实验三-周期信号的频谱分析-实验报告

信号与系统
实验报告
实验三周期信号的频谱分析
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实验三 周期信号的频谱分析
一、实验目的
1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；
2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；
3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。

二、实验容
实验前，必须首先阅读本实验原理，读懂所给出的全部例程序。

实验开始时，先在计算机上运行这些例程序，观察所得到的信号的波形图。

并结合例程序应该完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序。

实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。

Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：
-+-=)5cos(51
)3cos(31)cos()(000t t t t x ωωω∑∞
==10)cos()2sin(1n t n n n
ωπ
其中，ω0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(ω0t)、cos(3ω0t)、cos(5ω0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title ，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。

抄写程序Q3_1如下： clear,%Clear all variables
close all,%Close all figure windows
dt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t);
N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N;
x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; end
subplot(221)
plot(t,x1)%Plot x1
axis([-2 4 -2 2]);
grid on,
title('signal cos(w0.*t)')
subplot(222)
plot(t,x2)%Plot x2
axis([-2 4 -2 2]);
grid on,
title('signal cos(3*w0.*t))')
subplot(223)
plot(t,x3)%Plot x3
axis([-2 4 -2 2])
grid on,
title('signal cos(5*w0.*t))')
执行程序Q3_1所得到的图形如下：
Q3-2给程序Program3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。

通过增加适当的语句修改Program3_1而成的程序Q3_2抄写如下：
% Program3_1
clear, close all
T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;
x1 = u(t) - u(t-1-dt); x = 0;
for m = -1:1 % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal
x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt);
end
w0 = 2*pi/T;
N = 10; % The number of the harmonic components
L = 2*N+1;
for k = -N: N; % Evaluate the Fourier series coefficients ak
ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;
end
phi = angle(ak); % Evaluate the phase of ak
subplot(211)'
k = -10:10;
stem (k,abs(ak),'k');
axis([-10,10,0,0.6]);
grid on;
title('fudupu');
subplot(212);
k = -10:10
stem(k,angle(ak),'k');
axis([-10,10,-2,2]);
grid on;
titie('xiangweipu');
xlabel('Frequency index x');
执行程序Q3_2得到的图形
Q3-3反复执行程序Program3_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所合成的周期方波信号。

通过观察，你了解的吉伯斯现象的特点是：
% Program3_3
% This program is used to compute the Fourier series coefficients ak of a periodic square wave
clear,close all
T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;
x1 = u(t)-u(t-1-dt); x = 0;
for m = -1:1
x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt); % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal
end
w0 = 2*pi/T;
N = input('Type in the number of the harmonic components N = :');
L = 2*N+1;
for k = -N:1:N;
ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;
end
phi = angle(ak);
y=0;
for q = 1:L; % Synthesiz the periodic signal y(t) from the finite Fourier series
y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T);
end;
subplot(221),
plot(t,x), title('The original signal x(t)'), axis([-2,2,-0.2,1.2]), subplot(223),
plot(t,y), title('The synthesis signal y(t)'), axis([-2,2,-0.2,1.2]), xlabel('Time t'),
subplot(222)
k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k.'), title('The amplitude |ak| of x(t)'), axis([-N,N,-0.1,0.6])
subplot(224)
stem(k,phi,'r.'), title('The phase phi(k) of x(t)'), axis([-N,N,-2,2]), xlabel('Index k')
N=1
N=2
通过观察我们了解到：如果一个周期信号在一个周期有断点存在，那么，引入的误差将除了产生纹波之外，还将在断点处产生幅度大约为9%的过冲（Overshot ），这种现象被称为吉伯斯现象（Gibbs phenomenon ）。

即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。

4、周期信号的傅里叶级数与GIBBS 现象
给定如下两个周期信号：
Q3-4 仿照程序Program3_1，编写程序Q3_4，以计算x 1(t)的傅里叶级数的系数。

