证券组合的可行域和有效边界

证券组合的可行域和有效边界
（一）证券组合的可行域
1.两种证券组合的可行域。

如果用前述两个数字特征——期望收益率和标准差来描述一种证券，那么任意一种证券都可用在以期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示；相应的，任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点。

这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线。

可见，组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和证券B所有可能的组合。

根据公式（11.1）和公式（11.2）及x A+x B=1，A、B的证券组合P的组合线由下述方程所确定：
给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。

（1）完全正相关下的组合线。

在完全正相关下，ρAB=1，方程（11.5）和（11.6）变为：
因为，E（r P）与x A是线性关系，而σp与x A是线性关系，所以，σp与E（r p）之间也是线性关系。

因此，证券A、B构成的组合线是连接这两点的直线（见图11-1）。

（2）完全负相关下的组合线。

在完全负相关情况下，ρAB=-l，方程（11.5）和（11.6）变为：
这时，σp，与E（r p）是分段线性关系，其组合线如图11-2。

从图11-2可以看出，在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券A和证券B可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。

这个适当比例通过令公式（11.8）中σp=0可得：
因为x A和x B均大于0，所以必须同时买入证券A和B。

这一点很容易理解，因为证券A 和B完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买入两种证券可抵消风险。

所能得到的无风险收益率为：
（3）不相关情形下的组合线。

当证券A与B的收益率不相关时，p AB=0，方程（11.5）和（11.6）变为：
该方程确定的σp与E（r p）的曲线是一条经过A和B的双曲线，如图11-3所示。

为了得到方差最小的证券组合，对方程（11.9）求极小值：
显然有x A≥0、x B≤l。

分别以x A和x B的比例买入证券A和B，可获得最小方差
即可以通过按适当比例买入两种证券，获得比两种证券中任何一
种风险都小的证券组合。

图11-3中，C点为最小方差组合。

组合线上介于A与B之间的点代表的组合由同时买入证券A和B构成，越靠近A，买入A越多，买入B越少。

而A点的东北部曲线上的点代表的组合由卖空B、买入A形成，越向东北部移动，组合中卖空B越多；反之，B的东南部曲线上的点代表的组合由卖空A、买入B形成，越向东南部移动，组合中卖空A越多。

（4）组合线的一般情形。

现在讨论一般的情况。

在不完全相关的情形下，由于0<ρAB<1，方程（11.5）、（11.6）不会有任何简化，方程（11.5）、（11.6）在一般情形下所确定的曲线是一条双曲线。

相关系数决定结合线在A与B之间的弯曲程度。

随着ρAB的增大，弯曲程度将降低。

当ρAB=1时，弯曲程度最小，呈直线；当ρAB=-l时，弯曲程度最大，呈折线；不相关是一种中间状态，比正完全相关弯曲程度大，比负完全相关弯曲程度小。

从组合线的形状来看，相关系数越小，在不卖空的情况下，证券组合的风险越小，特别是负完全相关的情况下，可获得无风险组合。

在不相关的情况下，虽然得不到一个无风险组合，但可得到一个组合，其风险小于A、B中任何一个单个证券的风险。

当A与B的收益率不完全负相关时，结合线在A、B之间比不相关时更弯曲，因而能找到一些组合（不卖空）使得风险小于A和B的风险，比如图11-4中ρAB=-0.5的情形。

但图中ρAB=0.5时，得不到一个不卖空的组合使得其风险小于单个证券的风险。

可见，在不卖空的情况下，组合降低风险的程度由证券间的关联程度决定。

2.多种证券组合的可行域。

在允许卖空的情况下，如果只考虑投资于两种证券A和B，投资者可以在组合线上找到自己满意的任意位置，即组合线上的组合均是可行的（合法的）。

如果不允许卖空，则投资者只能在组合线上介于A、B之间（包括A和B）获得一个组合，因而投资组合的可行域就是组合线上的AB曲线段。

现在假设可供选择的证券有三种：A、B 和C。

这时，可能的投资组合便不再局限于一条曲线上，而是坐标系中的一个区域，如图11-5所示。

在不允许卖空的情况下，A、B、C三种证券所能得到的所有合法组合将落入并填满坐标系中组合线AB、BC、AC围成的区域，该区域称为不允许卖空时证券A、B和C 的证券组合可行域。

每一个合法的组合称为一个可行组合。

为什么说图11-5中的区域都是可行组合呢?区域内的每一点可以通过三种证券组合得到，比如区域内的F点可以通过证券C与某个A与B的组合D的再组合得到。

如果允许卖空，三种证券组合的可行域不再是如图11-5所示的有限区域，而是包含该有限区域的一个无限区域（图11-6）。

一般而言，当由多种证券（不少于三种证券）构造证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的E-σ坐标系中的一个区域，其形状如图11-7和图11-8所示。

由于求解可行域的公式具有如下形式：
因此，可行域的形状依赖于可供选择的单个证券的特征E（r i）和σi以及证券收益率之间的相互关系ρv，还依赖于投资组合中权数的约束。

可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性，即不会出现凹陷。

图11-9左边界自W到V之间出现凹陷，由于W、V是可行组合，W与V的组合也是可行的，而W、V的组合线或是连接W、V的直线段，或者是向外弯曲的曲线，W、V的组合作为一个可行组合却落在图中区域的右边，因而该区域不可能是一个可行域。

（二）证券组合的有效边界
证券组合的可行域表示了所有可能的证券组合，它为投资者提供了一切可行的组合投资机会，投资者需要做的是在其中选择自己最满意的证券组合进行投资。

不同的投资者对期望收益率和风险的偏好有所区别，因而他们所选择的最佳组合将有所不同。

但投资者的偏好具有某种共性，在这个共性下，某些证券组合将被所有投资者视为差的，因为按照偏好的共性，总存在比它更好的证券组合，就需要把公认为差的证券组合剔除掉。

大量事实表明，投资者普遍喜好期望收益率而厌恶风险，因而人们在投资决策时希望期望收益率越大越好，风险越小越好。

这种态度反映在证券组合的选择上可由下述规则来描述：（1）如果两种证券组合具有相同的收益率方差和不同的期望收益率，即σ2A=σ2B，而E（r A）≠E（r B），且E（r A）>E（r B），那么投资者选择期望收益率高的组合，即A。

（2）如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率方差，即E（r A）=E（r B），而σ2A≠σ2B，且σ2A<σ2B，那么他选择方差较小的组合，即A。

这种选择原则，我们称为投资者的共同偏好规则。

人们在所有可行的投资组合中进行选择，如果证券组合的特征由期望收益率和收益率标准差来表示，则投资者需要在E-σ坐标系的可行域中寻找最好的点，但不可能在可行域中找到一点被所有投资者都认为是最好的。

按照投资者的共同偏好规则，可以排除那些被所有投资者都认为差的组合，我们把排除后余下的这些组合称为有效证券组合。

根据有效组合的定义，有效组合不止1个，描绘在可行域的图形中，如图11-10粗实线部分，它是可行域的上边界部分，我们称它为有效边界。

对于可行域内部及下边界上的任意可行组合，均可以在有效边界上找到一个有效组合比它好。

但有效边界上的不同组合，比如B和c，按共同偏好规则不能区分优劣。

因而有效组合相当于有可能被某位投资者选作最佳组合的候选组合，不同投资者可以在有效边界上获得任一位置。

一个厌恶风险理性投资者，不会选择有效边界以外的点。

此外，A点是一个特殊的位置，它是上边界和下边界的交汇点，这一点所代表的组合在所有可行组合中方差最小，因而被称作最小方差组合。