八年级数学常考点精练(苏科版)：专题17 勾股定理的证明方法(解析版)

专题17勾股定理的证明方法

1．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C 在直线m 上，分别过点A 、B 作AE ⊥直线m 于点E ，BD 直线m 于点D

.

（1）求证：EC BD ；

（2）若设AEC 三边分别为a 、b 、c ，猜想a 、b 、c 存在什么关系，并简要说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）222=a b c ，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由同角的余角相等，可得到CAE BCD ，然后用AAS 即可证明CAE ≌BCD ，从而得到EC BD ；

（2）梯形面积等于三个直角三角形面积之和，可得出关系式.

【详解】

（1）证明：∵90ACB

∴90ACE BCD

∵90ACE CAE

∴CAE BCD

在AEC 与BCD 中

CEA BDC CAE BCD AC CB

∴CAE ≌BCD （AAS ）

∴EC BD

（2）可以得到结论：222=a b c ，理由如下：

由（1）得BC =AC =c ，EC =BD =a ，CD =AE =b

∴S 梯形ABDE =

22111222 a b a b a ab 又∵S 梯形ABDE =S △ACE +S △ABC +S △BCD =221111=2222 ab c ab ab c ∴222111=222 a ab b ab c 整理得222=a b c .

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质和勾股定理的证明，掌握“一线三等角”模型是解决本题的关键.2．数学实验室：

制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c 为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．

探索研究：

（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：

（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）通过图形的面积的两种计算方法，即可得出结果；

（2）通过大正方形面积的两种计算方法，即可得出结果．

【详解】

（1）解：如图3所示，

图形的面积表示为：2222122

a b ab a b ab

，图形的面积也可表示：22122c ab c ab

，∴a 2 b 2 ab c 2 ab ，

∴a 2 b 2 c 2

（2）解：如图4所示，

大正方形的面积表示为： a b 2，大正方形的面积也可以表示为：221422

c ab c ab

，∴22()2a b c ab ，

∴a 2 b 2 2ab c 2 2ab ，

∴a 2 b 2 c 2；

【点睛】

此题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理．

3．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC ，饶其锐角顶点逆时针旋转90°得DAE △，所以

90BAE ，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt BAE 和Rt BFE △的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和，化简整理得到勾股定理．

【详解】

解：由图可得：

正方形ACFD 的面积＝四边形ABFE 的面积＝Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和，

即S 正方形ACFD ＝S △BAE ＋S △BFE ，∴221()()22

b a b a b

c ，整理得：222 a b c ，

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明方法有很多种，一般采用拼图的方法证明．在解题时注意：先利用拼图的方法拼图，然后再利用面积相等，证明勾股定理．

4．

（1）如图①是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图②，Rt △ABC ≌Rt △CDE ，∠B ＝∠D ＝90°，且B 、C 、D 三点在一条直线上．试证明∠ACE ＝90°；

（3）伽菲尔德(G a rfield ，1881年任美国第20届总统)利用

（1）中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该证明过程．

【答案】(1)(a +b )2＝a 2+2ab +b 2;(2)见解析；（3）见解析.

【解析】

【详解】

（1）(a +b )2＝a 2+2ab +b 2．

（2）证明：∵△ABC ≌△CDE ，∴∠BAC ＝∠DCE ．

∴∠ACB +∠DCE ＝∠ACB +∠BAC ＝90°．

由于B 、C 、D 在一条直线上，

所以∠ACE ＝180°－(∠ACB +∠DCE )＝180°－90°＝90°．

（3）证明：梯形ABDE 的面积为 2111222

AB ED BD a b a b a b ．另一方面，梯形ABDE 可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成

2

111222ab ab c ．∴ 22

11112222

a b ab ab c 即a 2+b 2＝c 2．

5．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a ＝2n +1，

b ＝2n 2+2n ，

c ＝2n 2+2n +1(n 为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数．

(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a ＝12(m 2﹣n 2)，b ＝mn ，c ＝12

(m 2+n 2)(m 、n 为正整数，m ＞n 时，a 、b 、c 构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n ＝5，求该直角三角形另两边的长．

【答案】(1)证明见解析；(2)当n ＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．

【解析】

【分析】

（1）根据题意只需要证明a 2+b 2＝c 2，即可解答

（2）根据题意将n ＝5代入得到a ＝

12(m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12(m 2+25)，再将直角三角形的一边长为37，分别分三种情况代入a ＝12(m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12(m 2+25)，即可解答【详解】