2020年中考数学江苏题型专题研究： 折叠和旋转问题

2020中考数学江苏题型研究折叠和旋转问题
（含答案）
类型一折叠问题
1. 将一个矩形纸片ABCD放置到平面直角坐标系中，点A、B恰好落在x轴的正、负半轴上，若将该纸片沿AF折叠，点B恰好落在y轴上的点E处，设OA＝1.
(1)如图①，若OB＝1，则点F的坐标为________；
(2)如图②，若OB＝2，求点F的坐标；
(3)若OB＝n，请直接写出点F的坐标．
第1题图
解：(1)(1，23 3
)
由折叠的性质可知AE＝AB＝2, ∠EAF＝∠BAF，∵OA＝1，AE＝2，∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30°，∴∠EAO＝60°，∴∠FAB＝30°，
∴BF＝AB·tan∠FAB＝23
3
，则点F的坐标为(1，
23
3
)．
(2)如解图，作FM⊥y轴于点M，
∴∠AEF＝∠ABF＝90°，FM⊥y轴，
∴∠AEO＋∠FEM＝90°，∠FEM＋∠EFM＝90°，∴∠AEO＝∠EFM，
∵sin∠AEO＝AO
AE
＝
1
3
，
第1题解图
∴sin∠EFM＝1
3
.
设EM＝x，则EF＝3x，
由勾股定理得MF＝22x，OE＝22，∵OB＝2，
∴22x＝2，
解得x＝
2 2
，
∴OM＝OE－EM＝32
2
，
∴点F的坐标为(2，32
2
)；
(3)(n，n2＋n
n2＋2n
)．
如解图，作FM⊥y轴于点M，同理∠AEO＝∠EFM，
∵sin∠AEO＝AO
AE
＝
1
n＋1
，
∴sin∠EFM＝1
n＋1
，
设EM＝x，则EF＝(n＋1)x，
由勾股定理得MF＝n2＋2n x，OE＝n2＋2n，∵OB＝n，
∴n2＋2n x＝n.
解得x＝
n
n2＋2n
，
∴OM＝OE－EM＝n2＋2n－
n
n2＋2n
＝
n2＋n
n2＋2n
，
∴点F的坐标为(n，n2＋n
n2＋2n
)．
2. 如图，将一个正方形纸片AOCD放置在平面直角坐标系中，点A(0，4)，点O(0，0)，点D在第一象限，点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接OP，OH.设P点的横坐标为m.
(1)若∠APO＝60°，求∠OPG的大小；
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；
(3)设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标(直接写出结果即可)．
第2题图
解：(1)∵折叠正方形纸片，使点O落在点P处，点C落在点G 处，
∴∠POC＝∠OPG，
∵四边形AOCD是正方形，
∴AD∥OC，
∴∠APO＝∠POC，
∴∠APO＝∠OPG，
∵∠APO＝60°，
∴∠OPG＝60°；
(2)△PDH的周长不发生变化，
理由：如解图①，过点O作OQ⊥PG，垂足为点Q，则∠DAO＝∠PQO＝90°.
