奥数典型问题专项训练

行程问题
1.甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？
2.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。

3.甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？
4.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？
5.一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持
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不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
参考答案：1. 5又5/9米2. 16.5千米3. 300米4. 1000米5. 5分钟
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工程问题
1. 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
2. 师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需天数相同.师傅与徒弟甲合作所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同.问：两徒弟单独完成这项工程各需多少天？
3. 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
4. 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？
5. 一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？
参考答案1. 42. 甲26又2/3天，乙40天
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3. 21
4. 14又1/3
5. 10
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数字问题
1.一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？
2.把23个数：3，33，333，…，33…3（23个3）相加，则所得的和的末四位数是多少？
3.将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有二个数字，两个3之间有三个数字，两个4之间有四个数字，那么这样的八位数中最小的是？
4.从1，2，3，…，2004，2005这些自然数中，最多可以取几个数，才能使其中每两个数的差不等于4？
5.有一个电话号码是六位数，其中左边三个数字相同，右边三个数字是按由大到或由小到大顺序排列的三个连续的自然数，六个数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是多少？
参考答案：
1. 240
2. 7029
3. 23421314
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4. 1004
5. 555321或333012
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分数、百分数应用题
1.一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高20％，可以比原计划提前1小时到达；如果先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.求甲、乙两地之间的距离及火车原来的速度。

2.甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产的零件数量的五分之三相等，又等于丙生产的零件数量的四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，问：这批零件共有多少个？
3.菜园里西红柿获得丰收，收下全部的3/8时，装满3筐还多24千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？
4.服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少1/5，三车间人数比二车间多3/10，三车间是156人，这个服装厂全厂共有多少人？
5.二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的3/4，二班少先队员占本班人数的5/6，求两个班各有多少人？
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参考答案：
1.甲、乙两地相距540千米，原来火车的速度为每小时90千米。

2.750
3.384
4.600
5.一班48人，二班42人
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同余问题
1.若a为自然数，证明10│（a 2005－a1949）．
2. 2.给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两
个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．
3. 3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．
4. 4.设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数
各不相同．
5. 5.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．
6.参考答案：
7. 1.提示：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．
8. 2.提示：有两个数的差能被11整除
9. 3.173
10.4.分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我
们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发
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生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．
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证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b<a，且1≤a≤n，1≤b≤n），它们的平方a2，b2被2n＋1除余数相同那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod （2n＋1））即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．
说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成立。

例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余数不为0。

5.证明：∵质数中仅有一个偶数2，∴不小于5的质数是奇数．又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然数），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．∴不小于5的质数只可能是6n＋1，6n＋5．又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n－1∴（不小于5的质数）2－1＝（6n±1）2－1＝36n2±12n＝12n（3n±1），这里n与（3n±1）奇偶性不同，其中定有一个偶数，∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴结论成立．说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法．
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最值问题
1.一个两位数被它的各位数字之和去除，所得的余数最大是多少？
2.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块。

那么这4袋糖块的总和最少是多少？
3.将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得的5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？
4.有13个不同的非零自然数，他们的和是100，问其中偶数最少有多少个，最多有多少个?
5.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数，减数，差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大
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是多少？
参考答案：
1. 15
2. 82
3. 312
4. 最少5个，最多7个
5. 784
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浓度问题
1. 有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是8
2.5%的糖水100克，问每种应取多少克？
2. 一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是?
3. 有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克?
4.已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为3％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为2％。

求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。

5.有A、B、C三种盐水，按A与B的数量之比为2：1混合，得到浓度为13％的盐水；按A与B的数量之比为1：2混合，得到浓度为
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14％的盐水；按A、B、C的数量之比为1：1：3混合，得到浓度为10.2％的盐水，问盐水C的浓度是多少？
参考答案：
1. 甲25，乙75
2. 80.1%
3. 0.5
4. 1.5％
5. 8％
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设数解题
1.某班一次考试，平均分为85分，其中7/8及格，及格的同学平均分为90分，那么不及格的同学平均分是多少？
2.小明上山的速度是每分钟150米，下山的速度是每分钟300米，求上山后又沿原路下山的平均速度。

3.某班同学的平均身高为138厘米，其中男生比女生多1/5，女生平均身高比男生高10%，这个班男生平均身高是多少？
4.阅览室看书的学生中，男生占25%，有来了一些学生后，学生总人数增加20%，男生占总数的40%，男生增加百分之几？
5.六年级三个班人数相等，一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生人数是全部男生人数的3/8，全部女生人数占全年级人数的几分之几？注：也可称为赋值法。

