机械振动-课后习题和答案--第二章-习题和答案

弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：
mg k δ=
，即：n ω==
取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ
⎧+=⎪=⎨⎪=⎩
00020mx kx x x （参考教材P14）
解得：δω=()2cos n x t t
弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=
、 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=
== 取系统的平衡位置为原点，得到：
系统的运动微分方程为：20n x x ω+=
其中，初始条件：(0)0.2(0)0
x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-
弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω==
=- 因此：振幅为、周期为
2()7s π、弹簧力最大值为1N 。

重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

<
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212
U kx =
由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+
系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩
2020122m g
x k m x gh m m （能量守恒得：221201()2
m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+
其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩20002112
2n m g A x k x m g ghk A k m m
即：ωω=
-2()(cos )n n m g x t t t k "
一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有： 2222111()()222
T E I m r I mr θθθ=+=+ 21()2
U k r θ=
由()0T d E U +=可知：22()0I mr kr θθ++= 即：22/()n kr I mr ω=+ （rad/s ）
均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。

求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且21312,k k k k ==。

|
解：取m 的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 212
T E mx =
22211115226U kx k x k x =+= （其中：1212k k k k k =+）
由()0T d E U +=可知：1503mx k x +=
即：153n k m ω=rad/s ），1
325m T k π=（s ）
如图所示，半径为r 的均质圆柱可在半径为R 的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。

解：设物体重量W ，摆角坐标θ如图所示，逆时
针为正，当系统有θ摆角时，则：
θθ=--≈-2()(1cos )()2U W R r W R r （
设ϕ为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度： ()c R r r υθϕ=-=，即：()R r r
ϕθ-= 记圆柱体绕瞬时接触点A 的转动惯量为A I ，则：
=+=+22212A C W W W I I r r r g g g ϕθθ-===-222221133()()()2224T A W R r W E I r R r g r g （或者理解为：ϕθ=+-22211()22T c W E I R r g
，转动和平动的动能） 由()0T d E U +=可知：
θθ-+-=23()()02W R r W R r g
n rad/s）
即：ω=
横截面面积为A ，质量为m 的圆柱形浮子静止在比重为γ的液体中。

设从平衡位置压低距离x (见图)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。

:
解：建立如图所示坐标系，系统平衡时0x =，由牛顿第二定律得： ()0mx Ax g γ+=，即：n Ag m γω=
有初始条件为：{
==000x x x 所以浮子的响应为：()sin()2Ag x t x m γπ=
求如图所示系统微幅扭振的周期。

图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，O 2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O 1A 与O 2B 在同一水平线上)，弹簧不受力。

摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m 1，m 2。

解：两轮的质量分别为12,m m ，因此轮的半径比为： 1
1
2
2
r m r m = 由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：
' 121
212
r r θθθθ==
取系统静平衡时10θ=，则有：
222222111222121111111
()()()22224T E m r m r m m r θθθ=+=+
2221112221211111
()()()()222
U k r k r k k r θθθ=+=+
由()0T d E U +=可知：222121112111
()()02m m r k k r θθ+++=
即：1212
2()
n k k m m ω+=
+rad/s ），+=+121222()m m T k k （s ）
如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。

在图示位置，由水平弹簧维持平衡。

半径R 与a 均已知，求微振动的周期。

解：取轮的转角θ为坐标，顺时针为正，系统平衡时0θ=，则当轮子有θ转角时，系统有： ， θθθ=
+=+2222111()()222T P P E I R I R g g
θ=21
()2
U k a
由()0T d E U +=可知：θθ+
+=22
2()0P I R ka g
即：ω=
+22n ka P I R g
（rad/s ），故 π
ω+
==2
2
22n P I R g
T ka （s ）
弹簧悬挂一质量为m 的物体，自由振动的周期为T ，如果在m 上附加一个质量m 1，则弹簧的静伸长增加l ，求当地的重力加速度。

解：
224T m k T ππ=∴=
1211
4m g k l
k l m l g m T m π=∴==
、
用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。

