数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题
一 叙述题：（每小题5分，共15分）
1 开集和闭集
2 函数项级数的逐项求导定理
3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）
1、
⎰
-9
1
31dx x x
2、求)0()(2
2
2
b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积
3、求幂级数
n n n x n ∑∞
=+1
2)11(的收敛半径和收敛域 4、1
1lim
2
2220
0-+++→→y x y x y x
5、2
2
),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、已知⎪⎩
⎪⎨⎧==≠+++=0
,0001sin )(),(222
2
2
2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连
续，但它在该点可微
2、讨论级数∑∞
=-+1
2211
ln n n n 的敛散性。

3、讨论函数项级数]1,1[)1(
1
1
-∈+-∑∞
=+x n x n x n n n 的一致收敛性。

四 证明题：（每小题10分，共20分）
1 若
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞
→x f x
2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂
内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：
''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。

参考答案
一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

2 设函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导
a)
∑∞
=1)(n n
x u
在[a ，b]点态收敛于)(x S
b)
∑∞
=1'
)(n x u
n
在[a ，b]一致收敛于)(x σ
则)(x S =∑∞
=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞
=∞==1
1)()(n n n n
x u dx d
x u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当
0)(max 1→∆=≤≤i n
i x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等
二、1、令3
1x t -=
（2分）7
468
)1(312
3391
3-
=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、
222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：
b a dx y y a
a
222
2212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n n
n 1])
1
11(1))111()1
1(lim[(
11=++⨯+++++∞
→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+
n e n n n n ，所以收敛域为)1
,1(e
e - (3分） 4、2)11(lim )11)(11()
11)((lim
1
1lim
220
022*******
22220
0=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）
5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）
13
6)2,1,2(=
-l f （3分）
三、1、解、⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠+++-+=0
00)1cos 11(sin 222222
22222y x y x y
x y x y x x f x （4分）由于
2
2221
cos 1y x y x ++当趋于（0，0）无极限。

所以不连续，同理可的y f 也不连续，（2分）
2、解：11
211
ln lim 2
22=--+∞→n n n n （5分）∑∞
=-1
212n n 收敛，所以原级数收敛（5分）
3、解：部分和1)(1+-=+n x x x S n n （3分），,0>∀ε 取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε1N ，N n >时有
ε<≤+=-+n
n x x x S n n 1
1)(1，所以级数一致收敛（7分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：用反证法
若结论不成立，则X x a X >∃∀>∃00,.,0ε ，使得00)(ε≥x f ，（3分）又因为在f （x ）在[a ,∞）
上一致连续函数，a x x >∀∈∃'
''
0,),1,0(δ，只要0'''δ<-x x ，有2
)()(0
'''ε<
-x f x f ，（3分）
于是1,00+=≥∀A X a A 令，取上述使
00)(ε≥x f 的点,0X x >，不妨设0)(0>x f ，则对任意满
足
00δ<-x x 的x ，有02
2
)()(0
0>≥
-
>εεx f x f 取A 和A ‘分别等于2
0δ-
x 和2
0δ+
x ，则
00
2
)('
δε>
⎰
A A
dx x f 有，由Cauchy 收敛定理，⎰
+∞
a
dx x f )(不收敛，矛盾（4分）
2、证明：D y x ∈∀),(00，由Lipschitz 条件
)
,(),(),(),(),(),(000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f -+-≤-),(),(0000y x f y x f y y L -+-≤（1），（6分）又由二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量
x 是连续的，（1）式的极限为0，),(y x f 在),(00y x 连续，因此),(y x f 在D 内连续（4分）
（二十二）数学分析期末考试题
一 叙述题：（每小题5分，共15分）
1 Darboux 和
2 无穷限反常积分的Cauchy 收敛原理
3 Euclid 空间
二 计算题：（每小题7分，共35分）
1、
n
n n
n !lim
+∞
→ 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 3、dx x e I n x n ⎰
+∞
-=
(n 是非负整数）
4、设f xyz z y x f u ),,(2
2
2
++=具有二阶连续偏导数，求x
z u
∂∂∂2
5、求x
e x
f =)(的幂级数展开式
三 讨论与验证题：（每小题10分，共20分）
1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。

对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例
2、讨论级数
)0(cos 1
π<<∑∞
=x n nx
n p
的绝对和条件收敛性。

四 证明题：（每小题10分，共30分）
1 f （x ）在[0，+∞）上连续且恒有f （x ）>0，证明⎰⎰=x x
dt
t f dt t tf x g 0
0)()()(在[0，+∞）上单调增加
2 设正项级数
∑∞
=1
n n
x
收敛，{}n x 单调减少，证明0lim =∞
→n
n nx
3 y
x y
y x f +=
2),(，证明：),(lim 0
0y x f y x →→不存在
参考答案
一、1、有界函数)(x f 定义在],[b a 上，给一种分法
P
，b x x x a n =<<<= 10和记
{}{}],[),(inf ,],[),(sup 11i i i i i i x x x f m x x x f M --==，则∑∑==∆=∆=n
i i
i n
i i i x m P S x M P S 1
1
)(,)(分别称为相应于分法P
的Darboux 大和和Darboux 小和。

