０,为j 的代数方程,代数方程的根就是方程(１)的共振点．
∗ 收稿日期:２０１８Ｇ０７Ｇ１３ 基 金 项 目 :国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 (１１１７１０４１) 作 者 简 介 :唐 晓 苓 (１９９５— ),女 ,青 海 海 东 人 ,在 读 硕 士 研 究 生 ,研 究 方 向 :偏 微 分 方 程 ． 刘 汉 泽 (１９６２— ),男 ,山 东 滨 州 人 ,教 授 ,博 士 ,硕 士 生 导 师 ,研 究 方 向 :偏 微 分 方 程 ．
将ρ代入(２)中得到u 的展开形式,将u 的展开式代入方程(１)中,比较ϕ 的同次幂项,令其系数为零,可 以 求 得 uj(j＝０,１,２,������ ������ )的 值 ．
步 骤 三 :寻 找 共 振 点
方法１:将u,u０,ρ代入方程(１)中,可以得到关于uj 的递推关系式,通过观察uj 的系数就可 以 得 到 共 振 点．
V第ol４０．４０卷 第N５o期．５
菏泽学院学报 JournalofHezeUniversity
O２c０t１８． 年２１００１８月
painleve方程综述
Painleve方程是一种非线性微分方程，其研究在非线性科学中具有重要的地位。
Painleve分析方法被广泛用于判定非线性微分方程的可积性和求解。
对于高阶的Levi方程，Painleve分析主要涉及调谐因子的计算和Painleve测试，以确定方程是否具有Painleve性质。
此外，相容性分析也被用于将方程组的解的奇异流形展式截断为有限项的形式。
对于(1+1)维Levi方程，可以利用WTC方法进行Painleve分析。
通过仿照Painleve求解常微分方程（组）调谐因子的方法，可以得到(1+1)Levi方程的调谐因子，并通过Painleve测试证明方程具有Painleve 性质。
此外，还可以通过相容性分析得出相容方程，从而将方程组的解的奇异流形展式截断为有限项的形式。
利用Schwarz导数及其性质可以得到方程的一类精确解，同时得到方程的一个自Backlund变换。
对于(2+1)维Levi方程，同样可以使用WTC方法进行Painleve分析。
特别地，对于特殊情况下的耦合(2+1)维Levi方程，可以得到其单孤子解、双孤子解及多孤子解。
对于求得的Levi方程的精确解，可以选择适当的参数，利用Matlab作出了解的图形，并根据图形分析解的性质。
在对耦合(2+1)Levi方程双孤子解图像的分析中，还可以讨论孤立波的裂变现象。
对于(1+1)维Levi方程主导项系数的情况，也可以进行Painleve测试，得到这些情况下的相容方程组。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学领域的专家。
(1+1)维混合KdV方程的Painlevé截断展开和精确解
(1+1)维混合KdV方程的Painlevé截断展开和精确解陈南;倪程杰
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2022(42)10
【摘要】利用Painlevé截断展开法对(1+1)维混合Kd V方程
u_(t)+a_(0)u_(x)+a_(1)uu_(x)+a_(2)u^(2)u_(x)+βu_(xxx)=0求解,这里u=u(x,t)是时间变量t和空间变量x的未知函数;a_(0)≠0,a_(1)≠0,a_(2)≠0;β>0.假设(1+1)维混合KdV方程具有洛朗级数形式的解u(x,t)=φ^(-
a)(x,t)a∑j=0u_(j)(x,t)φ^(j)(x,t),a为自然数,通过主项分析,将洛朗级数形式的解只展开到待定函数φ的零次幂,将解代入方程后,通过比较φ的同次幂项系数得到了u_(j)及φ所满足的方程组,对其求解得到u_(j)及φ所满足的关系式.在此基础上,假设φ所满足的方程具有指数形式的解,通过待定系数法求出φ,从而最终得到(1+1)维混合KdV方程的指数形式的精确解.