摆锤重P ，(b )与(c )中每个弹簧的弹性系数为k /2。

(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。

解：取系统的摆角θ为坐标，静平衡时0θ= （a ）若不计杆重，系统作微振动，则有： θ=
221()2T P E L g
θθ=-≈
21
(1cos )2
U PgL PgL 由()0T d E U +=可知：θθ+=2
0P L PL g
即：ω=n g
L
rad/s ）
如果考虑杆重，系统作微振动，则有： (
θθθ=
+=+2222221111()()()22323
L T L P P m
E L m L L g g
θθθ=-+-≈+2
(1cos )(1cos )()222
L L L P m U PgL m g gL g
由()0T d E U +=可知：θθ+++=2(
)()032
L L P m P m L gL g g
即：ω=
n rad/s ）
（b ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：
θθθ=
+=+2222221111()()()22323
L T L P P m
E L m L L g g
θθ≈++⨯221()()()222222
L P m k L U gL g
即：ω=
n rad/s ）
（c ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：
θθθ=
+=+2222221111()()()22323
L T L P P m
E L m L L g g |
θθ≈-++⨯221()()()222222
L P m k L U gL g
即：ω=
n （rad/s）
求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。

答案：系统的运动微分方程
22
2
a b
mx kx
a
+
+=
一台电机重470N，转速为1430r／min，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。

每根槽钢长，重，弯曲刚度EI＝ ·m2。

(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；
(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；
(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。

{
一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

wL3/(3EI)
求等截面U 形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L 。

解：假设U 形管内液柱长l ，截面积为A ，密度为ρ，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x 时，有：
ρ=21
2T E Alx
ρ=⨯⨯⨯U A x g x
由()0T d E U +=可知：ρρ+=20Alx g Ax
即：ω=2n g l （rad/s ），π=2l T g
s ） ，
2．17 水箱l 与2的水平截面面积分别为A 1、A 2，底部用截面为A 0的细管连接。

求液面上下振动的固有频率。

解：设液体密度为ρ，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降1x 时，右边液面上升2x ，液体在水箱l 与2和细管中的速度分别为123,,x x x ，则有： 22211133222111
[()][][()]222T E A h x x A L x A h x x ρρρ=-+++
22211132132
[(
)()]2
A A
Ah A L A h x A A ρ
≈
++ （由于：1;h x h -≈2;h x h +≈112233;Ax A x A x ==1122Ax A x =）
|
1212
x x U Ax g
ρ+=
由()0T d E U +=可知：11111232
[(1)()](1)0A A A
h L x g x A A A +
+++=
即：n ω=
（rad/s ）
如图所示，一个重W 、面积为A 的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。

设T 1、T 2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。

试证明：
22222
1
2T T T gAT W
-=
πμ
并指出μ的意义(式中液体阻尼力F d =•2Av )。

试证明：对数衰减率也可用下式表示n
x x n 0
ln 1=
δ，(式中x n 是经过n 个循环后的振幅)。

并给出在阻尼比ζ为、、时振幅减小到50%以下所需要的循环数。

？
解：设系统阻尼自由振动的响应为()x t ；
0t 时刻的位移为0x ；0n t t nT =+时刻的位移为n x ；则：
0000()0cos()cos[()]n n d n d t nT d t nT n d d x Xe t e x Xe t nT ζωζωζωωϕωϕ--+-==+- 所以有：001ln
ln n d n x x nT n n x x ζωδ===，即：n
x x
n 0ln 1=δ 当振幅衰减到50%时，00.5n x x =
，即：1
ln 2ln n δ==1)当 0.01ζ=时，11n =；要11个循环； 2)当 0.1ζ=时， 1.1n =；要2个循环； 3)当 0.3ζ=时，0.34n =；要1个循环；
某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg，前悬架刚度为k1=⨯／m，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。

如果要求ζ=，那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振前悬架的阻尼比0.25
器
重量为P 的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长δ，在上下运动时所遇到的阻力与速度v 成正比。

要保证物体不发生振动，求阻尼系数c 的最低值。

若物体在静平衡位置以初速度v 0开始运动，求此后的运动规律。

·
解：设系统上下运动为x 坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为：
δ
++=0P P
x cx x g 系统的阻尼比
：ζ=
=系统不振动条件为：1ζ≥
，即：2c P ≥
物体在平衡位置以初速度0υ开始运动，即初始条件为：υ=⎧⎨=⎩00
00
x x
此时系统的响应为：（可参考教材P22）
1)当1ζ>时：
ωωζω--=+1
2
()(n n n t x t e Ae Ae
其中：ω⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
1,2n A
2) 当1ζ=时： ωω--=+12
()n n t t
x t Ae A te ，其中：υ=⎧⎨=⎩12
00A A ：
即：ωυ-=0()n t x t te
3) 当1ζ<时： ζωωω-=+12()(cos sin )n t d d x t e C t C t
其中：υωωω⎧=⎪=⎨⎪=⎩1200/d
C C ，即：ζωυωω-=0()sin n t d d
x t e t
一个重5500N 的炮管具有刚度为⨯／m 的驻退弹簧。