第2题解图①
由(3)知∠APO＝∠OPG，
又∵OP＝OP，
∴△AOP≌△QOP，
∴AP＝QP，AO＝QO，
∵AO＝OC，
∴OC＝OQ，
∵∠OCD＝∠OQH＝90°，OH＝OH，
∴Rt△OCH≌Rt△OQH，
∴CH＝QH，
∴△PDH的周长l＝PD＋DH＋PH＝PD＋DH＋PQ＋QH＝PD＋PQ＋DH ＋QH＝PD＋AP＋DH＋CH＝AD＋CD＝8，
∴△PDH的周长l不发生变化，周长l为定值8；
(3)当S取得最小值时，点P的坐标为(2，4)．
如解图②，过点F作FM⊥OA于点M，设EF与OP交于点N，
第2题解图②
由折叠的性质知△EON与△EPN关于直线EF对称，
∴△EON ≌△EPN ，
∴ON ＝PN ，EP ＝EO ，EN ⊥PO ， ∵∠OAP ＝∠ENO ，∠AOP ＝∠NOE ， ∴△POA ∽△EON ，
∴PO EO ＝PA EN ＝OA
ON
①， 设PA ＝x ， ∵点A (0，4)， ∴OA ＝4，
∴OP ＝OA 2＋PA 2＝16＋x 2， ∴ON ＝12OP ＝1
216＋x 2，
将OP ，ON 代入①式得，OE ＝PE ＝ 1
8
(16＋x 2)， ∵∠EFM ＋∠OEN ＝90°， ∠AOP ＋∠OEN ＝90°， ∴∠EFM ＝∠AOP ， 在△EFM 和△POA 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠EFM ＝∠AOP FM ＝OA
∠OAP ＝∠EMF
， ∴△EFM ≌△POA (ASA)， ∴EM ＝PA ＝x ，
∴FG ＝CF ＝OM ＝OE －EM ＝ 18(16＋x 2
)－x ＝18
x 2－x ＋2， ∴S ＝S 梯形EFGP ＝S 梯形OCFE ＝12(FC ＋OE )·OC ＝12；18x 2－x ＋2＋1
8(16＋
x 2
)]×4＝1
2
(x －2)2＋6，
∴当x ＝2时，S 最小， 即AP ＝2，
∴点P 的坐标是(2，4)．
3. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD ＞AB )，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连接AF 和CE .
(1)求证：四边形AFCE 是菱形；
(2)若AE ＝10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长； (3)在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
第3题图(1)证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO，∵AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
由图形折叠的性质可知，AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
(2)解：∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝AE＝10cm，
设AB＝a，BF＝b，
∵△ABF的面积为24cm2，
∴a2＋b2＝100，ab＝48，
∴(a＋b)2＝196，
∴a＋b＝14或a＋b＝﹣14(不合题意，舍去)，
∴△ABF的周长为14＋10＝24cm；
(3)解：存在，如解图，过点E作BC的垂线，交AC于点P，点P 就是符合条件的点；
证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAO，
∴△AOE∽△AEP，
∴AE
AP
＝
AO
AE
，
∴AE2＝AO·AP，
∵四边形AECF是菱形，
∴AO＝1
2 AC，
∴AE2＝1
2 AC·AP，
∴2AE2＝AC·AP.
第3题解图
4. 如图①，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E，F 分别在AC，BC上，将△ABC沿EF折叠，点C落在点D处，设△EDF 与四边形ABFE重叠部分面积为y，CF长为x.
第4题图
(1)如图②，当EF∥AB，CF＝4时，试求y的值；
(2)当EF∥AB时，试求y与x的函数关系式，并求x为何值时y 的值最大；
(3)如图③，当CF＝4，DF⊥BC时，求y的值．
解：(1)如解图①，连接CD，交EF于点H
第4题解图①
∵CF ＝4，BC ＝8，
∴BF ＝4，CD ＝AC ×BC
AB
＝4.8，
∵EF ∥AB ，
∴EF ＝12AB ＝5，CH ＝DH ＝1
2CD ＝2.4，
∴y ＝12×EF ×DH ＝1
2
×5×2.4＝6；
(2)①当0＜x ≤4时，如解图②，作CM ⊥AB 交AB 于点M ，则CM 必过点D ，
第4题解图②
由(1)知CM ＝4.8， ∵EF ∥AB ， ∴CN CM ＝CF BC ＝EF AB
， 即
CN 4.8＝x 8＝EF
10
， ∴CN ＝0.6x ，EF ＝5
4
x ，
∴y ＝S △DEF ＝S △CEF ＝12×EF ×CN ＝12×54x ×0.6x ＝38x 2
，
∴当x ＝4时，y max ＝3
8×42＝6；
②当4＜x ≤8时，如解图③，
第4题解图③
过点C作CM⊥AB交AB于点M，过点F作FN⊥AB交AB于点N，连接ED，FD，分别交AB于点G，I，
∴BF
BC
＝
FN
CM
，
∵CF＝x，
∴BF＝8－x，
由(1)有，CM＝4.8，
∴8－x
8
＝
FN
4.8
，
∴FN＝0.6(8－x)，
∵DH＝CH＝CM－HM＝CM－FN＝4.8－0.6(8－x)＝0.6x，DM＝DH－MH＝DH－FN＝0.6x－0.6(8－x)＝1.2x－4.8，∵EF∥AB，
∴EF
AB
＝
CH
CM
，即
EF
10
＝
0.6x
4.8
∴EF ＝54x ，
∵EF ∥AB ，
∴DM DH ＝GI EF
， ∴
1.2x －4.80.6x ＝GI
5
4
x ，
∴GI ＝5
2
(x －4)，
∴y ＝12(GI ＋EF )×FN ＝12×；52(x －4)＋54x ]×0.6(8－x )＝－98(x
－163
)2
＋8， ∴当x ＝163时，y max ＝64
5
.
