直线、平面平行的判定与性质(1)

4．(2012· 衡水调研卷)已知 m，n 为两条不同直线，α， β 为两个不同平面，那么使 m∥α 成立的一个充分条件是 ( ) A．m∥β，α∥β B．m⊥β，α⊥β C．m⊥n，n⊥α，m⊄α D．m 上有不同的两个点到 α 的距离相等
答案 C
解析 对于 A，直线 m 可能位于平面 α 内．对于 B， 直线 m 可能位于平面 α 内．对于 D，当直线 m 与平面 α 相交时，显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面 α 的距离相等．故选 C.
答案 1
解析 命题①错，需说明这条直线在平面外． 命题②错，需说明这条直线在平面外． 命题③正确，由线面平行的判定定理可知． 命题④错，需说明另一条直线在平面外．
2．(课本改编题)已知不重合的直线 a，b 和平面 α， ①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b； ②若 a∥α，b∥α，则 a∥b； ③若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ④若 a∥b，a⊂α，则 b∥___(填序号)． 答案 ④
例 1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB， 在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 BCE. 【思路】 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行 的判定定理，也可利用面面平行的性质．
【证明】 方法一 如图所示．
作 PM∥AB 交 BE 于 M， 作 QN∥AB 交 BC 于 N， 连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB， ∴AE ＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB， PM PE QB QN BQ 又 PM∥AB∥QN，∴ ＝ ＝ ， ＝ ， AB AE BD DC BD
解析 ①若 a∥α，b⊂α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α，b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b⊂α，a∥α 或 a⊂α.
3．(2009· 福建)设 m，n 是平面 α 内的两条不同直线； l1，l2 是平面 β 内的两条相交直线，则 α∥β 的一个充分而 不必要条件是( ) B．m∥l1 且 n∥l2 D．m∥β 且 n∥l2
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 PMQ. ∴PQ∥平面 BCE.
1．平行问题的转化关系
2．直线与平面平行的重要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面的平行性质． 3．平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒ α∥β.各种关系能相互转化，特别要关注转化所需条件是 什么． 4．可以考虑向量的工具性作用，能用向量的尽可能 应用向量解决，可使问题简化．
A．m∥β 且 l1∥α C．m∥β 且 n∥β
答案 B
解析 因 m⊂α，1⊂β， α∥β， l 若 则有 m∥β 且 l1∥α， 故 α∥β 的一个必要条件是 m∥β 且 l1∥α，排除 A.因 m， n⊂α，l1，l2⊂β 且 l1 与 l2 相交，若 m∥l1 且 n∥l2，因 l1 与 l2 相交，故 m 与 n 也相交，∴α∥β；若 α∥β，则直线 m 与直线 l1 可能为异面直线，故 α∥β 的一个充分而不必 要条件是 m∥l1 且 n∥l2，应选 B.
直线、平面平行的判定及性质
1．直线和平面平行的判定： (1)定义： 直线与平面 没有公共点， 则称直线平行平面； (2)判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 2．直线和平面平行的性质： a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
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PM QN ∴ ＝ ， AB DC ∴PM 綊 QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形，
∴PQ∥MN.又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
方法三
如上图，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PM∥
BE，交 AB 于点 M，连接 QM.∴PM∥平面 BCE， 又∵平面 ABEF∩平面 BCE＝BE， AP AM ∴PM∥BE，∴ ＝ ， PE MB 又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ， AP DQ AM DQ ∴ ＝ ，∴ ＝ ， PE BQ MB QB ∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
1．给出下列四个命题： ①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条 直线与这个平面平行； ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条 直线与这个平面平行；
③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行； ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行， 则另一 条也与这个平面平行． 其中正确命题的个数是________个．
3．两个平面平行的判定： (1)定义： 两个平面 没有公共点 ， 称这两个平面平行； (2)判定定理：一个平面内的 两条相交直线 ，与另一 个平面平行，则这两个平面平行； (3)推论： 一个平面内的 两条相交直线 另一个平面内的 两条相交直线 分别平行于
，则这两个平面平行．
4．两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时与 第三个平面相交，那么它们的交线 平行． 5．与垂直相关的平行的判定： (1)a⊥α，b⊥α⇒ a∥b ； (2)a⊥α，a⊥β⇒ α∥β .