9第三章二次根式

3.1 二次根式（1）
学习目标
1、了解二次根式的概念
2、能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围
3、理解公式
()2
a = a （a ≥0），能利用公式化简二次根式
学习重、难点
重点：二次根式的概念以及二次根式的基本性质 难点：经历知识产生的过程，探索新知识 学习过程：
一、情境创设
1、回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?
2、计算：
的平方根是 ；
(2)如图，在R ∆t ABC 中，AB=50m ，BC=a m ，则AC= m ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。

3、对上面（2）～（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 二、探索活动
1、二次根式的定义：一般地，式子a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

说说对二次根式a 的认识。

2、练习：说一说，下列各式是二次根式吗?
(1)32 (2)6 (3)12- (4))0(≤-m m (5) 35 (6)12+a (7)4 (8)x xy (、y 异号) 3、思考 当a ＜0时，a 有意义吗？为什么？ 当a ≥0时，a 可能为负数吗？为什么？
4、例1 x 是怎样的实数时,式子5-x 在实数范围内有意义?
分析：根据二次根式的定义，被开方数a ≥0，因此要使5-x 有意义，必须要使x-5≥0即可。

5、二次根式性质的探索：
22
=4，即（4）2
= 4；32
=9，即（9）2
= 9；……
观察上述等式的两边，你得到什么启示？ 揭示：当a ≥0时，()2
a = a 。

6、例2 计算： （1）2)3(； （2）2
)3
2(
； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）
分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。

三、课堂练习
P59练习1、2
四、课堂小结
引导学生总结：
1、什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?
2、二次根式有哪两个形式上的特点?
()2a = ？
3、当a≥0时，
五、作业
P60 习题3.1 1、2
板书设计：
教后感
a （a ≥0）
-a （a ＜0）
3.1 二次根式（2）
学习目标
1、理解二次根式的性质a a 2，能运用这个性质化简二次根式
2、知道公式a a 2与(a )2 = a （a ≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用
学习重、难点
重点：二次根式的性质的掌握 难点：二次根式的性质的应用 学习过程：
一、情境创设
1
、在化简
时，小丽同学的解答过程是4=
=
；小华同学的解答过程是
4-。

谁的解答正确?为什么?
2、?2
a
二、探索活动
1、请同学们观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律，再和同学们进行交流。

2;2;3;3=====；……
让学生通过观察，提出发现的猜想，并进行交流。

2、发现：当a ≥0时，a a 2
，当a ＜0，a a 2
3、明确：（师生共同归纳）2
a =a =
4、比较2
a 与的(a )2区别
三、实际应用，巩固新知 例1 计算：
⑴4 ⑵2)5.1( ⑶2)1( x （x ≥1） 分析：严格按照公式做即可。

例2 讨论： ⑴2)3(
⑵求使2)3( x = 3－x 成立的所有x 的值 ⑶(a )2=2
a
四、课堂练习
1、P 60 练习1、
2
a （a ≥0） -a （a ＜0）
2、计算：
⑴25 ⑵2)7(
⑶（
3
2）2
⑷442 x x （x ≥2） 五、课堂小结 1、内容总结
a ≥0（a ≥0）≥≥＜ 二次根式的性质 （a ）2
=a （a ≥0）
2a =a =
2、方法归纳
正确地理解二次根式的性质是进行化简或运算二次根式的关键。

六、作业
P 60 习题3.1 3、4
板书设计：
教后感
3.2 二次根式（1）
学习目标
1、经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则
2、能运用二次根式的乘法法则：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）进行乘法运算
3、理解积的算术平方根的意义，会用公式ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）化简二次根式 学习重、难点
重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质
难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用 学习过程：
一、情境创设
1、复习旧知：什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?
2、计算：（1
（2
（3）2)32(×2
)5
3(与22)53()32(⨯
二、探索活动
1、学生计算。

2、请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？学生分小组交流。

3、概括：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。

a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）
4、由以上公式逆向运用可得：
ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）
文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

三、例题教学 例1 计算：
⑴2·32 ⑵
2
1
·8 ⑶a 2·a 8（a ≥0） 分析：本例利用公式计算所得结果都是可以直接开方，不需化简的情形。

例2 化简：
⑴2
2
57 ⑵8116 ⑶12
⑷3
a （a ≥0） ⑸a （a ≥0，
b ≥0）
分析：本例的化简，关键是将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“偶
次方因式”，再利用积的算术平方根等于算术平方根的积来解决。

