浙江省杭州市四校联考2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题答案

高一数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设全集{}2
2,3,4U m m =+-，集合{},2A m =，∁u =3，则m =（
）
A ．2±
B ．2
C ．2-
D ．4
-【答案】C
2．命题“20,1x x x ∀>-≤”的否定是（）
A ．20,1x x x ∀≤-≤
B ．20,1x x x ∀>->
C ．20,1x x x ∃≤-≤
D ．20,1
x x x ∃>->【答案】D
3．已知a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中一定成立的是（
）
A ．ab ac >
B ．()0c b a -<
C ．22
cb ab <D ．ac (a -c )>0
【答案】A
4．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（
）
A ．0a b c ++=
B ．a<0
C ．0b >且0c <
D ．不等式20ax cx b ++>的解集是R
【答案】AB
【解析】由于不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，所以a<0，B 选项正确，
且1212b a
c a ⎧
-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=
⎪⎩
，则,2==-b a c a ，
所以20a b c a a a ++=+-=，A 选项正确，0,20b a c a =<=->，C 选项错误，
不等式20ax cx b ++>，即220ax ax a -+>，
即()2
22110x x x -+=-<，无解，D 选项错误.故选：AB
12．设非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈.给出如下命题，其中真命题是(
)
A.若=1，则
B.若
，则
≤≤1
C.若，则
D.若=1，则
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了集合的新定义问题．
先由非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈，判断出≥1或≤0，0≤≤1，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可．【解答】
解：∵非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈.∴当∈时，有2∈，即2≥，解得：≥1或≤0;同理：当∈时，有2∈，即2≤，解得：0≤≤1.对于:=1，必有2=1∈，故必有≥
0≤≤1
解得：==1，所以={1}，故A 错误;
对于:=−12
，必有2=
14
∈，故必有≥20≤≤1
，解得：1
4≤≤1，故B 正确;
对于:若=1
2
，有≤
1
2
≤2,解得:−22
≤≤0,故正确;
2≤
12
对于:若=1，有≤1
≤22≤1，解得：−1≤≤0或=1，故D 错误．
故选：B
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
14.对于集合A,B ，用card(A)表示有限集合A 中元素的个数，已知card(A)=M,card(B)=N(M<N),集合C 满足A ⊆C ⊆B,则符合条件的集合C 的个数是
____________.
【答案】2N-M 15.
已知集合={|
K1r1
<0}，={|(−)2<}，若“=1”是“∩≠⌀”的充分条件，则实数
的取值范围是．
【答案】(−2,2)
【解答】解：由={|
K1r1
<0}={|(−1)·(+1)<0}={|−1<<1}，
当=1时，={|(−)2<1}={|−1<<+1}，此时，∩≠⌀，所以+1>−1
−1<1
,解得−2<<2．
故答案为：(−2,2)．
三、解答题
17．设全集R U =，集合{}|15A x x =≤≤，集合{|122}B x a x a =--≤≤-．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
【详解】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，
又{}|15A x x =≤≤，{|122}B x a x a =--≤≤-，
A=-∞，求B
（2）若(),1
20．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司用一条长度为1m的铁丝，首尾相连做成一个直角三角形的海报纸，求：
（1）海报纸的斜边最短是多少？
（2）若在该海报纸画一个内切圆，则直角三角形内切圆半径最大值是多少？
【答案】解：(1)假设直角三角形两条直角边为，，(0<<1,0<<1)，斜边长为2+2，++2+2=1，
∵(+)2≤2(2+2)，
∴1=++2+2⩽(2+1)2+2，
∴2+2≥2+1=2−1当且仅当==2−22时等号成立，
所以斜边2+2最短是2−1;
(2)由直角三角形的内切圆半径=2
又++2+2=1，∴=2(rp−12=+−12，
∵2(2+2)≥(+)2，∴2+2≥2(rp2
∴++2+2≥++22(+)=(1+22)(+)，
即1≥(1++)，
=2−2，
∴+≤
当且仅当==∴=+−12≤32−2，
该直角三角形内切圆半径最大值是32−2．
21．设函数JB2+K AR,AR.
(1)若J1，且集合UJ0中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
(2)解关于的不等式I K12+r2K2；
(3)当K0,K1时，记不等式K0的解集为，集合J{U−2−II−2+V.若对于任意正数shk∅，求1−1的最大值.
【解答过程】（1）由题设JB2+K1AR，又UJ0有且只有一个元素，
所以B2+K1=0有且仅有一个根，
当J0时，K1=0，即J1，则UJ0={1}，满足题设；
当k0时，Δ=1+4J0，即J−14，则UJ0={2}，满足题设；
所以的取值集合为{−14,0}.
（2）由题设B2+KI K12+r2K2，整理得2−(r1)rJ(Kp(K1)<0，
当I1时，解集为{UII1}；
当J1时，解集为∅；
当K1时，解集为{U1<IV；
（3）由K0，恒有K2>−K2，故k∅，
Jop=B2+KK0且K0,K1，故op开口向上且o0)=−I0，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧，
因为hk∅，即op>0在(−2−s−2+p上有解，且∀A(0,+∞)，
又区间(−2−s−2+p关于J−2对称，且区间长度2A(0,+∞)，
综上，只需保证o−2)=4K2−J0，则4KJ2，且J4K2>1，即K34，
所以1−1=12(2−2)=12(4K−4K)=52−12(+4)≤5212，
当且仅当J2，即J1>34,J2>1时等号成立，
故1−1的最大值为12.
22.已知二次函数=B2+B+2(,为实数)
(1)若=1时，=1且对∀∈(2,5)，>0恒成立，求实数的取值范围；
(2)若=1时，=1且对∀∈−2,−1，>0恒成立，求实数的取值范围；
(3)对∀∈，>0时，≥0恒成立，求r2的最小值．
【答案】解：(1)∵=1时=1，∴++2=1，即=−1−，
∵∀∈(2,5)，>0恒成立，即B2−(1+)+2>∴B(−1)>−2恒成立，
∵∈(2,5)，∴>K2oK1)对∀∈(2,5)恒成立，∴>．
令=−2，则∈(0,3)，
则K2oK1)=(r2)(r1)=2+3r2=1r2+3≤2=3−22，
当且仅当=2，即=2，此时=2+2时取“=”，
所以实数的取值范围时(3−22,+∞)．
(2)∵=1时=1，∴++2=1，即=−1−，
∵∀∈−2,−1，>0恒成立，即B2−(1+)+2>0对∀∈−2,−1恒成立，∴(2−)−+2>0对∀∈−2,−1恒成立．
−2++2>0
−2+2>0,∴1−174<<1+174,
所以实数
(3)对∀∈，>0时，≥0恒成立，∴>0=2−8≤0，则≥28．
∴r2≥28+2=8+2≥=1，当且仅当8=2且=28，即=4,=2时取等号，所以r2最小值是1．。