例谈阿基米德三角形在高考解题中的应用

2019年第5期 福建中学数学 35 力的达成水平；如何命制“有价值”的试题来分层次培养学生形成数学核心素养；如何开发“有效”的试题来强调学生对发现和提出问题、分析和解决问题的体悟，将是未来数学教师一个值得研究的课题．
（本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题《核心素养视角下的中考数学命题模式研究》（课题编号：DHA170351）的研究成果）
例谈阿基米德三角形在高考解题中的应用
黄俊生 福建省泉州第一中学（362000）
阿基米德是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称．阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他创造了“阿基米德原理”，创立了微积分学，发
明了“阿基米德螺旋”，同时还为战争发明了几项战术武器．今天的高考学子也能在他证明的一些结论中获益：近年无论是高考全国卷还是各地高考卷数学文史类和理工类均考查了与阿基米德三角形相关的知识，若考生对阿基米德三角形有所了解则可轻松解出高考中的难题．
1 阿基米德三角形及其常用性质
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．以抛物线为例，过任意抛物线焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于
A B ，两点，分别过A B ，两点做抛物线的切线12l l ，相交于P 点．那么PAB ∆称作阿基米德三角形，如图
1，该三角形具有以下性质：
性质1 若弦过抛物线焦点，则P 点必在抛物线的准线上；
性质2 若AB 中点为M ，则MP 平行于抛物线的对称轴；
性质3 若抛物线的动弦AB 过其焦点F ，则
PAB ∆为直角三角形且PF AB ⊥．
（符合射影定理） 另外，作为阿基米德三角形性质的推广有： 对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下性质：
推论1 过某一焦点F 做弦与曲线交于A B ，两点分别过A B ，两点做圆锥曲线的切线12l l ，相交于P 点．那么P 必在该焦点所对应的准线上．
推论2 过圆锥曲线的某准线上一点Q 做圆锥曲线的切线12l l ，，切点为A B ，，则直线AB 过对应
的焦点． 推论3 若圆锥曲线的动弦AB 过其焦点F ，则PF AB ⊥．
图2
2 阿基米德三角形在高考解题的魅力
例1 （2012年高考福建卷·文21）如图2，等边三角形OAB
的边长为且其三个顶点均在抛物线2:2(0)E x py p =>上． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =−相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．
常见的两种解法均较繁琐，下面给出第三种解法：假设存在定点M 满足题意，由阿基米德三角形性质3知：M 为抛物线焦点(01)，，证明如下：
20
0(1)4x MP x =− ，，
200
4
(2)2x MQ x −=− ，， 2200
0042(1)024
x x MP MQ x x −⋅=×−−= ．
故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(01)M ，． 一步到位，简洁明了！
例2 （2014年高考辽宁卷·理10）已知(23)A −，在抛物线2:2C y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线
BF 的斜率为（ ）
． A ．1
2
B ．23
C ．3
4 D ．43
36 福建中学数学 2019年第5期
求解时，学生通常会通过设直线方程(y k x =+ 2)3+与抛物线方程22y px =联立，令0∆=，求出
斜率、切点坐标，进而得到直线BF 斜率，如此计
算量则较大，费时较多．
另解 由(23)A −，在抛物线2:2C y px =的准线上易得22p
=，故4p =．由性质3知AF BF ⊥，而303224AF
K −==−−−，1AF BF k k ⋅=−，
则4
3
BF k =，选D ． 例3 （2018年高考全国卷Ⅲ·理16）已知点(11)M −，和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A B ，两点，若90AMB ∠= ，则k = ．
解 注意到(11)M −，在抛物线2:4C y x =的准线上，且90AMB ∠= ，由性质3知AM BM ⊥，故MF AB ⊥，而101
112
MF k −=
=−−−，1MF AB k k ⋅=−，所以2k =．
例4 （2012年高考福建卷·理19）如图3，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为1F ，右焦点
为2F ，离心率1
2
e =．过1F 的直线交椭圆于A B ，两
点，且2ABF ∆的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程．
（Ⅱ）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
解析 （Ⅰ）易得椭圆的方程为22
143
x y +=．
（Ⅱ）参考答案给出两种解法，均比较繁琐： 由2
2
14
3y kx m x y =
+ +=
，， 得222(43)84120k x kmx m +++−=．