如果发射时炮管后座，试求：
①炮管初始后座速度；
②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的)； ③炮管返回到离初始位置时所需要的时间。

设系统阻尼比0.1ζ=，试按比例画出在n ωω＝、、三种情况下微分方程的
向量关系图。

试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当0.2ζ=、n ω=5rad/s 时系统的品质因子和带宽。

已知单自由度系统振动时其阻力为cv (其中c 是常数，v 是运动速度)，激励为0sin F F t ω=，当n ωω=即共振时，测得振动的振幅为X ，求激励的幅值F 0。

若测得共振时加速度的幅值为A ，求此时的F 0。

*
某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为50cos
F tω
=(N)，系统在周期T＝时共振，振幅为，求阻尼系数。

解：由0.20
T s
=时共振可知，系统固有频率为：
π
ωπ==
2
10 n T
当ωω
→
n 时，已知响应振幅：0
F
X
cω
=，（参教材P30）
所以：
5
10
(/) F
c N s m
Xωπ
==
一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的%，试计算其结构阻尼系数 。

要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。

若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即
⎩⎨⎧>-=≤=0
2
2x x a F x x a F d d 求其等效阻尼系数和共振时的振幅。

\
解：实际上，这是一种低粘度流体阻尼。

设系统的运动为：()cos()x t X t ωϕ=-
3
3
2
c /20/20/333
/3330
323
23(|()|)()
[|()|()][|()|sin()]sin ()sin ()[2(0)(0)]
w w w aX A w
x dx x d A H w w wt a H w w wt H w wA wt dx
w A t dt aw X t dt X w π
π
ππωααϕαϕϕωϕωϕαϕϕ=
=
-=---=--=--=--⎰⎰⎰⎰⎰
2334ωωax d = 2338ωωax d = 2233
8X C ax πωω=
π
ω
382
3
x a e C =
cos()x X t ωϕ=-
-
sin()x X t ωωϕ•
=-- /2/2
2
//22220
2/2222/32
83sin ()(cos())sin ()(cos())c W x dx x dx
X t X t dt
X t X t dt
X πωπω
πω
πω
πω
πω
αααωωϕωωϕαωωϕωωϕαω
••=+-=---+----=⎰⎰
⎰⎰
2P C W W C X πω==
83aX C ω
π
=
00238F F
c aX X πωω==
a
F w axw F n
n
X 232183022
ππ=
=
⎩⎨⎧=•
••
•≤≥-00
2
2
x x
x x
d F αα
2
33
8334
/0
34
/03
4
/0
2
)(cos 444ωαϕωωααωZ dt
t Z dx
x dx
x x d F T T T d e =-====⎰
⎰⎰
⎰••
;
2Z C C P πωωω==
ωαωπZ e 38=
ω
00
C F Z = 2083ωαπZ F Z =
KGlⅡ电动机重P，装在弹性基础上，静下沉量为。

当转速为n r／min 时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。

试求激励的幅值，不计阻尼。

电动机重P，装在弹性梁上，使梁有静挠度。

转子重Q，偏心距为e。

试求当转速为时，电动机上下强迫振动的振幅A，不计梁重。

一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O 轴上(图T —，并由一联动装置控制。

该装置相当于一刚度为k T 的扭转弹簧。

调整片转动惯量为I ，因而系统固有频率ω=/n T K I ，但因k T 不能精确计算，必须用试验测定ωn 。

为此固定升降舵，利用弹簧k 2对调整片做简谐激励，并用弹簧k 1来抑制。

改变激励频率ω直至达到其共振频率ωT 。

试以ωT 和试验装置的参数来表示调整片的固有频率ωn 。

*
解：设调整片的转角为θ，系统的微分方程为：
2122[()]sin T I k k k L k Ly t θθω+++=
系统的共振频率为：2
2120
()T k k k L I
ω++=
因此：2
20
12()T k I k k L ω=-+ 调整片的固有频率为：22
2
120()T n
k k k L I I
ωω+==-
图 T —
如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。

