2012年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知21a =-，32b =-，62c =

-，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）

A. a b c <<

B. a c b <<

C. b a c <<

D.b c a << 【答】C. 因为

121a =+，132b =+，所以11

0a b

<<，故b a <.又(62)(21)6c a -=---=- (21)+，而22(6)(21)3220-+=->，所以621>+，故c a >.因此b a c <<.

2．方程2

2

2334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 【答】B.

方程即2

2

()234x y y ++=，显然x y +必须是偶数，所以可设2x y t +=，则原方程变为

22217t y +=，它的整数解为2,

3,

t y =±⎧⎨=±⎩从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)-，(1,3)，(7,3)-，

(1,3)--，共4组.

3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）

A ．

63 B ．53

C ．263

D ．253

【答】D.

过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.

又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.

因此DG ＝GP ＝PE ＝

1

3

DE ＝23.

连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BD ＝2，所以BG ＝2

2

225

BD DG 293

+=

+

=. 4．已知实数,a b 满足2

2

1a b +=，则4

4

a a

b b ++的最小值为 （ ）

P

G

F

E

B

C A

D

A ．18-

. B ．0. C ．1. D ．98

. 【答】B.

442222222219()2122()48

a a

b b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+.

因为22

2||1ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311444ab -≤-≤，故2190()416

ab ≤-≤，因此

219902()488

ab ≤--+≤，即449

08a ab b ≤++≤.

因此44

a a

b b ++的最小值为0，当22,22a b =-

=或22

,22

a b ==-

时取得. 5．若方程2

2320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足2

3

2

3

11224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ ）

A ．0.

B ．34-.

C ．1-.

D ．5

4

-. 【答】 B.

由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--，所以

22

22121212()2464x x x x x x p p +=+-⋅=++，

33

2212121212()[()3]2(496)x x x x x x x x p p p +=++-⋅=-++.

又由232311224()x x x x +=-+得223312124()x x x x +=-+，所以22

46442(496)p p p p p ++=+++，所以(43)(1)0p p p ++=，所以1233

0,,14

p p p ==-=-.

代入检验可知：123

0,4

p p ==-

均满足题意，31p =-不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为1233

0()44

p p +=+-=-.

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）

A ．36个.

B ．40个.

C ．44个.

D ．48个. 【答】C.

根据使用的不同数字的个数分类考虑：

（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.

（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.

（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.

（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.