【总页数】5页(P1-5)
【作者】陈南;倪程杰
【作者单位】厦门工学院数据科学与智能工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O174.55
【相关文献】
1.2+1维Broer-Kaup方程推广的Painlevé非标准截断展开和精确解
2.改进的截断展开法与广义变系数KdV方程新的精确解
3.一类空时分数阶混合(1+1)维KdV 方程的精确解
4.(1+1)维混合KdV方程的精确解
5.(1+1)维混合KdV方程的通用F-展开和精确解
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弹簧连接双刚性杆含摩擦斜碰撞中的Painlevé悖论问题研究
ｓｌｉｐ．Ｗ＇ｌ＇ｌｅｎ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｆｒｉｃｔｉｏｎ
ａ
ｔｈｅ ｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｌｆ．１０ｃｋ ｒｅｇｉｏｎ，ｉｔ’Ｓ ｖｅｒｙ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｔｉｃｋ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ
ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａｒｙ ｓｉｎｇｌｅ ｒｉｇｉｄ ｂａｒ，ｉｔ ｓｈｏｗｓ ｇｒｏｓｓ ｓｌｉｐ ｒｅｓｕｌｔｅｄ
研究生签名：
ｕ
９年）月矽日
硕士论文
弹簧连接双刚性杆含摩擦斜碰撞中的Ｐａｉｎｌｅｖ６悖论问题研究
摘
要
在非光滑动力学分析中，当摩擦系数足够大时，一个具有非对称柯型阴租稳叨降耵 斜碰撞一个粗糙表面会导致物体出现的动态自锁，即在接触区各点会产生沿着渗透入表 面的法向相对加速度，这种现象被称为Ｐａｉｎｌｅｖ６悖论。该现象广泛存在于机械系统、航 天工程、机车车辆、化学反应过程、甚至生物工程等多个领域。一方面，为了机构运行 的顺畅和降低噪声，通常需要避免此类现象的发生；另一方面，则是为了使机械结构进 行锁定，而要求该现象必须发生。 当结构参数和摩擦系数在出现自锁现象的区间，以刚性体模型假设为基础的传统刚 体动力学的控制方程会出现多个解或者无解。为解决这一难题，本文针对杆斜向碰撞粗
ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｏｉｎｔ ｉｓ
ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ ｆｏｒ ｍｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｅｆｆｅｃｔ．ａ ｃｏｎｔａｃｔ
ｄｙｎａｍｉｃ
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ｃｏｍｐｌｉａｎｃｅ
ｒｏｄ
ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｆｉｎａｌｌｙ．Ｔｈｅｎ，Ｉ ｂｕｉｌｄ
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关键词: Painleve 测试, 调谐因子, 相容性, Schwarz 导数, 孤子解
I
华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业property for nonlinear differencial equations is
important in nonlinear science. In this thesis, two higher order Levi equation are studied : (1). We make use of WTC method to the (1+1)-dimensional Levi equation. It is proved that the equation possess Painleve property (P-integrable). The resonances are obtained by the WTC method. The compatible equations are obtained and the expansions of solution are truncated through the analysis of compatibility. Thereby, the exact solutions and Daboux-Backlund Transformation of the Levi equation are obtained by means of Schwarzian derivative. (2). As to the (2+1)-dimensional Levi equation, we make use of WTC method to do the Painleve Test. Furthermore, One-soliton solution, Two-soliton solution, and N-soliton solution are obtained in some particular conditions. (3). We use Matlab to get graphics of Levi equation, and do some analysis about the solutions. Furthermore, the fission phenomenon in Two-soliton solution of the coupled (2+1)-dimensional Levi equation is discussed. (4). We introduce some special condition of the (1+1)-dimensional Levi equation in Painleve test, The compatible equations are obtained.