2、a N >∃>∀.0ε
使得N n m >>∀，成立
ε<⎰
n
m
dx x f )(
3、n
R 向量空间上定义内积运算
n n y x y x ++= 11y 构成Euclid 空间
二、1、由于1ln 1
ln lim )ln )ln ((1lim !ln lim 101
1-===-=⎰∑∑=∞→=∞→∞→xdx n n i n n i n n n n i n n i n n
n （7分）
2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2分）
所求的面积为：3
4
)22(2
02=-
⎰dx x x （5分） 3、 解：dx x e I n x n ⎰+∞
-=0
=+∞
--0
|
x
n
e
x +dx x
e n
n x ⎰
+∞
--0
1
=1
-n nI dx x e
n
x
⎰-1
+dx x e n x ⎰+∞
-1
（6分）
!n I n =(1分）
4、：x
u
∂∂=212yzf x f +（3分）
)2()2(22221212112xyf zf yz yf xyf zf x x z u ++++=∂∂∂（4分） 5、解： 由于余项)(0)!
1()(1
∞→→+≤+n x n e x r n x
n ，（3分）所以
++++=!
!212n x x x e n
x
（4分）
三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本133页（4分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页（6分）
2、解：当1>p 时，级数绝对收敛，（4分）当10≤<p ，由Dirichlet 定理知级数收敛，但
p p p p n nx n n nx n nx 22cos 21cos cos 2+=≥，所以∑∞
=1
|cos |n p
n nx 发散，即级数条件收敛（4分），当0≤p 时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛（2分） 四、证明题（每小题10分，共30分）
1 证明：0)
)(())()(()()
)(()()()()()(2
2
'
>-=
-=
⎰⎰⎰⎰⎰x
x
x
x x
dt t f dt
t tf t xf x f dt t f dt
t tf x f dt t f x xf x g （8分）
所以函数单调增加（2分）
2 证明：m n m >∀,，有m n m x x x m n <+<-+ 1)(由此得m n x m
n n
nx -<
，
（4分）由级数收敛，故0>∀ε
可取定0m 使得ε<0m x ，又1lim
=-∞→m n n n ，故0n ∃使得0n n >时，有2<-m n n
，（4
分）于是当0n n >时，有ε20<<n nx ，得证（2分）
3、证明：1lim ),(lim 200=+=→=→x x x
y x f x x
y x 21lim ),(lim 222002
=+=→=→x x x y x f x x
y x ，所以),(lim 0
0y x f y x →→不存在（10分）
（二十三）数学分析期末考试题
一 叙述题：(每小题5分，共15分）
1 微积分基本公式
2 无穷项反常积分
3 紧几合
二 计算题：(每小题7分，共35分）
1、
]11[21404
2⎰⎰+++x dx
t dt dx d x 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 3、求
∑∞
=+1
)2(n n
x
n n 的收敛半径和收敛域
4、设y e xe u z yz
++=-，求偏导数和全微分
5、xy
xy y x 1
1lim
-+→→
三 讨论与验证题：(每小题10分，共30分）
1 讨论2
222
2)
(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限 2 讨论
⎰
e p
x
x dx
10
ln 的敛散性 3、讨论函数项)10()(1
≤≤-=+x x
x x f n n
n 的一致收敛性。

四 证明题：(每小题10分，共20分） 1 设f （x ）连续，证明
{}d u
dx x f du u x u f x
u x
⎰
⎰⎰
=-0
)())((
2 证明)(2
2
y x y u -=ϕ满足u y
x y u x x u y
=∂∂+∂∂ 参考答案
一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立
)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰。

2、设函数)(x f 在),[+∞a 有定义，且在任意有限区间],[A a 上可积。

若极限⎰
∞→A
a
A dx
x f )(lim
存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散
3、如果S 的任意一个开覆盖{
}αU 中总存在一个有限子覆盖，，即存在{}αU 中的有限个开集{}
k
i i U 1=α，满足
S U i k
i ⊃=α1
，则称S 为紧集
二、1、]11[214042⎰⎰+++x dx t dt dx d x =8041212x
x
t dt dx d x +=+⎰（7分） 2、解：两曲线的交点为（-2，4），（1，1），（2分） 所求的面积为：
2
9
)2(1
2
2=
--⎰
-dx x x （5分） 3 ：
1)2(lim =+∞
→n n n n ，收敛半径为1（4分），由于1±=x 时，级数不收敛，所以级数
的收敛域为（-1，1）（3分）
4：
x u ∂∂=yz e y u ∂∂=1+yz
xze z
u ∂∂=z yz e xye -+（4分）
dz e xye dy xze dx e du z yz yz yz )()1(-++++=（3分）
5、解：21
)
11()11)(11(lim 11lim
00
0=++++-+=-+→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （7分） 三、1、解、由于沿kx y =趋于（0，0）时，⎩⎨
⎧=≠=-+→1
110)(lim 2
222
2)0,0(),(k k y x y x y x kx x ，所以重极限不存在（5分）
0)(lim lim ,0)(lim lim 2
222
2002222200=-+=-+→→→→y x y x y x y x y x y x x y y x ，（5分） 2：10<<p ，由于)0(0ln 12
1+→→+x x x x
p p 故⎰e p x
x dx 1
0ln 收敛（4分）；1>p ，由于)(ln 12
1+∞→+∞→+x x
x x
p p
（4分）故⎰e p x x dx 1
0ln 收敛，1=p ，-∞=⎰e x x dx 1
0ln ，发散（2
分）。

3、)(0)(lim
x f x f n n ==∞
→（3分），
0)1
1()1(
lim sup lim )()(sup lim 1=+-+=-=-∞
→+∞
→∞
→n n n n x x x f x f n n n n x
n n n ，所以函数列一致收敛（7分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1 证明：
{}
d u dx x f x
u ⎰⎰0
)(=⎰⎰⎰⎰
-=-x x x x
u
du u uf du u f x du u uf dx x f u
)()()()(=⎰-x
du
u x u f 0
))((（10分）
2、证明：
)(222'y x xy x
u
-=∂∂φ，
)(2)(22'222y x y y x y u ---=∂∂φφ（6分）u y
x
y x x y u x x u y
=-=∂∂+∂∂)(22'φ（4分）。