逆向思维数学应用

谈“逆向思维”在数学教学中的运用和培养

分享到： 0

谈“逆向思维”在数学教学中的运用和培养

俄罗斯著名教育家加里宁说：“数学是思维的体操”。正如体操锻炼可以改变人的体质一样，通过数学思维的恰当训练，逐步掌握数学思维方法与规律，是可以改变人的智力和能力，也可以培养学生的创新精神和创新意识。在数学教学中应用多种思维方法教学是培养学生能力的重要途径之一，思维是智力的核心。观察、分析、想象、推理、判断都与思维密切联系在一起。培养学生的思维能力是数学教学中落实素质教育的关键，也是数学科素质教育的核心。

近几年来，部分省市中考数学试卷时有出现一类需用逆向思维来求解的题目，下面就逆向思维在数学解题中的应用和如何培养学生的逆向思维，谈几点看法：

一、“逆向思维”在解题中的作用

问题的引入

甲、乙、丙、丁四个数的和为43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减4，结果相等，问甲、乙、丙、丁各是多少？

本题若从正面分析，正面列式完全是可以解出来的，但要假设4个未知数，列4个方程，解起来会比较麻烦，而运用“逆向思维”却“轻而易举”。可以设这四个运算结果相等的数为x，这样就可以比较快地求出甲、乙、丙、丁这四个数分别是14、12、9、8。这样一种思维方式就是逆向思维。它的特点是不盲从别人的观点而善于提出新思路、新方法的一种创造性思维，它是从反面考虑问题的一种方式，通常要打破习惯性的思维方法，有意做出与习惯思维方向（正向思维）完全相反的探索，顺推不行时考虑逆推；直接解决麻烦或复杂时考虑间接；探讨可能性发生困难时，要考虑不可能性；应用公式法则不凑效时，反过来用……因此当反复思考某个问题却“山穷水尽”时，逆向思维经常会出现“柳暗花明”的境地，还会达到事半功倍的好效果。也就是说，对于某些问题，有时逆向思维优于正向思维。例如－，－，－，－的大小，按惯例是先通分母再比较大小，但本题分母较大，通分母比较麻烦，于是有人另僻蹊径，不通分分母而先通分分子，再比较大小，于是原题就变为比

较的大小，这样不但节约了时间，而且还培养逆向思维的习惯，从而提高了智力。此外，逆向思维在某些问题还会对正向思维起到推动和促进作用。

例已知：x+y+z= + + =1

求证：x、y、z中至少有一个等于1。

分析：本题结论反面情况是x、y、z都不等于1即(x－1)(y－1)(z－1)≠0将左边展开后再与条件比较，发现矛盾。即得原题的结论。

证明：设x、y、z都不等于1

则x－1≠0 y－1≠0 z－1≠0

∴(x－1)(y－1)(z－1)≠0

即xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1≠0 (1)

又∵x+y+z=1 xyz=xy+yz+zx (2)

∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0 (3)

(1)、(3)式发生矛盾∴原结论成立。

完成这个证明过程后，我们又可以从中得到启发，启发我们若从条件出发，用正向思维完全可以推得(x－1)(y－1)(z－1)＝0，即得x、y、z至少有一个等于1。

证明：由条件得x+y+z－1＝0 (1) xyz－(xy+yz+xz)＝0(2)

(1)＋(2)得∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0

分解因式得(x－1)(y－1)(z－1)＝0

∴x－1＝0或y－1=0或z－1=0

即x、y、z中至少有一个等于1。

二、“逆向思维”在解题中的应用

1、“逆向思维”在解方程有关问题中的应用

例1 已知关于x的二次方程

ax2＋2bx＋c＝0

bx2＋2cx＋a＝0

cx2＋2ax＋b＝0

中，至少有一个方程有不同的实数根，试求出a、b、c应满足的条件。

分析：这题若从正面出击，因情况复杂难以下手，但是若从“三个二次方程至少有一个不同的实数根”的反面，即从“三个二次方程都没有不同的实数根”去考虑，则比较容易得到它的结果。

解：设这三个二次方程都没有不同的实数根

三式相加，除以4得 a2＋b2＋c2＋ab－bc－ca≤0

整理得〔（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2〕≤0

但（a－b）2≥0（b－c）2≥0（c－a）2≥0

∴a＝b＝c

又已知a≠0b≠0c≠0故求得原题应满足的条件为：a，b，c为不全相等的非零实数。

例2 若解关于x的分式方程

时不会产生增根，求k的取值范围。

分析：考虑到不会产生增根的反面是产生增根，从全体实数中除去产生增根时k的值即为原题的解。

解：去分母得

(x+2)(k－k2)=x2－5x－2

若方程产生增根，则(x+2)(x－2)＝0

此时x1=－2 x2＝2

①当x=－2时，k无实数解

②x＝2时，解得k1=－1 k2＝2

∴当k≠－1且k≠2时，原方程不会产生增根。

2、“逆向思维”在解决有关函数问题中的应用

例若二次函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的两个交点至少有一个在原点的右侧，求m的取值范围。

解：从正面考虑，情况比较复杂，设两个交点都不在原点的右侧，则y＝0时，方程有两个根都小于或等于0，于是有

由此解得m≥9

其反面是m＜9，又因为二次函数图像与x轴有交点，所以还必须有△≥0，且m≠0，即

∴m的取值范围是m≤1且m≠0.

例设o是△ABC内一点，AO、BO、CO延长后，分别交对边于D、E、F。试证：三个中至少有一个不大于2。

证明：本题若从正面考虑有三种情况比较复杂，从反面考虑

设都大于2。

即

由此推得AO＞2OD，AD＞3OD,

同理

故命题得证。

4、“逆向思维”在排列组合中的应用

例今有一角币一张，二角币一张，五角币一张，一元币4张，五元币二张，用这些纸币任意付款，则可以付出不同数额的款共有多少种？

分析：从正面去分析，涉及重复排列组合，显然十分复杂，故应改从反面去分析，从一角到最高币值148角共有148种币值，从中去掉不可能构成的币值就可以，而不能构成的币值应该是4角、9角、1元4角、1元9角…到14元4角共29种币值，故148－29＝119，即剩119种。

5、“逆向思维”在数论中的应用

例1 求1～50各整数中，不能被7整除的所有数字之和。

分析：要直接求出1～50各整数中，不能被7整除的整数之和S1是有些费事，但1～50各整数之和可以用数学家高斯简捷算法很快可以求得S=1275且1～50各整数中能被7整除各数7，14、21、28、35、42、49之和S2＝196，从而求得S1＝S－S2＝1079。

解：（略）。

例2 1984年美国数学邀请赛有这样一道题目：不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？

分析：从正面推算甚是复杂，但从反面去思考，一一去掉那些能分成两个奇合数之和的偶数却十分容易，组成偶数的末位数应是0、2、4、6、8，共5种，因此，

（1）末位为0者，经验算10、20合格，但30＝15＋15，40＝15＋25…故应去掉30及30以上的末位为0的整数。

（2）末位为2者，经验算2、12、22、32均合格，但42＝27＋15 52＝27＋25…故应去掉42及42以上末位为2的整数。

（3）末位为4者，经验算4、14都合格，但应去掉24＝9＋15 34＝9＋25…即24及24以上末位为4者。

（4）末位为6者，经验算6、16、26均合格，但36＝21＋15 46＝21＋25…应去掉36及36

以上末位为6的整数。

（5）末位为8者，经验算8、18、28、38均合格，但48＝33＋15 58＝33＋25…故应去掉48及48以上末位为8的整数。

综上所述，合题意的应是38。