24.1.3圆的有关性质——弧、弦、圆心角_教案

24.1.3弧、弦、圆心角
教学目标
1．让学生理解圆心角概念和圆的旋转不变性.
2．了解弧、弦、圆心角之间的关系，并能推理证明．
3．利用圆的旋转不变性和对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系.
教学重点
弧、弦、圆心角之间的关系，并运用此关系进行有关计算和证明.
教学难点
利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角之间的相等关系.
教学过程设计
一、问题引入，新课教授
问题1. 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
问题2. 圆一定要绕圆心180 °才能与本身重合吗？
活动1：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转15°．
活动2：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转30°.
活动3：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转60°.
活动4：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转n°.
结论：点N′仍在圆O上，即把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．
定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
师生活动：教师演示课件：展示半径ON按特定角度旋转的过程，师生通过观察得出圆的特性：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合，所以圆是中心对称图形，而且具有旋转对称性. 进而引出圆心角的定义.
设计意图：从直观图形出发，引导学生对图形的观察、发现，鼓励学生，使学生对圆心角有一个感性的认识.
二、师生互动，探究新知
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
师生活动：教师引导学生认识圆心角后，让学生完成巩固练习.
设计意图：学生通过找圆心角，为后面探究三者之间的关系作铺垫.
问题1：每个圆心角都有它所对的弦和弧.如图所示，
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取圆心角: ∠AOB，所对的弦: AB，所对的弧: AB.
这三个量之间会有什么关系呢？
思考1：如图，⊙O 中，当圆心角∠AOB=∠A 1OB 1时，它们所对的弧AB 和A 1B 1、弦AB 和A 1B 1相等吗？为什么？ 师生活动：教师通过课件展示∠AOB 旋转至∠A 1OB 1
的过程，引导学生通过观察归纳圆心角、弧、弦之间相等
关系定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
思考2：如图⊙O 与⊙O 1是等圆，∠AOB =∠A 1OB 1，请问上述结论还成立吗？为什么?
师生活动：教师通过课件展示，引导学生将有关等圆的问题叠合成一个圆，即转化为同圆问题来解决. 使学生经历猜想--证明--归纳得出结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 转
化成数学语言：∵ ∠AOB=∠A 1OB 1，∴AB=A 1B 1 ，AB=A
1B 1 . 设计意图：培养学生猜想、观察、归纳总结的能力，通过思考每组量重合的理论依据，让学生经历一个由感性认识上升的理性认识的认知过程. 培养学生思维的严谨性，形成良好的科研习惯. 最后将定理中的文字语言转化为符号语言，加深对定理的理解.
归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．
问题2：在这三个结论中，为什么要说“在同圆或等圆中”？能不能去掉？
师生活动：教师关注学生是否理解了定理成立的关键条件是“在同圆或等圆中” ，强化学生对定理的理解. 问题3：我们看到，这三个结论中，所对的弧相等是什么意思？能不能说所对的弧长相等呢？
师生活动：教师在此环节讲述清楚“弧”与“弧长”所代表的不同意义，使学生认识到度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧.
设计意图：教师引导学生归纳出推论. 强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.
圆心角定理整体理解：
1．三个元素：
圆心角、所对弦、所对弧
2．三个相等关系：(1) 圆心角相等(2) 弧相等(3) 弦相等 记忆技巧：知一得二
设计意图：结合图形再次加深对圆心角定理的整体理解，并使学生获得“知一得二”的记忆技巧.
三、课堂练习
练习： 1、如图3，AB 、CD 是⊙O 的两条弦。

（1）如果 AB=CD ，那么AB=CD
， ∠AOB=∠COD . （2）如果 AB=CD
，那么AB=CD ，∠AOB=∠COD. （3）如果∠AOB=∠COD ，那么AB=CD
，AB=CD . （4）如果 AB=CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ， ⌒ ⌒
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OE 与OF 相等吗？为什么？
结论：(1) 圆心角相等(2) 弧相等(3) 弦相等（4）弦心距相等 知一得三
师生活动：学生独立思考，回答问题，教师讲评。

主要考察学生对弧、弦、圆心角之间关系的掌握情况.对于（4），鼓励学生用多种方法解决，并注意培养学生符号语言表示结论，发展学生用符号语言说理的能力.
设计意图：练习设计是圆心弧、弦、圆心角之间的关系的应用，通过四个小问题，对三者之间关系的应用，考察学生对定理和推论的理解和应用.
例1：如图，在⊙O 中，AB=AC,∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明： ∵AB=AC ∴AB=AC ，△ABC 是等腰三角形
又 ∠ACB=60°
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
例2：如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE ，∠COD=35°，求∠AOE 的度数.
证明： ∵ BC=CD=DE ∴∠COB=∠COD=∠DOE =35°
∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
例3：如图，AD=BC ，请比较AB 与CD 的大小.
解： ∵ AD=BC
∴ AD=BC
∴ AD+AC=BC+AC
即 CD=AB ∴ CD=AB
师生活动：学生独立解答例1、2、3题，展示解答过程，教师对关键步骤，让学生回答理论依据. 展示不同的解题思路.
设计意图：例1、2是证明题，主要考察学生对定理的应用，并且使学生会用符号语言去证明. 例2中，将定理中的“两条弧、两个圆心角”扩展成“三条弧、三个圆心角” 从更深层次理解定理。

通过例题， 使学生理解三组量之间的相互转化，并会运用转化的数学思想，多角度、多方位解决问题，提升解题技巧和方法，培养学生的创新能力.
四、课堂小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？要注意什么？
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师生活动：让学生参与小结，培养他们对所学知识的回顾思考习惯，通过小结也强调了本节课的重点，巩固所学知识。

设计意图：总结回顾，培养学生的知识整理能力与语言表达能力，帮助学生自我评价学习效果.
巩固提升：
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B.
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
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（2）求证：AC= BD
设计意图：通过提高题巩固本节知识，让有能力的学生借助已有的知识与方法尝试解决，发展学生的发散思维、求异思维，鼓励学生寻找解决问题的不同方法.
五、作业布置
完成课本相应练习.
板书设计：
24.1.3弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中，
弦心距相等。