(3)如解图④，在CB 上取一点H 使CH ＝DM ，作∠CHG ＝∠DMN ，
第4题解图④
在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，
∴tan ∠B ＝AC BC ＝68＝3
4
，
在△BFM 中，DF ⊥BC ，BF ＝BC －CF ＝4，∠B ＋∠BMF ＝90°，
∴tan ∠B ＝FM BF ＝FM 4＝3
4
，∴FM ＝3，
∴CH ＝DM ＝1，
∵∠CHG ＝∠DMN ，∠BMF ＝∠DMN ， ∴∠CHG ＝∠BMF ，∵∠B ＋∠BMF ＝90°， ∵∠B ＋∠CHG ＝90°，∠CHG ＋∠CGH ＝90°， ∴∠B ＝∠CGH ，
在Rt △HCG 中，tan ∠CGH ＝CH CG ＝tan ∠B ＝34，∴CG ＝43×CH ＝4
3
，
∵∠BFD ＝90°，
由折叠有∠CFE ＝∠DFE ＝45°，∴CE ＝CF ，
∴y ＝S 四边形EFMN ＝S △DEF －S △DMN ＝S △CEF －S △CHG ＝12CE ×CF －1
2×CH ×CG
＝12×4×4－12×1×43＝22
3
. 5. 将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 沿EG 折叠(折痕EG 分别与
AB 、DC 交于点E 、G )，使点B 落在AD 边上的点F 处，FN 与DC 交于
点M ，连接BF 与EG 交于点P .
第5题图
(1)当点F与AD的中点重合时(如图①)；
①△AEF的边AE＝________cm，EF＝________cm，线段EG与BF 的大小关系是EG________BF；(填“>”、“＝”或“<”)
②求△FDM的周长．
(2)当点F在AD边上除点A，D外的任意位置时(如图②)；
①试问第(1)题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；
②当点P在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？
解：(1)①AE＝3cm，EF＝5cm；EG＝BF，
设AE＝x，则EF＝8－x，AF＝4，∠A＝90°，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
∴AE＝3cm，EF＝5cm，EG＝BF；
②如解图①，∵∠MFE＝90°，
∴∠DFM ＋∠AFE ＝90°，
又∵∠A ＝∠D ＝90°，∠AFE ＝∠DMF ， ∴△AEF ∽△DFM ， ∴
EF FM ＝AE DF ＝AF DM
， 又∵AE ＝3，AF ＝DF ＝4，EF ＝5，
∴5
FM ＝34，解得FM ＝203，34＝4DM ，解得DM ＝163， ∴△FMD 的周长＝4＋203＋16
3＝16；
第5题解图
(2)①FG ＝BF 不会发生变化，
证明：如解图②，∵B 、F 关于GE 对称， ∴BF ⊥EG 于点P ，过G 作GK ⊥AB 于点K ， ∴∠FBE ＝∠KGE ，
在正方形ABCD 中，GK ＝BC ＝AB ，∠A ＝∠EKG ＝90°， ∴△AFB ≌△KEG (AAS)，
∴EG ＝BF ；
②如解图②，设AF ＝x ，EF ＝8－AE ，则x 2＋AE 2＝(8－AE )2， ∵△AFB ≌△KEG ，
∴AF ＝EK ＝x ，AK ＝AE ＋EK ＝AF ＋AE ＝4－1
16
x 2＋x ，
S ＝
AE ＋DG
2×8＝12×8(AE ＋AK )＝4×(4－116x 2＋4－116
x 2
＋x )＝－
12
x 2
＋4x ＋32， S ＝－1
2
(x －4)2＋40，(0<x <8)
当x ＝4，即F 与AD 的中点重合时，S 最大＝40.
