宁夏平罗中学高三第一次模拟考试数学(文)试题

班级_______
__ 姓名____________ 学号_____________ 考场号_____________ 座位号_________
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平罗中学2017届高三第一次模拟考试能力测试
文科数学
第I 卷（选择题）
一、选择题：本大题12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}1,0,1M =-，{}
(2)(1)0N x x x =+-<，则M
N =
A.{}1,0M =-
B.{}0,1M =
C.{}0M =
D.{}1M =-
2．已知
),(211R b a i a i
bi
∈+=+-，其中i 为虚数单位，则=+b a A ．4- B ．4
C ．10-
D ．10
3．下列命题中正确的是 A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
B ．“5x =”是“2
450x x --=”的充分不必要条件
C ．命题“若1x <-，则2
230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2
230x x --≤” D ．已知命题p ：x R ∃∈，2
10x x +-<，则p ⌝：x R ∃∈，2
10x x +-≥ 4．在公差不为零的等差数列{}n a 中，731,,a a a 依次成等比数列，前7项和为35，则数列{}n a 的通项等于
A ．n
B ．1+n C. 12-n D ．12+n 5．若4sin 3cos 0αα-=，则
2
1
cos 2sin 2αα
+的值为 A ．
2516 B ．1 C. 2548 D ．2564
6．执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么 输出的n =
A 3
B ． 4 C.5 D 6
7．设直线1+=x y 与纵轴及直线2=y 所围成的封闭图形 为区域D ，不等式组⎩
⎨
⎧≤≤≤≤-201
1y x 所确定的区域为E ，在区
域E 内随机取一点，该点恰好在区域D 的概率为
A.
41 B.81 C.2
1
D. 以上答案均不正确
8.函数()ln f x x x =-2
12
的递减区间为 A. (),-∞1
B. (),01
C. (),+∞1
D. ()
,+∞0
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 2
B. 4
C. 6
D. 12
10．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 A. 227
(3)()13
x y -+-= B. 22(2)(1)1x y -+-=
C. 22(1)(3)1x y -+-=
D. 223
()(1)12
x y -+-=
11．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，点F 到渐近线的距离等于2a ，则
该双曲线的离心率等于
A
B
C
．3
12．已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数2
(2)(2)y f x f x m =++--只有
一个零点，则函数4
()(1)1
g x mx x x =+
>-的最小值是 A ．5 B ．3- C ．3 D ．5-
第II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知12
33,3,
()log (6),3,
x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩
则(f f 的值为 ． 14. 若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为 15.我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意
思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒
等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t 取[]0,4上的任意值时，直线
y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．
16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()11,y x A 在曲线1C ：x x y ln 2
-=上，点()
22,y x B 在直线02=--y x 上，则212212)()(y y x x -+-的最小值为_____.
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足a<b<c, b=2asinB ．
（1）求A 的大小；
（2）若2,a b ==，求ABC ∆的面积．
18．（本小题满分12分）某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：
学生的概率是多少？
（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？
（3）学生的学习积极性与对待班极工作的态度是否有关系？请说明理由. 附：
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是正方形，⊥SA 底面ABCD ，2==AB SA ,点M 是SD 的中点，SC AN ⊥，且交SC 于点N.
（1） 求证:SB ∥平面ACM ； （2） 求点C 到平面AMN 的距离．
20. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率为22，
且经过点)22,0(-，过椭圆的左顶点A 作直线x l ⊥轴，
点
M 为直线l 上的动点(点M 与点A 不重合)，点B 为椭圆右
顶
点，直线BM 交椭圆C 于点P . (1) 求椭圆C 的方程. (2) 求证：OM AP ⊥.
(3) 试问：OP OM ⋅是否为定值?若是定值，请求出该定值； 若不是，请说明理由.
21．(本小题满分12分) 已知函数2
1()(1)ln 12
f x x a x a x =
-+++． （1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值； （2）求a 的范围，使得()1f x ≥恒成立．
请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程． 在极坐标系中，已知三点()⎪⎭
⎫
⎝⎛
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
4,22,2,
2,0,0ππB A O . （1）求经过O,A,B 的圆1C 的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为
⎩
⎨
⎧+-=+-=θθ
sin 1cos 1a y a x （θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()42---=x x x f . （1）求解不等式()0<x f 的解集； （2）若函数()()
x f m x g -=1
的定义域为R ，求实数m 的取值范围.