注意：一般地，二次根式的运算结果中，被开方数中应不含能开得尽方的因数或因式。

四、课堂练习 P 62 练习1、2 五、思维拓展
b =ab （a ≥0，b ≥0） 思考：a ×b ×
c = ？
请举例说明它的应用。

计算：⑴xy ·y x 3·2xy ⑵18·24·27 六、小结
1、二次根式的乘法法则是什么？用语言叙述。

2、如何进行二次根式的化简？ 七、作业
优秀：P 67 习题3.2 1、2 后进：P 62 练习 1、2
板书设计：
教后感
3.2 二次根式（2）
学习目标
1、进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算
2、能熟练地进行二次根式的化简及变形 学习重、难点
重点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 难点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 学习过程：
一、情境创设
1、复习旧知：上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质，谁能说说它们的内容各是什么?
回答：（1）
2
1
×32=______， （2）12=___________。

这节课我们继续学习它们的应用。

二、探索活动
1、引导学生回顾：
a ·
b =ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 2、学生尝试练习：
化简：（1）200 （2）y x 3
(x ≥0，y ≥0)
（3）y x x 23 (x ≥0，x+y ≥0)
三、例题教学 例1 计算：
⑴6·15 ⑵
2
1·24 ⑶3
a ·a
b （a ≥0，b ≥0） 分析：本例先利用二次根式的乘法法则计算，再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。

例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10㎝，BC=24㎝，求AB 。

分析：由勾股定理可得： AB=
22BC AC =221024
四、课堂练习
1、P 63 练习1、
2、
3、4 2、化简：
⑴242524y x x (x ＜0，y ＜0) ⑵121232 m m (m ＜2) 五、小结
如何进行二次根式乘法运算？如何进行二次根式的化简？
六、思维拓展 1、计算：
278·3
4·54·24 2、将下式中根号外的数适当改变后移到根号里： ⑴ 32 ⑵a a
1 (a ＜2)
七、作业
优秀：P 67 习题3.2 3、4 后进：P 63 练习 1、2
板书设计：
教后感
3.2 二次根式（3）
学习目标
1、经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则
2、能运用法则
b
a =
b
a
（a ≥0，b ＞0）进行二次根式的除法运算 3、理解商的算术平方根的性质
b a =b
a （a ≥0，
b ＞0），并能运用于二次根式的化简和计算 学习重、难点
重点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质
难点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用 学习过程：
一、情境创设
1、想一想：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）是用什么样的方法引出的？
2、思考：
b
a = ？（a ≥0，
b ＞0）
二、探索活动
1、计算并观察两者关系： ⑴
254=________；
254=_________； ⑵16
9=________；169=_________； ⑶100
49
=_______；10049=________； ⑷2
2
52=________；2252=_________； 2、请再举例试一试。

你猜想到什么结论呢？
3、由此猜想可得：
b
a =
b
a
（a ≥0，b ＞0） 注意：为什么要加a 、b 条件？ 三、例题教学 例1 计算：
⑴
3
12 ⑵
7
56
⑶27÷3 ⑷321
÷3
1 分析：本例前两条可先利用除法法则计算，再化简；第三条可先将之化为“分式”形式，再同
前两题的方式一样去计算化简；而第四条计算前应先将带分数化为假分数，再用除法法则计算，此时运用“除以一个数等于乘以这个数的倒数”来计算。

注意：本例还可以用另外一种方法计算，如：
3
12=
3
43 =4=2
思考：b
a
= ？（a ≥0，b ＞0）利用这个等式可以化简一些二次根式。

例3
化简：
⑴
2516 ⑵9
7
1 ⑶163 ⑷2
2
94a
b （a ＞0，b ≥0） 四、课堂练习
P 65 练习1、2、3 五、小结
二次根式除法运算如何进行？对于简单的二次根式如何逆用二次根式除法运算法则进行化简？ 六、思维拓展 1、怎样计算：
313÷（31252）×（45
21）？ 2、计算过程：
520 =545 =5
45 =4=2正确吗？为什么？ 七、作业
优秀：P 67 习题3.2 5、7 后进：P 65 练习 1、2
板书设计：
教后感
3.2 二次根式（4）
学习目标
1、能运用法则
b a =b
a （a ≥0，
b ＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号 2、进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分
母，根式运算的结果中分母不含有根号 学习重、难点
重点：商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用 难点：商的算术平方根的性质的理解与运用 学习过程：
一、情境创设
想一想:
b
a =？（a__，b__）,
b
a
=? （a__，b__） 二、探索活动
1、思考：如何化去3
1的被开方数中的分母呢?
2、小组讨论后交流。

板书：
31=3331⨯⨯=233=23
3=33
3、请再举例试一试。

你猜想到什么结论呢？ 板书：当（a ≥0，b ＞0）时,
b a = b b b a ∙∙=2b ab =2b
ab =b ab 4、 想一想：如果上面31
首先化成3
1,那么该怎样化去分母中的根号呢? 5、小组讨论后交流。