华侨大学 硕士学位论文 Levi方程的Painleve分析和精确解 姓名：邓勇 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：张金顺 20090501
Levi 方程的 Painleve 分析和精确解
摘 要
非线性微分方程的可积性与求解是非线性科学中一个重要的研 究课题. 而 Painleve 分析方法是判定其可积性和求解的一个有力工 具. 本文针对两个高阶 Levi 方程, 做了以下工作: (1). 对(1+1)维 Levi 方程, 利用 WTC 方法对其进行 Painleve 测 试, 仿照 Painleve 求解常微分方程(组)调谐因子的方法得到(1+1) 维 Levi 方程的调谐因子, 并通过 Painleve 测试证明了方程具有 Painleve 性质, 在 Painleve 意义下可积(即 P-可积). 然后通过相容 性分析得出了相容方程, 从而将方程组的解的奇异流形展式截断为 有限项的形式, 利用 Schwarz 导数及其性质得到了方程的一类精确 解. 同时得到了方程的一个自 Backlund 变换. (2). 对(2+1)维 Levi 方程, 利用 WTC 方法对其进行 Painleve 测 试, 对特殊情况下的耦合(2+1)维 Levi 方程进行分析求解, 得到了 方程的单孤子解, 双孤子解及多孤子解. (3). 对于求得的 Levi 方程的精确解, 选择适当的参数, 利用 Matlab 作出了解的图形, 并根据图形分析解的性质. 在对耦合(2+1) 维 Levi 方程双孤子解图像的分析中, 讨论了孤立波的裂变现象. (4). 对(1+1)维 Levi 方程主导项系数的其他情况进行介绍,并进 行 Painleve 测试，得到了这些情况下的相容方程组.
2, 3]
. 其原因在于孤立子理论在理论
研究和实际应用中都具有重要意义, 而其研究工作又需要多学科、多分支的交叉 和融会 , 其研究方法和研究工具也多种多样 . 孤立子理论自 1965 年由 N. J. Zabusky 和 M. D. Kruskal 将他们发现的孤立波命名为孤立子(soliton, 简称孤子) 以来, 得到了迅猛的发展. 对于孤子的历史进展, 大致分为三个阶段: 第一阶段: 主要是在十九世纪, 英国科学家 John scott Russell[4]在运河里观 察到一种奇特的水波现象, 并称这种始终保持在水面上, 向前平移的鼓励水峰为 孤立波. 在此之前没有人想到能有孤立波, 这是他首次发现这种奇特的水波现象. J. S. Russell 认识到孤立波是具关键性质的新事物, 他本人为揭示孤立波的本质 也花了很多的精力, 进行了很多的实验, 也猜想过孤立波形的解析形式, 但受当 时科学水平的限制, 没能从理论上予以圆满的解释. 1895 年, 在瑞典 Amsterdam 大学 Korteweg 教授的指导下, 他的学生 de Vries 写了一篇博士论文[5], 给出了描 述这种现象的方程(KdV 方程), 在理论上表明了 J. S. Russell 观察到的孤立波的存 在性. 第二阶段: 大致可划分为 1955-1975 年. 1955 年, A. Fermi, J. Pasta, A. Ulam[6] 用计算机进行了一维非诸晶格的实验研究, 根据经典理论, 他们预料:随着时间 的增加, 能量将会均匀分布. 但实际计算的结果与预料恰恰相反. 为了能从理论 上正确解释 FPU 问题, N. J. Zabusky 和 M. D. Kruskal[7]从连续体的观点研究了 FPU 问题, 得到了孤立波解, 从而表明除流体力学以外的物理领域也出现了孤立 波, 使 FPU 问题得到圆满解决, 从而激发了人们研究孤立波的浓厚兴趣. 1965 年, N. J. Zabusky 和 M. D. Kruskal [8]把 KdV 方程用于等离子体波的研究, 发现了孤立 波经碰撞不改变波形和波速的非常稳定的奇特性质, 正象物理上的粒子一样, 所 以他们用孤立子(soliton)来表示孤立波的这种粒子行为. 随着研究的深入, 人们