类型二 旋转问题
11. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝5，∠B ＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，三角板的两直角边分别交
AB 、BC 的延长线于E 、F 两点，如图①.
(1)求证：△EOB ≌△FOC ；
(2)将等腰直角三角板绕直角顶点O 顺时针旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC 于E 、F 两点，如图②，则△OFC 能否成为等腰直角三角形？若能，直接写出△OFC 是等腰直角三角形时BF 的长；若不能，请说明理由；
(3)若将三角板的直角顶点移动到点P 处，两直角边分别交AB 、
BC 于E 、F 两点，如图③，若PE PF ＝1
3
，请求出PA 的长．
第1题图
(1)证明：由题知，△ABC 和△OEF 均为等腰直角三角形，O 为AC 中点，
∴∠BOC ＝∠EOF ＝90°，OB ＝OC ，OE ＝OF ， ∵∠EOB ＋∠COE ＝90°，∠FOC ＋∠COE ＝90°， ∴∠EOB ＝∠FOC . 在△EOB 和△FOC 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧OB ＝OC ∠EOB ＝∠FOC OE ＝OF
， ∴△EOB ≌△FOC (SAS)；
(2)解：△OFC 能成为等腰直角三角形，此时BF ＝5
2或0；
∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠ACB ＝45°.
①当OF ＝CF ，∠OFC ＝90°，时 ∵∠ABC ＝90°， ∴OF ∥AB ，
又∵O 为AC 的中点， ∴OF 为△ABC 的中位线，
∴F为BC的中点，
∴△OFC是等腰直角三角形，∵AB＝BC＝5，
∴BF＝5
2
；
②当OF＝OC时，点F与点B重合，此时△OFC为等腰直角三角形，
∴BF＝0.
(3)解：如解图，过点P作PM⊥AB，垂足为M，作PN⊥BC，垂足为N，
∵∠EPM＋∠EPN＝∠EPN＋∠FPN＝90°，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠EMP＝∠FNP＝90°，
∴△PME∽△PNF，∴PM
PN
＝
PE
PF
，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴△APM和△PCN均为等腰直角三角形，∴△APM∽△PCN，
∴AM
PN
＝
AP
PC
，
第4题解图
∵AM＝PM，
∴PM
PN
＝
AP
PC
，
∴PA
PC
＝
PE
PF
，
∵PE
PF
＝
1
3
，
∴PA
PC
＝
1
3
，
∴PA＝1
4
AC，∵AB＝BC＝5，∴AC＝52，
∴PA＝1
4AC＝
52
4
.
12. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.
(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2＝AM2＋BN2；
思路点拨：考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．
请你完成证明过程；
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2＝AM2＋
BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
第2题图
(1)证明：将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连接DN，如解图①，
第2题解图①
则△DCM≌△ACM.
有CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，∠CDM＝∠A.
∵CA＝CB，∴CD＝CB，
∵∠DCN＝∠ECF－∠DCM＝45°－∠ACM，
∠BCN＝∠ACB－∠ECF－∠ACM＝90°－45°－∠ACM＝45°－∠ACM，
∴∠DCN＝∠BCN.
又∵CN＝CN，
∴△CDN≌△CBN.
∴DN＝BN，∠CDN＝∠B.
∴∠MDN＝∠CDM＋∠CDN＝∠A＋∠B＝90°.