高三文科数学答案
一．选择题
二．填空题 13.3e 14.8 15.4 16. 2 三．解答题
17. 解：（1）2sin b a B =，∴sin 2sin sin B A B =．．．．．．．．．．．．．2分
∵sin 0B >，∴1
sin 2
A =
．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由于a b c <<，∴A 为锐角，∴6
A π
=
．．．．．．．．．．．6分
（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，
∴2
4122c c =+-⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 2680,2c c c -+==或4c =，
由于,4a b c c <<=．．．．．．．．．．．．．10分
所以1
sin 2
S bc A =
=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：正弦二倍角公式及正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用.
18. 解：
（1）由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，
所以；
（2）设这7名学生分别为
（大写为男生），则从中抽取两名学生的情况有：
，
，共21种情况，其中有1名男生的有10种情况，
∴．
（3）由题意得，，故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．
19.试题解析：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．
是正方形，∴ 是的中点．
是的中点，∴是△的中位线．
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
（Ⅱ）由条件有
∴平面，∴
又∵ 是的中点，∴
∴平面∴
由已知，∴平面
于是面，则为点到平面的距离
在中，，
于是
∴点到平面的距离为．
20.试题解析：
(1)18
162
2=+y x
(2)设直线BM 的方程为)4(-=x k y ，由方程组⎩⎨⎧=+-=16
2)
4(2
2y x x k y 消去y 得： 0163216)21(2222=-+-+k x k x k ，设),(11y x P ，则有
2
21221214
8,21164k k x k k x +-=
+=+解得 所以)218,2148(;2182
2221k
k
k k P k k y ++-+-=即点 由），（，即得令k 8-4-k 8-y 4)4(M x x k y =-=-=
所以 k k OM AP 2k k
21
=-
=， 因为1-=⋅OM AP k k ,所以OM AP ⊥ (3)由（2）可知 OP ·OM 为定值16.
21. 试题解析：（1）'()(1)a
f x x a x
=-++（0x >）, ∵3x =是()f x 的极值点， ∴'(3)3(1)03
a
f a =-++
=，解得3a =， 当3a =时，243(1)(3)
'()x x x x f x x x
-+--==， 当x 变化时：
∴()f x 的极大值为(1)2
f =-
． （2）要使得()1f x ≥恒成立，即0x >时，2
1(1)ln 02
x a x a x -++≥恒成立， 设2
1()(1)ln 2
g x x a x a x =
-++，
则'()(1)a g x x a x =-++
(1)()
x x a x
--=
． ①当0a ≤时，由'()0g x <得单调减区间为(0,1)，由'()0g x >得单调增区间为(1,)+∞， ∴min 1()(1)02g x g a ==--
≥，得12
a ≤-； ②当01a <<时，由'()0g x <得单调减区间为(,1)a ，由'()0g x >得单调增区间为(0,)a ，
(1,)+∞，
此时1
(1)02
g a =--
<，不合题意； ③当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，此时1
(1)02
g a =--
<，不合题意； ④当1a >时，由'()0g x <得单调减区间为(1,)a ，由'()0g x >得单调增区间为(0,1)，
(,)a +∞，
此时1
(1)02g a =--
<，不合题意． 综上所述，1
2
a ≤-时，()1f x ≥恒成立．
22.试题解析：（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系， ∴点O （0，0），A （0，2），B （2，2）；
过O ，A ，B 三点的圆C 的普通方程是(x-1)2+(y-1)2=2， 即x 2-2x+y 2-2y=0；
化为极坐标方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，
即 5分
（ II ）圆D 的参数方程是参数，为半径）化为普通方程是(x+1)2+(y+1)2=a 2；
圆C 与圆D 的圆心距|CD|=
=
,
当圆C 与圆D 外切时，222=+a ，解得
. 10分
考点：极坐标与做极坐标互化，待定系数法，圆的标准方程，直角坐标方程与极坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，两圆的位置关系
23.【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于m=f（x）在R 无解，求出f（x）的范围，从而求出m的范围即可．
【解答】解：（1）原不等式即为|x﹣2|﹣|x﹣4|＜0，
若x≤2，则2﹣x+x﹣4＜0，符合题意，∴x≤2，
若2＜x＜4，则x﹣2+x﹣4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3，
若x≥4，则x﹣2﹣x+4＜0，不合题意，
综上，原不等式的解集是{x|x＜3}；
（2）若函数g（x）=的定义域为R，
则m﹣f（x）=0恒不成立，
即m=f（x）在R无解，
|f（x）|=||x﹣2|﹣|x﹣4||≤|x﹣2﹣（x﹣4）|=2，
当且仅当（x﹣2）（x﹣4）≤0时取“=”，
∴﹣2≤f（x）≤2，
故m的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．。