弹性力学变分原理PPT课件

fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
外荷载做功的增量： W
弹性体 应 变能增 量: V
对于弹性静力学问题，根据热力学第一定律：
W V
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微元体在某一应变状态获得的应变能增量为
V fiuidv tiuids
V
V
其中，ui为弹性体变形过程中的位移增量。
利用高斯公式得：
fiδ uidv σij n jδ uids
弹性体应变能是状态函数，故上式积分与 路径无关。
对于线性问题，可假设在变形过程中应力、 应变分量等比例增长。
* ij
:
0
tij
(0
t
1)
* ij
:
0
t
ij
(0
t
1)
v
1
σ
* ij
δε
* ij
1
tσij εijt
0
0
1 2
σij εij
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2. 余应变能、余应变能密度
对于单向拉伸问题
a
a
结论：变分运算和积分运算可以交换次序
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四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值
如果函数y(x)在x＝x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0)，即
y(x)－y(x0)≤０或≥０
则称函数y(x)在x＝x０处达到极大值或极小
值。极值的必要条件为
dy dx
0
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定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能
密度)为 v
有： V v dv V
V v dv V
与前式 得
V σijδεijdv 比较 V v ijij
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由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定， 它是状态函数，与变形过程无关，故有
v
v
ij
ij
比较: v ijij
ij
2、泛函的驻值和极值
泛函I I [ y( x)]在y yo ( x)处有极值
则在y yo ( x)处必有I 0
当I y( x) yyo (x) 0, 称I yo ( x)为驻值
泛函I I [ y(x)]取得极值的必要条件是
I 0
I 0
充分条件
2I
0
2I 2I 2I
0 0 0
V
V
fiδ uidv (σijδ ui ), j dv
V
V
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fiδui dv (σij, j δui ij δui, j )dv
V
V
(σij, j fi )δui dv ij δui, j dv
V
V
考虑到应力张量的对称性，有
V σij δεij dv V 第23页/共83页
问题的引入
弹性力学问题的两种基本解法
1、建立偏微分方程边界条件（直接法）
ij ,ij , ui
2、建立变分方程（泛函的极值条件）
优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化 为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是 数值方法的理论基础。
两种方法具有等价性,且力学问题中的泛函 多为能量,是标量,应用方便。
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5、虚应力
弹性体平衡位置附近，平衡条件所容许的微 小应力状态.
有：
s ij
ij
ij
ij, j 0 ijn j 0
x V x S
但在位移边界上引起一个容许的面力
ij n j ti
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6、广义虚功原理
外力在容许位移上所做的功等于容许应力在 与该容许位移相应的容许应变上所做的功。 简述为，外力虚功等于内力虚功。
位移和应变是可能的。
关系：
平衡条件
几何条件
广义虚功原理
几何条件
平衡条件
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7、虚位移原理
设：ui 真实位移
ui 虚位移，位移的变分
则：uik
ui
ui
k ij
ij
ij
且：ij
1 2
( ui, j
u j,i )
(V )
ui 0
(su )
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由广义虚功原理：
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由（b）、（c)
(a)
表述为：若有一组内外力，对于任意容许
位移和相应的容许应变，使广义虚功原理成 立，则这组内外力是平衡的。
证明： 因为广义虚功原理
fiuikdv
tiuik ds
' ij
k ij
dv
V
S
V
tiuik ds
' ij
uik,
j
dv
S
V
tiuik ds
b
a [ f ( x, y y, y y) f ( x, y, y)]dx
b
[
f
(
y及
y的高阶项)]dx
a
定义: 泛函I 的变分
b
I a ( f )dx
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又 I （ b f ( x, y, y )dx） a
与上式比较，可得：
b
b
（ f (x, y, y' )dx） f (x, y, y' )dx
1、真实位移、真实应力和真实应变
ui 真实位移，满足：
ij
1 2
(ui, j
u j,i )
ui ui
x V x Su
即几何连续条件
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与ui
对应的
满足
ij
:
ij, j fi 0
ijn j f i
x V x S
即平衡条件
与真实位移ui
对应的
－－真实应变
ij
与真实应变
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极大 极小 不定
其中：
2I
b
[( y
y
)2 f ]dx
a y
y
五、欧拉方程与自然边界条件
讨论
I
b
f ( x, y, y')dx
a
y(a) ya y(b) yb
的驻值问题
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因为取驻值，所以 I 0
I
b ( f a y
y
f y
y)dx
b ( f a y
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则由I 0得到：
f y
d dx
f ( y '
)
0
f
y '
xa 0
f y '
xb 0
( •)
（•）称为自然边界条件
自变函数事先满足的边界条件称为本质边 界条件。
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§11 — 2 应变能与余应变能
1.应变能: 物体因变形储存的能量。
功和能的关系：
外力做功
当dy dx
0时，称y y( x0 )为驻值
x x0
极值必是驻值，但驻值不一定是极值。
取极值的必要条件为 由二阶导数来判定
dy dx
0
，其充分条件
y'(x) 0
y''
(
x
)
y'' 0y''
y''
( ( (
x) x) x)
0 0 0
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y ( x)为极大 y ( x)为极小 不定
ij对应的
－－真实应力
ij
它们构成弹性力学问题的解。
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2、容许位移、容许应变
uik 容许位移，满足：