程序Q3_4如下： clc,clear,close all T=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;
x=(t+1).*(u(t+1)-u(t))-(t-1).*(u(t)-u(t-1));x1=0; for m=-2:2
x1=x1+(t+1-m*T).*(u(t+1-m*T)-u(t-m*T))-(t-1-m*T).*(u(t-m*T)-u(t-1-m*T)); end w0=2*pi/T;
t
11
-1
2
2-)
(1t x )
(2t x t
2
2-1
2.02.0-
N=10;
L=2*N+1;
for k=-N:N;
ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;
end
phi=angle(ak);
plot(t,x1);
axis([-4 4 0 1.2]);
grid on;
title('The signal x1(t)');
xlabel('Time t (sec)');
ylabel('signal x1(t)');
执行程序Q3_4所得到的x1(t)的傅里叶级数的ak从-10到10共21个系数如下：
Q3-5仿照程序Program3_1，编写程序Q3_5，以计算x2(t) 的傅里叶级数的系数（不绘图）。

程序Q3_5如下：
clc,clear,close all
T=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;
x=u(t+0.2)-u(t-0.2-dt);x2=0;
for m=-1:1
x2=x2+u(t+0.2-m*T)-u(t-0.2-m*T)-u(t-0.2-m*t-dt);
end
w0=2*pi/T;
N=10;
L=2*N+1;
for k=-N:N;
ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;
end
phi=angle(ak);
plot(t,x2);
axis([-2.5 2.5 0 1.2]);
grid on;
title('The signal x2(t)');
xlabel('Time t (sec)');
ylabel('signal x2(t)');
执行程序Q3_5所得到的x2(t)的傅里叶级数的ak从-10到10共21个系数如下：
与你手工计算的ak相比较，是否相同，如有不同，是何原因造成的？
Q3-6仿照程序Program3_2，编写程序Q3_6，计算并绘制出原始信号x1(t) 的波形图，用有限项级数合成的y1(t) 的波形图，以及x1(t) 的幅度频谱和相位频谱的谱线图。

编写程序Q3_6如下：
%Program Q3_6
%This program is used to evaluate the Fourier serier coefficients ak of a periodic square
clc,clear,close all
T=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;
x=(t+1).*(u(t+1)-u(t))-(t-1).*(u(t)-u(t-1));x1=0;
for m=-2:2 %Periodically extend x1(t) to form q periodic signal
x1=x1+(t+1-m*T).*(u(t+1-m*T)-u(t-m*T))-(t-1-m*T).*(u(t-m*t)-u(t-1-m*t)) ;
end
w0=2*pi/T;
N=10; %the number of the harmonic components
L=2*N+1;
for k=-N:N;
ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;
end
phi=angle(ak); %Evaluate the phase of sk
y=0;
for q=1:L; %Synthesiz the periodic signal y(t) from the finite Fourier series
y=y+ak(q)*exp(j*(q-1-N)*w0*t);
end;
subplot(221)
plot(t,x)%plot x
axis([-3 3 -0.2 1.2]);
grid on;
title('The original signal x(t)');
subplot(223)
plot(t,y)%Plot y
axis([-3 3 -0.2 1.2]);
grid on;
title('The synthesis signal y(t)');
subplot(222);
xlabel('Time i (sec)');
subplot(222);
k=-N:N;
stem(k,abs(ak),'k');
axis([-N N -0.1 0.6]);
grid on;
title('The amplitude spectrum of x(t)');
subplot(224);
k=-N:N;
stem(k,phi,'k');
axis([-N N -2 2]);
grid on;
title('The phase spectrum of x(t)');
xlabel('Frequency index k');
执行程序Q3_6，输入N = 10所得到的图形如下：
反复执行程序Q3_6，输入不同的N值，观察合成的信号波形中，是否会产生Gibbs 现象？为什么?
假定输入N=10，得到图形如下：
所以不会产生Gibbs 现象，即与N 值无关。

给定两个时限信号:
⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-<≤--<≤-+=21,21
1,112,2)(1t t t t t t x
)]1()1()[2cos()(2--+=t u t u t t x π
实验体会与心得：
在实验的过程中，掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法，观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因，掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。

发现自己在上课时候完全是一窍不通，可能是因为自己练的不够所以在下来的学习中，我认为实练永远是自己要去做得功课，即使自己现在还不会，但我坚信孰能生巧，自己一定能够学好这门科目。