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II
Levi 方程的 Painleve 分析和精确解
Keywords: Painleve test, resonances, compatibility, Schwarzian derivative, solitary solution
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论文作者签名: 签 名 日 期:
指导教师签名: 签 名 日 期:
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Levi 方程的 Painleve 分析和精确解
第一章
1.1 孤子的研究概况
绪
论
在线性理论日臻完善的今天, 非线性科学已经蓬勃发展于各个研究领域而 成为焦点. 孤子理论是非线性科学的一个重要方向, 它涉及泛函分析, 微分方程, 经典力学等很多数学分支 , 在流体力学 , 量子力学 , 经典场论等方向都有应用 . 自二十世纪六十年代以来, 非线性方程孤立子理论的兴起, 给数学, 物理及多门 自然科学的研究带来了极大的兴趣和挑战[1,
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华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文
很快发现, 除了 KdV 方程, 许多具有物理意义的重要的非线性演化方程都具有 孤立子解, 如 Sine-Gordan 方程, 非线性 Schrodinger 方程等. 第三阶段: (1973-), 把孤立子概念及理论广泛的应用于物理学, 生物学, 天 文学等各个领域. 1980 年非线性效应专刊 Physica D 问世, 同时, 开展了高维孤立 子, 离散孤立子光纤中孤立子的研究. 孤立子理论和数学的很多分支有着密切的联系. 经典分析和泛函分析, 李群 李代数, 近代微分几何, 拓扑学, 动力系统以及计算数学都对孤立子的研究有重 要作用. 在数学领域内, 孤立子理论提供了一个新的求解非线性偏微分方程的途 径. 发现有这么一类方程, 它们的某一特解都具有孤立子的特征, 我们称这类方 程为孤子方程, 它们的孤波解成为孤立子解. 然而确切的说, 虽然孤立子一词在 广泛的范围内被引用, 但还没有一个确切的定义, 因为它仍处于发展中, 很难给 它下一个严格的定义. 通常在应用数学中, 将孤立子理解为非线性演化方程局部 化的行波解, 经过相互碰撞后不改变波形和波速, 或许相位会发生变化；在物理 领域中, 孤立子理解为:相互作用后, 波形和波速只有微小改变的孤立波, 或者理 解为:非线性演化方程能量有限的解, 即能量集中在空间有限的区域, 不会随时 间的增加而扩散到无限的区域中去. 就孤立子的形状而言, 有扭状孤立子, 包络 孤立子, 脉冲状或钟状孤立子, 环孤立子等等. 孤立子重要特性表现在粒子性质, 不在于其形状. 在孤子理论的发展过程中, 多维孤子方程逐渐成为孤子理论中的热点问题, 在研究过程中我们会碰到各种各样的非线性方程, 如果能求得这些方程的显式 解那是很好的结果, 因此对这些非线性方程的求解就成了研究非线性科学的关 键. 但是由于方程本身的多维性和高度的非线性性, 很难用直接的方法求解[9, 10]. 而且非线性孤立子方程解的结构是非常复杂的, 特别是高维孤立子方程的解与 特殊函数间的关系并不十分清晰[11], 如椭圆函数解, 拟周期解 （代数几何解） . 目 前, 有了很多求解孤子方程的方法, 比较常见的方法有代数几何方法, Hirota 双 线性导数法[12, 13], 反散射(IST)方法[14, 15], 齐次平衡法(HB 方法)[16], Darboux 变换 法等. 这些方法也不是并不是孤立的, 而是相互联系, 相互渗透的. 而由法国数 学家 Painleve 及其学派引入的潘勒卫(Painleve)方程（I-VI）(具有非流动奇点)引 起了人们的关注. 后来, J. Weiss 等人推广了潘勒卫(Painleve)方程的研究思想和