2015届高中数学素材3.1《随机事件的概率》(北师大必修3)

第三章概率

3.1 随机事件的概率

1.男女出生率

一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比应当是1∶1,可事实并非如此.

公元1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794—1827)在他的新作《概率的哲学探讨》一书中,记载了一个有趣的统计.他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22∶21,即在全体出生婴儿中,男婴占51.2%,女婴占48.8%.可奇怪的是,当他统计1745—1784整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个比是25∶24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异,拉普拉斯对此感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人“重男轻女”,有抛弃女婴的陋俗,以至于歪曲了出生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是22∶21.

2. π中数字出现的稳定性(法格逊猜想)

在π的数值式中,各个数码出现的概率应当均为1/10.随着计算机的发展,人们对π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计,得到的结果与法格逊猜想非常吻合.

3.概率与π

布丰曾经做过一个投针试验.他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线,他将小针随意地投在纸上,他一共投了2 212次,结果与平行直线相交的共有704根.总数2 212与相交数704的比值为3.142.布丰得到的更一般的结果是:如果纸上两平行线间的距离为d,小针的长为l,投针次数为n,所投的针中与平行线相交的次数为m,那么当n相当大时有：π≈.

后来有许多人步布丰的后尘,用同样的方法计算π值.其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini).他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了π的值为3.141 592 9.这与π的精确值相比,一直到小数点后七位才出现不同!用如此巧妙的方法,求到如此高精确的π值,这真是天工造物!

3.概率论的产生,还有一段名声不好的故事.17世纪的一天,保罗与著名的赌徒梅尔赌钱,他们事

先每人拿出6枚金币,然后玩,约定谁先胜三局谁就得到12枚金币.比赛开始后,保罗胜了一局,梅尔胜了两局,这时一件意外的事中断了他们的赌博.于是,他们商量这12枚金币应该怎样合理地分配.保罗认为,根据胜利的局数,他自己应得总数的,即4枚金币,梅尔应得总数的,即8枚金币.但精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大,所以他应该得到全部的金币,于是他们请求数学家帕斯卡评判.帕斯卡得到答案后,又求教于数学家费尔马.他们的一致裁决是:保罗应分得3枚金币,梅尔应分得9枚金币.

试问：

1.你知道数学家帕斯卡和费尔马当时各自是怎样考虑和解决的吗？

2.你对数学家帕斯卡和费尔马了解多少？

思路:帕斯卡是这样解决的:如果再玩一局,或是梅尔胜,或是保罗胜.如梅尔胜,那么他可以得到全部的金币(记为1),如果保罗胜,那么两人各胜两局,应各得金币的一半(记为).由于这一局中两人获胜的可能性相等,因此梅尔得金币的可能性应是两种可能性大小的一半,记梅尔为(1+)÷2=,保罗为(0+)÷2=.所以他们各得9枚和3枚金币.

帕斯卡1623—1662法国费尔马1601—1665法国费尔马是这样考虑的:如果再玩两局,会出现四种可能的结果:(梅尔胜,保罗胜)；(保罗胜,梅尔胜)；(梅尔胜,梅尔胜)；(保罗胜,保罗胜).其中前三种结果都是梅尔取胜,只有第四种结果才能使保罗胜,所以梅尔取胜的概率为,保罗取胜的概率为.因此梅尔应得9枚金币,而保罗应得3枚金币.这和帕斯卡的答案一致.

帕斯卡和费尔马还研究有关这类随机事件的更一般的规律,由此开始了概率论的早期研究工作.

4.在密码的编制和破译中,概率论起着重要的作用.要使敌人不能破译电文而又能使盟友容易译出电文,一直是外交官和将军们关心的问题.为了保密,通讯双方事先有一个秘密约定,称为密钥.发送信息方要把发出的真实信息——明文,按密钥规定,变成密文.接收方将密文按密钥还原成明文.例如,古罗马伟大的军事和政治家凯撒大帝把明文中的每个字母按拉丁字母次序后移三位之后的字母来代替,形成密文.接收方收到密文后,将每个字母前移三位后便得到明文.这是一种原始的编制密码方法,很容易破译.

在书面语言中单个的字母不是以同样的频率出现的.从例1中英文字母出现频率的统计表中我们可以看出,在英文常用文章中,平均说来出现字母“E”的频率约为10.5%,“T”约为7.1%,而“J”的出现远小于1%.例如像凯撒大帝用过的简单密码,用FRGHV来代替CODES,容易通过对

电文中字母的频率分析来破译.出现频率最高的字母大概表示“E”,出现频率次高的字母大概是“T”,等等.

现代保密系统采用了能确保每个字母出现在密文中的概率都相等的技术.一种理论上不可破译的密码是“一次性密码本”（用后立即销毁）.这种密码本是一长串的随机数,每个都在1和26之间.这样一种密码本可能从以下数开始：19,7,12,1,3,8,….如“ELEVEN”这个词,用按字母表顺序排在E后面第19个字母表示而用L后面第7个字母表示L,等等.因此,ELEVEN变成了XSQWHV.注意,尽管在明文中“E”出现3次,但是在密文XSQWHV中却是用三个不同的字母来替换的.

5.概率天气预报是用概率值表示预报量出现可能性的大小,它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”、某种气象要素值的“大”或“小”,而是天气现象出现的可能性有多大.如对降水的预报,传统的天气预报一般预报有雨或无雨,而概率预报则给出可能出现降水的百分数,百分数越大,出现降水的可能性越大.概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面,又反映了天气变化的不确定性和不确定程度.在许多情况下,这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要.

请问同学们对概率天气预报如概率降水预报了解多少？

答案：概率,通俗地讲就是某件事发生的可能性,用0—1之间的一个小数表示,概率愈大,某事件发生的可能性也就愈大.降水概率预报,顾名思义就是一种未来出现降水可能性大小的预报.为方便用户使用,降水概率一般用百分数表示,与常规降水预报不同的是,它预报的不是降水的有、无,而是出现降雨的概率.在实际应用时,一般以50%作为“参考点”,当降水概率低于50%时,概率愈小,降水的可能性也就愈小；当降水概率高于50%时,概率愈大,降水的可能性也就愈大；如果降水概率正好是50%左右时,有雨和无雨的可能性大致相当,这时就没有使用意义了.不过,在我们的概率预报中,是不会出现这种情况的,这是因为当降水概率出现在50%附近时,我们会运用多种手段,作出更进一步分析,将有应用价值的结论提供给人们使用.

背景材料:

记者梁红英报道

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