2023年暨南大学全国硕士真题709 数学分析

考试科目： 709《数学分析》
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3、设f(x)是定义在实数集 上的连续函数，且f′(0)存在. 若对于∀y ∈ ℝ成立： f (x + y) = f (x) + f (y) , 1 − f (x)f ( y)
试证明：f(x)是定义在实数集 上是可微函数.
4、设f(x)是定义在实数区间[a,b]上的二阶可导函数，且计算f ′′(x) ≥ 0 试证明：
2023年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论.
考试科目：709《数学分析》
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二：证明题(每小题10分，共40分)
1 、 设 lim an = a, 证 明 lim a1 + 2a2 + 3a3 + ⋯ + nan = a.
n→∞
n→∞ 1 + 2 + 3 + ⋯ + n
2、设[f0n(, xπ3))=内c有os且x只+ 有co一s2个x +根⋯xn+. 进co一sn步x的. 证证明明对nli→于m∞任xn意存自在然且数为nπ3，. 方程fn(x) = 1在
6、计算 ∫
4
−1
1 + x3
) d x.
7、令f
(x)
=
+∞ x4n ∑n=0(4n)!
,
求f
(4)(3)
−
f
(3)的值.8、当bΒιβλιοθήκη a1时，计算 ∫0
sin(ln
1 x
)x
−b x ln x
a
d
x的值.
9、令f (x) = (1 − 1 )x, x ∈ (−∞,0) ∪ (1, + ∞) . 求f′(x) . x
f
(a+b 2
)≤
1 b−
a
b
∫a
f (x)d x.
三、分析题(每小题10分，共20分)
1、记fn(x) = xnke−nx, x ∈ [0,∞) . 分析参数k在哪个区间内可以使得函数列fn(x)在 0,∞ 上 一致收敛.
2、计算∬Sx2d ydz + y2dzd x + z2d xd y的值，其中曲面S是球面 (x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2，且曲面的积分为指向球面外侧.
x2 y2
3、计算 ∫
L
x yds的值，其中L是椭圆 a2
+
b2
= 1,
(b > a > 0)在第一象限的部分.
4、令
f
(x)
=
e
−
1 x2
,
{0, x
x≠ = 0,
0;
求f
(4)(0)的值.
5、计算
∫
arctan x2
xdx.
1
1 | x | 3si(n 3 x cos 3 x + sin x cos x + 1
考试科目名称及代码：《数学分析》 A 卷 709
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一：计算题(每小题10分，共90分)
3 n2 cos(n + 1 )sin( 1 )
1、 lim
n
n+1.
n→∞ 3 n2 + 2023n − 2022
1
2、 xl→ im∞(cos 3 x + 1 − cos 3 x ⋅) x .3