指名板书过程，有:
31=31=3331⨯⨯=3
3 6、请再举例试一试。

你猜想到什么结论呢？ 板书：当（a ≥0，b ＞0）时, b
a =
b
b b a ∙∙=
b
ab 三、例题教学
例1 化去根号内的分母: （1）
32 （2）3
1
2 （3）)0,0(32≥>y x x y
分析：第2小题中的被开方式应先化成假分数之后，再利用商的算术平方根的性质来化去根式
中的分母。

例2 化去分母中根号: （1）
32
（2）51 （3）)0,0(32 y x x
y
分析：本例各题可直接利用二次根式的除法法则的应用直接化去分母中的根式。

四、课堂练习 P 66 练习1、2 五、小结
一般地，二次根式运算的结果中，要求分母不含根号，被开方数中不含分母。

那么怎样进行这两类二次根式的化简呢？
六、思维拓展
在具体进行二次根式的化简中还可以将二次根式除法与化去分母中的根号做一些结合，例如：
18
5 =
2
1825 =
36
10 =
6
10
七、作业
优秀：P 67 习题3.2 8、9 后进：P 66 练习 1、2
板书设计：
教后感
3.3 二次根式的加减（1）
学习目标
1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法
2、能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算 学习重、难点
重点：同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法 难点：同类二次根式的概念 学习过程：
一、情境创设
下列3组二次根式，各有什么共同特征？
（1）2，23，22 ，215，
23
2
…… （2）3，35 ，36，317，
313
2
…… （3）2，8，18，32，
2
1
…… 分析：（1）、（2）两组有点像同类项，（3）式虽然和前两组不同，但如果将它们化简之后再看的话就一样了。

定义：像上面这3组二次根式一样，经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式。

二、探索活动
1、(1)说出 52的三个同类二次根式；(2)试举出一组同类二次根式。

2、情境创设中的3组数据可以相加吗？
3、要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
4、怎样合并同类二次根式？
与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，作为结果的系数，根号及根号内部都不变
5、二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并 三、例题教学 例1 计算：
（1）23 + 32 － 22 + 3 （2）12 + 18 － 8 － 32 （3）40 － 10
1
5 + 10
分析：第1小题可直接合并同类二次根式；第2、3小题首先要将它们化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。

例2 如图，两个圆的圆心相同，面积分别为8㎝2
、 18㎝2
，求圆环的宽度（两圆半径之差）
分析：本例先列出计算式子，再将各式化成最简二次根式，最后进行合并同类二次根式。

四、课堂练习
P 70 练习1、2、3
补充：1.在二次根式：①12②3
2③
3
2
；④27是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
2. 如果最简根式
b-a
3b 和2b-a+2 是同类根式，那么a=_____,b =______
五、小结
1、同类二次根式的定义
2、二次根式加减运算的步骤
3、如何合并同类二次根式：合并同类二次根式与合并同类项类似 六、作业
优秀：P 72 习题3.3 1、2 后进：P 70 练习 1、2
板书设计：
教后感
3.3 二次根式的加减（2）
学习目标
1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用
2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算 学习重、难点
重点：正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算 难点：二次根式的运算法则 学习过程：
一、情境创设
1、二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？
2、什么叫同类二次根式？举例说明。

3、回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式。

二、探索活动
1、怎样计算：)232)(223( ？ 小组讨论，全班交流。

类比：怎样计算（a-b ）（a+2b ）？
2、怎样计算：)223)(223( ？ 回顾：（a-b ）（a+b ）＝________
3、2)223( 呢？
小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。

三、例题教学 例1 计算： ⑴15)3212
5
(
⨯+ ⑵)52)(103( 分析：第1小题可类比单项式乘多项式；第2小题可类比多项式乘多项式。

例2 计算：
⑴)23()23( ⑵2)523(
分析：本例是整式的乘法公式的类比应用，其中第1小题可类比“平方差公式”，第2小题类比“完全平方公式”。

小结：多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法 四、课堂练习
1、P 72 练习1、2
2、补充：① 50511221832
②12)3
23242731( ③)32)(532( ④)()3(33ab ab ab b a （a ＞0，b ＞0） 五、思维拓展
1、在实数范围内分解因式： ①x 4－4 ②x 2
－2x －2 2、化去
2
323 分母中的根号
3、比较大小，并说明理由
5264⨯+与
64
10642
与
10522
与
六、小结
本节课学习了二次根式的运算，在进行运算时要注意什么？
1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并
2、运算律同样适用于二次根式的运算
3、计算结果要最简 七、作业
优秀：P 72 习题3.3 3、4 后进：P 72 练习 1、2、3
板书设计：
教后感。