广东省阳江市阳春第一高级中学高三数学理月考试题含解析

广东省阳江市阳春第一高级中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）
A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8] D．[8，12]
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）
+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．
【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），
由抛物线定义可得|AF|=x A+2，
圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，
∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，
由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，
∴x B∈（2，6）
∴6+x B∈（8，12）
故选B．2. 全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )
A.B.C.D.
参考答案：
答案：A
解析：先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.
3. 已知集合则( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（）
A．1 B．C． D．
参考答案：
C
略
5. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
D
6. 双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长等于，则该双曲线的离心率等于
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
7. 已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，则f（﹣1）的取值范围是（）
A．，3] B．，6] C．[3，12] D．，12]
参考答案：
C
【考点】简单线性规划；函数在某点取得极值的条件．
【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（﹣1）的值域，设z=2b﹣c，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到z=x+3y的最大值即可．
【解答】解：f'（x）=3x2+4bx+c，
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，
且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]
等价于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．
由题设知f（﹣1）=2b﹣c，
由z=2b﹣c，
将z的值转化为直线z=2b﹣c在y轴上的截距，
当直线z=2b﹣c经过点（0，﹣3）时，z最小，
最小值为：3．
当直线z=2b﹣c经过点C（0，﹣12）时，z最大，
最大值为：12．
故选C．
8. 在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
略
9. 函数f（x）的图象大致为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足，即是奇函数，图
象关于原点对称，排除B，又由当时，恒成立，排除A，D，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

10. 在△ABC中，“sin A＝”是的“A＝30°”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝
角）．若，则的值为．
参考答案：【知识点】向量数量积的坐标运算；两角和与差的三角函数. F2 C5
【答案解析】
解析：因为，所以，又
且为钝角，解得cos，所以
=.
【思路点拨】由已知等式得
，
又且为钝角，
解得cos，所以=.
12. 一个正方体消去一个角所得的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为3的正方形），则该几何体外接球的表面积为．
参考答案：
27π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何．
【分析】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个正方体消去一个角，其外接球，即棱长为3的正方体的外接球，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得：
该几何体是一个正方体消去一个角，
其外接球，即棱长为3的正方体的外接球，
故该几何体外接球的表面积S=3?32π=27π，
故答案为：27π
13. 设x，y满足约束条件，则的最小值为______.
参考答案：
8
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，结合图形求得最优解，再计算目标函数的最小值．
【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，
由图形知，当目标函数z＝2x+3y过点A时，z取得最小值；
由，求得A（1，2）；
∴z＝2x+3y的最小值是2×1+3×2＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，解题时常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求出最优解．
14. 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是．
参考答案：
存在,使
.
15. 若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为
▲ .
参考答案：
16. 已知圆，经过椭圆C ： =1（
a＞b ＞0）的左、右焦点F1，F 2，且与椭
圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，则该椭圆的方程．
参考答案：
+=1
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】F1，E，A三点共线，AF2⊥x轴，|F1A|==2a．把x=c代入椭圆方程解得A．由
O为线段F1F2的中点，利用中位线定理可得|AF2|=2|OE|， =2， =2a﹣2，a2=b2+c2，解出即可
得出．
【解答】解：∵F1，E，A三点共线，∴AF2⊥x轴，|F1A|=．
把x=c代入椭圆方程可得： =1，解得y=，A．
∵O为线段F1F2的中点，∴|AF2|=2|OE|，∴=2， =2a﹣2，a2=b2+c2，
解得a=，b2=5．
∴该椭圆的方程为： +=1．
故答案为： +=1．
17. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．测得
米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB= .
参考答案：
答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。

(Ⅰ)当时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
(Ⅱ)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
参考答案：
(Ⅰ)当时，设该工厂获利为，则
，所以当时，，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损；
(Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
（1）当时，，所以，因为，所以当时，，为减函数；当时，，
为增函数，所以当时，取得极小值。

（2）当时，，当且仅当，即时，取最小值，因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少。

略
19. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，曲线C1 的参数方程为（?为参数），以坐标原点O为
极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ。

（1）求曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围。

参考答案：
(1);(2) .
试题分析：(1)在的两边同乘以，利用直角坐标与极坐标的互化公式代入即可；
(2)由（1）可知曲线是圆心为，半径为的圆，由圆的性质可知
，点的参数方程坐标与圆心坐标由两点间距离公式可得，由二次函数及三角函数的有界性可求的最大值与最小值，从而可求的取值范围.
试题解析：（1），，即曲线的直角坐标方程为:
（2）：圆心，半径
由题
设
则
当时，；当时，
所以，,所以.
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.圆圆位置关系.
20. (本小题满分12分)如图，在中，，，
(1)求；
(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．
参考答案：
（1）由，C是三解形内角，得……2分
……2分
……2分
（2）在中，由正弦定理……2分
，又在中，，……2分由余弦定理得，
……2分21. 三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．
（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PA=，PC=3，PB与底面ABC成60°角，求三棱锥P﹣ABC的体积．参考答案：
（Ⅰ）证明：∵三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
∵BC?平面PBC
∴平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PB与底面ABC成60°角，
∴∠PBA=60°
∵PA=，PC=3，
∴AB=，AC=
∴BC=1
∴三棱锥P﹣ABC的体积为=．
略
22. (本题满分12分) 在中，
（Ⅰ）若三边长构成公差为4的等差数列，求的面积
（Ⅱ）已知是的中线，若，求的最小值
参考答案：
解：（1），设三边为，--------------1分
由余弦定理：---------------2分
即 -------------------------3分
所以 --------------------------------4分
-----------------6分
（2） ----------------------7分
--------------------8分因为，所以
--------10分
----11分
所以----------12分。