因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点00()P x y ，，所以0m ≠且0∆=，
即2222644(43)(412)0k m k m −+−=， 化简得22430k m −+=（*）
． 此时024443
km k
x m k =−=−
+， 003y kx m m +， 所以43
()k P m m −，．
由4x y kx m = =+
，，得(44)Q k m +，．
假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对
称性知，点M 必在x 轴上．设1(0)M x ，，
则MP MQ ⋅
0=对满足（*）式的m k ，恒成立．
因为143()k MP x m m
=−− ，，
1(44)MQ x k m =−+
，， 由0MP MQ ⋅=
，
得211141612430kx k k
x x m m m
−
+−+++=
， 整理得2111(44)430k
x x x m
−+−+=（**）
． 由于（**）式对满足（*）式的m k ，恒成立，
所以12
11440430x x x −=
−+= ，
，解得11x =． 故存在定点(10)M ，，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．
解法2 （1）同解法1．
（2）由2
2
14
3y kx m x y =+ += ，， 得222(43)84120k x kmx m +++−=．
因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点00()P x y ，，所以0m ≠且0∆=，
即2222644(43)(412)0k m k m −+−=， 化简得22430k m −+=（*）． 此时024443
km k
x m k =−=−
+， 003y kx m m +， 所以43
()k P m m
−，．
由4x y kx m = =+
，，得(44)Q k m +，．
2019年第5期 福建中学数学 37
假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取0k =
，m =，此
时(0P
，(4Q ，以PQ 为直径的圆为2(2)x −
2(4y +=，交x 轴于点1(10)M ，，2(30)M ，，取12
k =−，2m =，此时3
(1)2P ，，(40)Q ，，以PQ 为
直径的圆为225345
()()2416
x y −+−=，交x 轴于点3(1M ，
0)，4(40)M ，．所以若符合条件的点M 存在，则M
的坐标必为(10)，．
以下证明(10)M ，就是满足条件的点：
由M 的坐标为(10)，，则43
(1)k MP m m
=−− ，，
(34)MQ k m =+ ，，从而121233k k MP MQ m m
⋅=−−++
0=，故恒有MP MQ ⊥
，即存在定点(10)M ，，使得
以PQ 为直径的圆恒过点M ．
下面给出另解：
解法3 由推论3易知：焦点(10)M ，满足题意，证明如下：设00()P x y ，，
则由2
2
14
3y kx m x y =
+ +=
，， 消y 得222(43)84120k x kmx m +−+−=，
此时02443
km
x k =
+，
又0∆=，则22430k m −+=．
所以43
()k P m m
−，．
又Q 在4x =上，所以(44)Q k m +，．
从而43(1)k MP m m
−=−， ，(34)MQ k m =+， ，
43
(1)3(4)k MP MQ
k m m m
−⋅=−×++ 1212330k k
m m
−−++=． 故以PQ 为直径的圆恒过定点(10)M ，，同样是
简洁明了！
从以上例子可以看出：如果能在平时的数学学习中注重数学文化融入，不仅能够激发学习数学的兴趣，还能从中丰富解题方法，进而提高解题的效率和精度，达到事半功倍的效果．
解题，比方法更重要的是……
汤向明1
林运来2
1福建省泉州第一中学（362000）2福建省厦门大学附属实验中学（363123）
罗增儒教授通过其解题实践总结得出“学会数学解题的四步骤程式”：记忆模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析．其中“自觉分析”是指对解题过程进行自觉的反思，使理解进入到深层结构．这是一个通过已知学未知、通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从“基础”到创新、从内隐到外显的飞跃阶段，当前的重点应是加强第四阶段的教学与研究．我校高一测试有一道函数综合问题，笔者对其探究，有一些心得体会，现整理成文，与大家交流，敬请指正． 1 试题呈现 引例 已知函数22
|log |(08)()2099(8)x x f x x x x << =
−+≥
，
，若a b c d ，，，互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_____． 参考答案如下： 解法1 不妨设a b c d <<<， 由题设条件得018a b <<<<，89c d <<<， 由()()f a f b =， 得22|log ||log |a b =， 所以22log log a b −=， 即2log ()0ab =，所以1ab =， 由()()f c f d =，得20c d +=， 所以20d c =−，
所以(20)abcd c c =−2(10)100c =−−+，
因为89c <<，
所以296(10)10099c <−−+<，。