2016-2017数学分析(二)期末考试卷复习题(1)

数学分析（二）复习题

一、 填空题

1、反常积分()1b p a

dx x a -⎰ 在p 时收敛，p 时发散。 2、函数项级数

1()n

n u x ∞

=∑在数集E 上一致收敛的判别定理有 。

3、1n n u

∞=∑的部分和数列{}n s 的敛散性的关系是 。

4、1()12f x x

=+关于1x +的幂级数展开式是 。 5、若0()(1)n n n s x

x ∞==-∑，则()s x '= 。

二、选择题

1、下列级数中收敛的是（ ）

A 、11(1)n n e

∞=-∑ B 、11sin n n ∞=∑ C

、1

1)n ∞=∑ D

、1(1n ∞=-∑ 2、111(

)23

n n n n x ∞=+∑的收敛半径是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、6

3、下列极限中不存在的一个是（ ）

A 、001limlim sin x y x y →→

B 、001limlim sin y x x y

→→ C 、001limlim sin x y xy x

→→ D 、001limlim()sin x y x y y →→+ 4、已知00(0)x x >是0n n

n a x ∞=∑的一个收敛点，则0(1)n n n a x ∞=-∑的一个收敛集是（ ）

A 、()00,x x -

B 、()001,1x x --+

C 、()001,1x x -+

D 、{}0

5、已知

1

n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则（ ） A 、 1n n n u v

∞=∑收敛 B 、1n n n u v ∞=∑发散 C 、1()n n n u v ∞=+∑收敛 D 、1()n n n u v ∞

=+∑发散

三、计算题

1、讨论

111sin n n n α∞=∑的敛散性。 2、求0

(1)n n n x

∞=+∑的和函数。 3、求1

(21)n

n x n ∞=-∑的和函数。 4、求

2211dx x +∞-⎰

5、已知1()1

n nx f x n +=+，求lim ()n n f x →∞ 6、将()ln(1)f x x x =+展开成1x -的幂级数。

四、证明题

1、求证41sin x x dx +∞

⎰条件收敛。

2、求证323()1n nx n f x n ⎧⎫+=⎨⎬+⎩

⎭在(),(0)a a a ->中一致收敛。 3、求证0

21n n n x n ∞=+∑在()1,1-中内闭一致收敛。 4、用定义证明(,)(1,2)lim (32)7x y x y →+=。

5、设0()n n n f x a x ∞==

∑且()f x 是偶函数，求证210(0,1,2,)n a n +==。