设数时，最好不要将单位名称写出，自己心里知道就可以了。

参考答案：
1. 50
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2.
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200米每分钟
3. 132厘米
4. 92％
5. 7/15
不定方程
1.小华买圆珠笔若干支，正好付出10元钱，他所买的圆珠笔有两种，有1元1支的，也有1元5角一支的，每种都多于4支，他两种圆珠笔各买了多少支？
2.有甲乙两种卡车，甲车的载重量为6吨，乙车的载重量为8吨。

现有煤144吨，要求一次运完，每种车都不少于4辆，而且每一辆卡车都要满载，问甲乙两种卡车各需多少辆？
3.一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，……）。

男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。

如果该班的人数多于30人，少于50人，问有多少男生和多少女生参加了测验？
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4.某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元；超过10吨时，每吨0.8元，张家比李家多交水费3.3元，如果两家的用水量都是整数吨。

问两家各交水费多少元？
5.有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。

若购甲4件，乙10件，丙1件共需420元。

现购甲乙丙各一件共需多少元？
最大公约数与最小公倍数
1.两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
2.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

3.已知两个自然数的和是54，并且它们的最小公倍数与最大公约数之
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间的差为114，求这两个数。

4.将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）
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5.写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。

参考答案：
1. 36
2. 31，186或62，93
3. 24,30
4. 21厘米
5. 6，10，15或10，12，15或10，15，18
整除问题
1. 任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除.
2. 证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.
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3. 某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？
4. 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

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5.求能被26整除的所有六位数(x1991y)。

参考答案：
1. 提示：该数能被1001整除
2. 略
3. 8，8，0
4. 865020
5. 819910、119912、719914和619918
奇偶分析
1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？
9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。

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问（a－1）（b－2）（c－3）是奇数还是偶数。

3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：
a×b×c×d-a=1991
a×b×c×d-b=1993
a×b×c×d-c=1995
a×b×c×d-d=1997
试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

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4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
5.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。

参考答案：
1.不能
2.偶数
3.不存在
4.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。

5.略
时钟问题
1.在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？
2.现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？
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3.在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120°？
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4.小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？
5.一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？
参考答案：
1. 10点5又5/11分钟和10点38又2/11分钟
2. 61又4/11分钟
3. 7点16又4/11分钟和8点整
4. 32又2/11分钟
5. 快10又10/143分钟（按旧钟上的时间）
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奇偶分析
1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？
9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。

问（a－1）（b－2）（c－3）是奇数还是偶数。

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3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：
a×b×c×d-a=1991
a×b×c×d-b=1993
a×b×c×d-c=1995
a×b×c×d-d=1997
试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
5.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。

参考答案：
1.不能
2.偶数
3.不存在
4.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，
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便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。

5.略
简单的枚（列）举法
1.用0，1，2，3四个数字组成一个三位数，可以组成多少个偶数（每个数字最多用一次）？
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2.在一个长方形中划6条直线，最多能把它分成多少份？
3.从1到100的自然数中，完全不含数字“9”的有多少个？
4.a和b是自然数，且a+b=81。

a和b的积最大是多少？
5.a，b，c是三个互不相等的正整数，且a+b+c=30，那么a，b，c的积最大是多少？最小是多少？
参考答案：
1. 10
2. 22
3. 80
4. 1640
5. 990 54
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抽屉原理问题
1．4个连续自然数分别被3除后，必有两个余数相同。

为什么？2．在1米长的直尺上标出任意5个点，请你说明这5个点中至少有两个点的距离不大于25厘米。

3．黑、白、黄三种颜色的袜子各有很多只，在黑暗处至少拿出几只袜子袜子就能保证有一双是同一颜色的？
4．某小学五一班有48名同学，至少有几个同学在同一月过生日？5．有4个运动员练习投篮，一共投进50个球，一定有一个运动员至少投进几个球？
6．布袋中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出多少块，才能保证其中至少有3块颜色相同？
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火车行程问题
1.A火车长210米，每秒钟行驶25米，B火车每秒钟行驶20米，两列车同方向行驶，A火车追上B火车到超过共用过了80秒，求B火车的长度
2.一列火车通过340米的大桥需要100秒，用同样的速度通过144米的大桥用了72秒。

求火车的速度和长度。

3.两辆车相向而行，客车长168米，每秒行驶23米，货车长288米，每秒行驶15米。

问：从两车相遇到离开需要多长时间？
4.甲列车每秒钟行驶18米，乙列车每秒中行驶12米。

若两车齐头并进，则甲列车经过40秒超过乙列车，若两车齐尾并进，则甲列车经过30秒超过乙列车。

求甲、乙列车的长度。

5.老李沿着铁路散步，他每分钟走60米，迎面过来一列长300米的火车，他与车头相遇到与车尾相离共用了20秒，求火车的速度。

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