电场强度与电势梯度关系的简单推导方法

电场强度与电势梯度关系的简单推导方法
黄时中;张丹丹
【摘要】以电势叠加原理和场强叠加原理为基础,给出了严格推导电场强度与电势梯度关系的一种非常简单的方法.
【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(036)002
【总页数】2页(P123-124)
【关键词】电场强度与电势梯度;关系;简单推导方法
【作者】黄时中;张丹丹
【作者单位】安徽师范大学物理与电子信息学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学物理与电子信息学院,安徽芜湖241000
【正文语种】中文
【中图分类】O441.1
图1 单个点电荷情形
电场强度与电势梯度的关系是大学物理学中静电学部分的一个重要知识点，然而在目前的中外大学物理学教材中[1，2]，都是利用靠得极近的两个等势面的电势差与电场强度的积分关系，来引入“电场强度与电势梯度的关系”这一概念的.从教学的角度看，这种方法虽然有助于定性地说明“电场强度与电势梯度的关系”，但由此所引入的“定量微分关系”并不是严格推导出来的.因而学生在学习这一知识点
的过程中，难免有疑惑、有似懂非懂的感觉.本文以电势叠加原理和场强叠加原理为基础，给出严格推导电场强度与电势梯度关系的一种非常简单的方法.这种简单的推导过程可以方便地在大学物理学课程中进行讲授[3，4].
众所周知，对于给定的电荷分布，电场中任一点P的电势与场中的电场强度之间的关系为积分关系，即
按照微积分的基本关系，电场强度与电势之间的关系应当是微分关系.如何建立此关系呢?我们先考察一个最简单的情形——单个点电荷qi所产生的电场.采用图1所示的坐标系，qi所产生的电场中任一点P处的电势和电场强度分别为
(1)
和
(2)
其中
(3)
由如下简单的微分运算
(4a)
(4b)
(4c)
直接得到与Vi之间的微分关系
(5)
写成矢量形式即
▽Vi,
(6)
图2 两个点电荷的情形
其中▽是梯度算符.
类似地，在两个点电荷q1和q2所产生的总电场中，采用图2所示的坐标系，应用电势叠加原理和场强叠加原理，可以将电场中任一点P处的电势和电场强度分别表示为
(7)
和
(8)
其中V1和V2分别是点电荷q1和q2在P点的产生的电势，和分别是点电荷q1和q2在P点的产生的电场的电场强度.
按照式(6)和图2，我们有▽▽V2，由此得到
▽V1)+(-▽V2)=-▽(V1+V2)=-▽VP，
将上式推广到多个点电荷(即一般的带电体)产生的电场中，有
▽(V1+V2+…+Vn)=-▽VP,
即：在任意带电体产生的电场中，都有
▽V.
(9)
这就简单而严格地导出了电场强度与电势梯度之间的一般关系.
在上述推导过程中，仅仅式(4)涉及一个简单的微分运算，因而这种方法可以方便地在大学物理学课程中进行讲授.
参考文献：
[1] DOUGLAS C. Giancoli原著，滕小瑛改编.大学物理学[M].第3版.北京：高等教育出版社，2005：513-514.
[2] 黄时中，袁广宇，朱永忠，等.大学物理学：下册[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2006：35-36.
[3] 陈冠军，黄时中.Wigner-Eckart定理的简单证明[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2003，26(4)：34-36.
[4] 黄时中，尹仕庭.关于势能教学的讨论[J].安徽师范大学学报：自然科学版，1994，17(3)：101-102.。