28误差传播定律及其应用

误差传播定律及其应用
一、误差传播定律
前面已经叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测算工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。

但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。

例如，要测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，
并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系来推算，显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。

阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。

下面以一般函数关系来推导误差传播定律。

设有一般函数：
（5-3-1）式中：（χ1、χ2、…、χn）为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知量。

设独立观测值为ℓi，其相应的真误差为∆χi。

由于∆χi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差∆Z。

将式（5-3-1）取全微分：
因误差∆χi及∆Z都很小，故在上式中，可近似用∆χi及∆Z代替dχi及d Z，于是有：
（5-3-2）
式中：为函数F对各自变量的偏导数。

将χi=ℓi代入各偏导数中，即为确定的常数，设
则式（5-3-2）可写成：
（5-3-3）为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各χi进行了k次观测，则可写出k个类似于式（5-3-3）的关系式：
将以上各式等号两边平方后，再相加得：
上式两端各除以k：
（5-3-4）设对各χi的观测值ℓi为彼此独立的观测，则∆χi∆χj当i≠j时，亦为偶然误差。

根据偶然误差的第四个特性可知，式（5-3-4）的末项当κ→∞时趋近于零，即：
故式（5-3-4）可写成：
根据中误差的定义，上式可写成：
当κ为有限值时，可写为：
（5-3-5）即：
（5-3-6）上式即为计算函数中误差的一般形式。

应用上式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量，而当ℓi为未知量χi的直接观测值时，可认为各ℓi之间满足相互独立的条件。

式（5-3-6）就是一般函数的误差传播定律，利用它不难导出5-3-1所列简单函数的误差传播定律。

二、误差传播定律的应用
误差传播定律在测绘领域应用十分广泛，利用它不仅可以求得观测值函数的中误差，而且还可以研究确定容许误差值以及事先分析观测可能达到的精度等，下面举例说明应用方法。

【例1】在1：5000地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5m m，中误差m d=±0.2m m。

求A、B两点间的实地水平距离D即其中误差m D。

D=M d=5000×234.5/1000=1172.5m
根据5-3-1第1式，得：
m D=M m d=5000×0.2/1000=1.0m
距离结果可以写成：D=1172.5m±1.0m。

【例2】设在三角形A B C中，直接观测∠A和∠B，其中误差分别为m A=±3″和m B=±4″，试求由N A、N B计算N C时的中误差m C。

函数关系为：
∠C=180-∠A-∠B
根据5-3-1第2式有：
【例3】两次测定高差时的误差规定。

一次测定两点间高差得公式为：h=a-b，设前视或后视在水准尺上读数的中误差m=±1m m，则一次测定高差的中误差。

两次测定高差之差的计算公式为：
∆h=h1-h2=（a1-b1）-（a2-b2）
则高差之差的中误差为：
==±2.0m
∆h
如果以2倍中误差为极限误差，则极限误差为±4m m。

另外考虑到还有水准管气泡置评误差的影响，所
以一般规定：两次测定高差之差不得超过±5m m。

【例4】试用误差传播定律分析视线倾斜时视距测量的精度。

测量水平距离的精度分析。

根据视距测量原理，有视线倾斜时的视距公式D=kℓc o s2α，则：
所以水平距离D的中误差为：
由于根式内第二项的值很小，为了方便讨论，可以将其略去。

则有：
m D=±（kℓc o s2α）mℓ
式中：mℓ为视距间隔ℓ的读数中误差，因ℓ=上丝读数-下丝读数，故：
m读为上、下丝读数的中误差。

由生理实验可知，人的肉眼在视角小于1′时，分辨不出两个点。

可见人眼的可分辨视角为60″。

当测量仪器的望远镜放大倍率为24倍，通过望远镜来观测时，可达到的分辨视角=60″/24=2″.5。

因此，
上、下丝读数的误差为，以它作为读数的中误差m读代入上式后可得：
于是：
m D=±100×1.71×10-5D c o s2α
当α很小时，c o sα≈1。

上式可写为：
m D=±1.71×10-3D c o s2α
则相对中误差为：
考虑到其他因素的影响，可以认为视距测量的距离精度可达1/300。

测量高差的精度分析：
根据视距测量的高差主值计算公式h=0.5kℓs i n2α，有：
则高差主值的中误差为：
根式中前一项，当D=100m时，很小，故略去。

于是：
当角α不大时，c o s2α≈c o s2α，可将上式改写为：
若mα=1′，D=100m，则m h=±0.03m。

即视距测量每100m距离对应的高差主值的中误差为±3c m，误差的最大值可达±9c m。