∴在Rt△MDN中，由勾股定理，
得MN2＝DM2＋DN2，即MN2＝AM2＋BN2；
(2)关系式MN2＝AM2＋BN2仍然成立．
证明：将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连接GN，如解图②，
第2题解图②
则△GCM≌△ACM.
∴CG＝CA，GM＝AM，
∠GCM＝∠ACM，∠CGM＝∠CAM.
∵CA＝CB，
∴CG＝CB.
∵∠GCN＝∠GCM＋∠ECF＝∠GCM＋45°，
∠BCN＝∠ACB－∠ACN＝90°－(∠ECF－∠ACM)＝45°＋∠ACM，∴∠GCN＝∠BCN.
又∵CN＝CN，
∴△CGN≌△CBN.
∴GN＝BN，∠CGN＝∠B＝45°，∠CGM＝∠CAM＝180°－∠CAB＝135°，
∴∠MGN＝∠CGM－∠CGN＝135°－45°＝90°.
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
得MN 2＝GM 2＋GN 2，即MN 2＝AM 2＋BN 2.
13. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝10，tan ∠ABC ＝4
3
，点P 是边
BC 上的一点，M 是线段AP 上一点，线段PM 绕点P 顺时针旋转90°
得线段PN ，设BP ＝t .
(1)如图①，当点P 在点B ，点M 是AP 中点时，试求AN 的长；
(2)如图②，当PM MA ＝1
3
时，
①求点N 到BC 边的距离(用含t 的代数式表示)； ②当点P 从点B 运动至点C 时，试求点N 运动路径的长．
第3题图
解：(1)∵在Rt △ABN 中，∠ABN ＝90°，AB ＝10， ∴BN ＝BM ＝1
2AB ＝5，
∴AN ＝102＋52＝55；
(2)①(Ⅰ)当0≤t ≤6时(如图①)，
第3题解图①
如解图：过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，
∵tan∠ABC＝AE
BE
＝
4
3
，设AE＝4x，则BE＝3x，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB2＝AE2＋BE2，102＝(3x)2＋(4x)2，
解得：x＝2，∴AE＝8，BE＝6
当0 ≤t≤6时．
∵∠AEP＝∠PFN＝90°，∠APE＋∠FPN＝90°，∠APF＋∠PAE＝90°，
∴∠PAE＝∠FPN，
∴△APE∽△PNF，
∵PM
MA
＝
1
3
，
∴
PF AE ＝FN PE ＝PN AP ＝14
， ∴FN ＝14(6－t )＝32－14t ；
(Ⅱ)当6≤t ≤10时，
同理可得：FN ＝14(t －6)＝14t －32；
②如图2点N 的运动路径是一条线段，
第4题解图②
当P 与O 重合时，FN ＝3
2，PF ＝2，
当P 与C 重合时，F ′N ′＝1，CF ′＝2， ∴点N 的路径长NN ′＝
102
＋（1＋32）2＝517
20
.
14. 已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△
ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE .
(1)如图①，猜想：△CDE 的形状是____三角形．
(2)设OD＝m.
①当6<m<10时，△BDE周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
第4题图
解：(1)等边；
[解法提示]：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；
(2)①存在，当6<m<10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，
由(1)知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD＋4，
由点到直线垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝23，
∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝23＋4；
②存在，当m＝2或14时，以O、E、B为顶点的三角形是直角三解形，；
：Ⅰ∵当点D与点B重合时，D、B、E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
Ⅱ当0≤m<6时，由旋转可知∠CBE＝120°，
∴∠ABE＝60°，∠BDE<60°，
∴若∠BED＝90°，
由(1)可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEC＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，
∴m＝2；
Ⅲ当6<m<10时，由∠DBE＝120°>90°
∴此时不存在；
Ⅳ当m>10时，由旋转性质可知∠CBE＝60°，∴∠DBE＝60°，又由(1)知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，
∵∠BDC>0°，
∴∠BDE>60°，
∴若∠BDE＝90°，
∴∠BCD＝∠BDC＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝14，
∴m＝14，
综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．。