k ij
1 2
(uik,
j
u
k j ,i
)
uik ui
k ij
容许应变
x V x Su
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比较
uik与ui的区别
uik 只对应于一个连续的位移场，但不一定
对应于一个平衡的应力状态，即与 uik 对应的
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§11 — 1 变分法的预备知识
数学上的变分法：求解泛函的极值方法 弹性力学中的变分法：
以能量为泛函，求能量泛函的极值方法，又称 能量法。 严格地，能量法与变分法不尽相同，变分法含 义更广。
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关于变分法的若干基本概念：
一、函数与泛函
1、函数 函数是实数空间到实数空间的映射
fiuikdv
tiuik ds
isj
k ij
dv
V
S
V
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证明：
因为
s是静力容许的
ij
fiuik dv
s ij
,
j
uik
dv
V
V
s ij
n
j
uik
ds
s ij
uik,
j
dv
S
V
移项后
tiuik ds
s
ij
k ij
dv
S
V
fiuikdv tiuikds isjikj dv
y )dx
(
f y
y)
b
b a
d dx
(
f y
)
ydx
a
b [ f a y
d dx
(
f y
)]
ydx
0
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y是任意的，则：
f y
d dx
(
f y
)＝0
为欧拉方程，可见上述泛函的驻值问题等同于 欧拉微分方程边值问题的解。
如果问题是：
I
b
f ( x, y, y')dx
a
边界条件任意
应力不一定满足平衡条件；而真实位移必对 应一个平衡的应力状态。
容许位移和应变不一定是真实的位移和应 变。但反之，真实的位移和应变必然是容许 的。
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3、容许应力
s ij
容许应力，满足
:
s ij
fi
0
s ij
n
j
f
i
x V x S
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比较
isj与
的区别
ij
与容许应力对应的应变与位移不一定满足协 调方程和位移边界条件，不保证物体内部存 在单值连续的位移场，但真实应力对应于单 值连续的位移场。
注意到：
( y) y(x) y(x)
与(*)式比较，可见：
( y) (y)'
即：
（ddyx） ddx（y）
结论：导数的变分等于变分的导数，或变分
记号与求导记号可以互换。
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三、泛函的变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增 量可以写成
V
S
V
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说明：
1、证明中，涉及到平衡、几何方程，并 未涉及到物理方程。故在小变形及连续性条 件下，适用于任何材料。
2、容许应力与容许位移、容许应变可 以是同一弹性体中不同的受力状态和变形 状态，彼此独立。
3、（a）平衡条件、（b）几何条件、 （c）广义虚功方程三者间得关系由其中任 两个条件可得第三个。
应变能密度为 v ( ) ( )d 0
引入另一标量函数：
σ
vc ( ) ε( )d σ 0
即余应变能密度。
余应变能
Vc vcdv
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一般地，应变能密度和余应变能密度满足关系
vε vc ijij
对于线弹性体
vε
vc
1 2
ij
ij
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§11 — 3 广义虚功原理
容许应力不一定是真实的应力。但反之，真 实的应力必然是容许的。
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4、虚位移、虚应变
弹性体平衡位置附近，几何约束条件容许的
微小位移，记为 ui
有：uik ui ui
k ij
ij
ij
ui满足：
ij
1 2
(
ui, j
u j,i )
ui 0
x V x Su
与ui对应的应变ij，称为虚应变
v
ij
此式称为格林(Green)公式，它适用于一般材 料，不局限于线弹性材料。
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v的表达式？
设初始状态o： ij ij 0 受载后1： ij，ij
在状态1 的应变能密度为
v
1
v
1σ*ij δ ε*ij
0
0
* ij
、
* ij
为 0~
ij、 ij 的某个中间状态。
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y f (x)
2、泛函 是函数空间到实数空间的映射
I＝I[ f (x)]
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例：设ｘｙ面内有给定的两点Ａ和Ｂ，如图
所示，连接这两点的任一曲线的长度为
y y
A
dy
dx
y(x)
B
y(x)
a
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x
b
L b 1 ( dy )2 dx b 1 ( y')2 dx
a
dx
a
显然长度L依赖于曲线的形状，也就是 依赖于函数y(x)的形式。因此，长度Ｌ就是 函数y(x)的泛函。
在一般的情况下，泛函具有如下的形式
I [ y(x)]
b
dy
f (x, y, )dx
a
dx
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二、函数的微分 与变分
y dy
y(x)
dx
y(x)
1、自变量的微分dx
2、函数的微分 dy y'( x)dx
动能、应变能 可逆过程
热能、声能
不可逆过程
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在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静 力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功 全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹 性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出 全部的应变能，并恢复其未受载时的初始 状态。
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分析：从A状态到B状态
' Βιβλιοθήκη jnjuikds
ij, juik dv
S
S
V
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(
' ij
,
j
fi )uik dv
(
' ij
n
j
ti )uik ds
0
V
S
' ij
' ij
,j
n
f j
i
f
i
0
x V x S
表示内外力平衡
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由（a）、（c)
(b)
表述为：若有一组位移和应变，对于任
意容许应力，使广义虚功原理成立，则这组
f f ( x, y y, y y ) f ( x, y, y )
f y f y ...
y y 上式中,右边的前两项是 f 的增量的主部， 定义为 f 的一阶变分，表示为
f f y f y
y y
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2、再考察
I
b
b