试求W 的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。

解：由题目
~
V L
T = L
V T
w ππ
22=
=
t Y y L V
π2cos =
)(y x K X w --=•
•
t KY X w L V π2cos =•
• t KY Kx X w L
V π2cos =+•• 2222)(2
)()(s L
V L V KY s KX s X wS +=+ππ
)
)()((22
222)(K ws s KY
L V L
V
s X ++=
ππ w
K n =
2
ω
2
222
2
22sin sin n n
n
Y aY
n a a X a t ωωωω+-=+ -
[]w
V T KL Y KL Y
a Y a Y
KL
w
V n
n
X 222
222
242
22
2
1)/(10
)/(1πωωπ---+-=
===
w k V L /2π=
L
Tv T
==
π
ω2 L
v πω2=
Ky KX X m =+•
•
y X X n n 2
2ωω=+•
• 222
ωωω-=n
n
Y X
2
2
24222
2
2
L v n n n
n
Y Y X πωωωωω--==
m RL
V 22
42π=
}
单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T —，=asin t 。

试求在微幅的强迫振动中偏角的变化规律。

已知摆长为L ，摆锤质量为m 。

一个重90N 的飞机无线电要与发动机的频率1600～2200r/min 范围的振动隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少 试从式证明：
1. 无论阻尼比ζ取何值，在频率比2/=n ωω时，恒有X ＝A 。

2. 在2/<n ωω，X/A 随ζ增大而减小，而在2/>n ωω，X/A 随ζ
增大而增大。

某位移传感器固有频率为，阻尼比=。

试估计所能测量的最低频率，设要求误差≤1％，≤2％。

一位移传感器的固有频为率2Hz ，无阻尼，用以测量频率为8Hz 的简谐振动，测得振幅为。

问实际振幅是多少误差为多少
一振动记录仪的固有频率为f n ＝，阻尼比=。

用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为
x =t +t (cm)
@
证明：振动记录仪的振动z 将为
z ＝(4t -500)+(8
t -1200)(cm)
求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。

解：
a
)]
(sin[)(sin )()
(1
1
τωτωτξωωξωω-=
-=---t e
t h t e t h d t m d t m n d
n d
t t h d m d
ωωsin )(1
=
)](sin[)2(1
τωω-=-t t h d m d
、
)
()(sin )
(cos )(cos )(01
10
1
ττωωτωω--==-=⎰
⎰t d t F t t d t X t
n m n R F t
n n
c
1[)]([cos )()()()()(120
12
1
1
t t d t h t F d t h t F t X R F n R
F t t t ---=
--+-=⎰⎰ωττττ
)]
(cos )([cos ]cos )([cos )
(*0)()()()()(121220
121
2
1
1
t t t t t t t t h d t h t F d t h t F t X n n R
F n n R F t
t t
t t ------=-+--+-=⎰⎰⎰ωωωωτττττ
b
t F t F 10
)(=τ )()(10ττ-=-t t F t F
]
[cos )([)()()(1
101
0sin 01
t t t t
R F n t t F t
n n n
t
d t t h t F t X ωωωωττ-
=--=-=⎰
⎰
])]([cos )(*0)()()(sin )(sin 10
111
1
1t
t t t n R F t t t n n n t t d t h d t h F t X ωωωωτττττ----=-+-=⎰⎰ C
t F t F 1
0)(=τ )()(10ττ-=-t t F t F ]sin )(cos 1[)()()(11110t t d t h t F t X n t t t n R F t
n ωωττω+--=-=⎰
]cos [)(*0)()()(sin )(sin 0
111
1
1
t
t t t n R F t
t t n n n t d t h d t h F t X ωωωωτττττ----=-+-=⎰⎰
求图T—所示系统的传递函数，这里激励是x3(t)。

一弹簧质量系统从一倾斜角为300的光
滑斜面下滑，如图所示。

求弹簧与墙壁开
始接触到脱离接触的时间。

解：弹簧接触墙壁时，m 的速度为：
02sin 30gs gs υ=︒=
以接触时m 的位置为原点，斜下方为正，则m 的微分方程为：
sin 30mx kx mg +=︒ 考虑到系统的初始条件：000x x gs =⎧⎨=⎩，采用卷积分计算系统的响应为： 0sin 30()sin (1cos )n n n x mg x t t t k ωωω︒=+- 其中：n k m ω=
当m 与墙壁脱离时应有1()0x t = 故由：111()(1cos )02n n n
gs mg x t t t k ωω=+-= 可得到：142()k sk t arctg m mg
=- 也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。

一个高F0、宽t0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图所示。

用叠加原理求t>t0后的响应。

如图T—所示，系统支承受凸轮作用，运动波形为图中所示的锯齿波，求系统的稳态响应。

证明式，即卷积积分满足交换律
t
F
h*
t
=
*@
)(
)(
)(
)(t
h
t
F。