函数的最大值、最小值 课件

2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为 直线x=1.
当t+1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区 间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值 为f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］ 上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x) 的最大值为( ) A.4 B.6 C.1 D.2 2.函数f(x)= 1－1 (x>0).
ax
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)若函数f(x)的定义域与值域都是［ 1 , 2］，求a的值.
2
【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么? 2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2) 是否有作用？ 探究提示： 1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函 数在［m,n］内的单调性. 2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结 论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的 值.
类型 一 图象法求函数最值(值域)
1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最
小值为( )
A.3，2
B.3，-2
C.3，0
D.2，-2
2.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和
最值.
【解题探究】1.利用图象法求函数的最值时应写最高(低)点的纵 坐标,还是横坐标？ 2.题2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？ 探究提示： 1.利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. 2.应先作图象，找出单调区间，最后确定最值.
答案：6
2.由题意，抛物线的最大值为3，故设抛物线方程为
y=a(x－h)2+3(a<0)，又其过点(05, )，(10,0)，所以
3
a
10－h
2
解3得 0,
ah2
3
5
,
抛物a 线－方112程, 为
h 4,
3
y=－ 1(x－4)2+3，x∈［0,10］.
12
【拓展提升】解实际应用题的四个步骤 (1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量 和因变量的条件关系. (2)建模:建立数学模型,列出函数关系式. (3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意 自变量的取值范围). (4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.
【解析】1.选B.f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)为增函数，所以 最小值为f(0)=a=－2，最大值为f(2)=8+a=6.
2.(1)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，
则
f x1 －f x2
1－ 1 －(1－ 1 ) a x1 a x2
1 －1 x2 x1
x1－x 2 x1x 2
2.最小值 对于定义域为I的函数f(x)，条件：
f(x)≥M f(x0)=M 结论：M是函数f(x)在I上的最小值. 几何意义：函数y=f(x)图象上最_低__点的_纵__坐__标__.
【知识点拨】 1.最大值、最小值定义的理解 (1)最大(小)值定义中具备的两个条件 ①对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M (f(x)≥M)成立; ②M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)=-x2的最 大值是0,有f(0)=0,注意定义中“存在”一词的理解. (2)两条件缺一不可,若只有前者, M不是最大(小)值,如f(x)=x2≤1总成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最 大值的核心了.
(3)如果函数f(x)在区间(a,b］上是减函数,在区间［b,c)上是 增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).
类型 三 函数最值的应用
1.绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统 计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价 每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月 销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为______元/瓶.
【解析】1.选B.观察图象知，图象的最高点(3，3)，最低点 (-1.5，-2)，所以其最大值、最小值分别为3，-2.
1－2x, x (－,－1］，
2. f x 3, x (－1, 2其］图，象如下：
2x－1, x (2,3］，
由图象得单调递减区间为(-∞,-1］，单调递增区间为［2,3］, 有最小值3，无最大值.
求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间若对称轴x= b在区间［m,n］内，则最小值为f( )b，最大
2a
2a
值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x= b 距离较远的
2a
一个对应的函数值为最大值).
(2)若对称轴x= b<m,则f(x)在区间［m,n］上是增函数，最大
2a
值为f(n),最小值为f(m).
(3)若对称轴x= b>n,则f(x)在区间［m,n］上是减函数，最大
2a
值为f(m),最小值为f(n).
当a≥1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上 是减函数，最小值为f(1)=3-2a; 当-1<a<1时，函数图象如图(2)所示，函数f(x)在区间［-1,1］ 上是先减后增，最小值为f(a)=2-a2; 当a≤-1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［-1，1］ 上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a.
二次函数在区间上的最值
1.已知函数f(x)=x2-2ax+2，x∈［-1,1］，求函数f(x)的最 小值. 2.设函数f(x)=x2-2x+2,x∈［t,t+1］,t∈R，求函数f(x)的 最小值.
【解析】1.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上， 且对称轴为直线x=a.
0，
∴f(x1)<f(x2)，
即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知，f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以若函数f(x)的定
义域与值域都是［ 1 ,2］，则
2
解得a=2 .
5
f
(
1 2
)即
1 2
,
f 2 2,
1－2 a
1 2
,
1－1
a 2
2,
【拓展提升】 1.利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值. 2.利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数,则f(x)在区间 ［a,b］的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值. (2)如果函数f(x)在区间(a,b］上是增函数,在区间［b,c)上是 减函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b).
2.一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面 5 m，铅球落地点距
3
刚出手时相应地面上的点10m，铅球运动中最高点离地面3m， 如图：
已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线表示的函数的解 析式.
【解题探究】1.解实际应用问题时需要考虑定义域吗？ 2.二次函数解析式有哪几种设法？
探究提示： 1.需要考虑定义域,因为解应用题,就是确定函数,求函数最值的 问题,应时刻牢记函数的定义域,不仅使函数式有意义，而且还 要与实际问题相符合. 2.(1)一般式: y=ax2+bx+c(a≠0 ). 已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式,然后列 出三元一次方程组求解. (2)顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0).已知抛物线的顶点坐标或对 称轴方程时,通常设函数解析式为顶点式.
函数的最大值、最小值
函数的最大值和最小值 1.最大值 对于定义域为I的函数f(x)，条件：
f(x)≤M f(x0)=M
结论：M是定义域为I的函数f(x)的最大值. 几何意义：函数y=f(x)图象上最_高__点的_纵__坐__标__. 思考：函数f(x)=-x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗? 提示:f(x)=-x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以 f(x)的最大值不是1，而是0.
2.求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐 标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而 直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.
3.辨析函数的最值和值域 (1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整 个定义域. (2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在. (3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素.例如，函数 f(x)=-x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1,但是f(x)的最大值不是 1，因为1不在f(x)的值域内.
(3)两根式: y=a(x－x1)(x－x2)( a≠0).已知二次函数与x轴的 两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实根 时,经常采用两根式.
【解析】1.设销售价每瓶定为x元，利润为y元， 则y=(x－3)(400+4－x ×40)=80(x－3)(9－x)=
0.5
-80(x-6)2+720(x≥3)，所以x=6时，y取最大值.
【互动探究】把题2中的问题改为求f(x)≥5的x的取值范围. 【解析】结合题2图象，令g(x)=5,则x的范围为x≤-2或x=3.
【拓展提升】利用图象法求函数最值 (1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法,对图象 易作出的函数常用. (2)图象法求最值的一般步骤:
类型 二 单调性法求函数的最值(值域)