专题06 三角形中的双角平分线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题06三角形中的双角平分线模型
【模型1】双角平分线模型
如图，已知在ABC ∆中，BO，CO 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理，可得A O ∠+︒=∠2
190。

【模型2】一内角一外角平分线模型
如图，已知在ABC ∆中，BP，CP 分别是ABC ∠，ACD ∠的平分线，∴ABC PBC ∠=∠2
1，ACD PCA ∠=∠21，
ACD ACB PCB ∠+∠=∠21，ABC A ACD ∠+∠=∠∴)(21ABC A ACB PCB ∠+∠+∠=∠；∴ABC A ACB PCB ∠+∠+∠=∠2121)
(180PCB PBC P ∠+∠-︒=∠ )212121(180ABC A ACB ABC P ∠+∠+∠+∠-︒=∠∴；)21(180A ACB ABC P ∠+∠+∠-︒=∠∴；)2
1180(180A A P ∠+∠-︒-︒=∠∴；
A P ∠=∠∴2
1【模型3】双外角平分线模型
如图，已知在ABC ∆中，BP，CP 分别是CBE ∠，BCF ∠的平分线，根据外角定理，CBE PBC ∠=
∠21，BCF PCB ∠=∠2
1，又ACB A CBE ∠+∠=∠，ABC A BCF ∠+∠=∠，
∴)(180PCB PBC P ∠+∠-︒=∠；∴)(21180)2121(180BCF CBE BCF CBE P ∠+∠-︒=∠+∠-︒=∠；∴)(21180ABC A ACB A P ∠+∠+∠+∠-︒=∠；∴)2(21180ABC ACB A P ∠+∠+∠-︒=∠；∴)1802(21180A A P ∠-︒+∠-︒=∠；∴︒-∠-︒=∠9021180A P ；∴A P ∠-︒=∠2190；【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____
【答案】40°
【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ACO=1
2
∠ACB，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=1
2
∠ACE，
∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=1
2
（∠ACB+∠ACE）=
1
2
×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，
故答案为：40°．
【例2】如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（）
A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°
C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O
【答案】D
【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论．
【解析】解：连接AO并延长，交BC于点D，
∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，
∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，
①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．
故选：D．
【例3】（1）问题发现：
如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在ABC 中，
ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．
【答案】（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902
BPC A ∠=︒-∠【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；
（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．
【解析】解：（1）∵40A ∠=︒，
∴18040ABC ACB ∠+∠=︒-，
∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∴12PBC ABC ∠=∠，12
PCB ACB ∠=，∴()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-
∠+=︒+︒故答案为110°
（2）12
BPC A ∠=∠，证明：∵ACE ∠是ABC 的外角，
PCE ∠是PBC 的外角，
∴ACE ABC A
∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，
∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∴1122
PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∴1122
ACE ABC BPC ∠=∠+∠，∴()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=
∠-∠=∠-∠，∴12
BPC A ∠=∠，故答案为：12BPC A ∠=
∠；（3）由（1）得，1902
BPC A ∠=︒-∠，故答案为：1902
BPC A ∠=︒-∠．
一、单选题
1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠A =m ，则∠BOC =（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC +∠ACB ，根据角的和差，可得∠DBC +∠BCE ，根据角平分线的定义，可得∠OBC +∠OCB ，根据三角形的内角和，可得答案．
【解析】解：如图：
，
由三角形内角和定理，得∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-m ，
由角的和差，得∠DBC +∠BCE =360°-（∠ABC +∠ACB ）=180°+m ，
由∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，得
∠OBC +∠OCB =12（∠DBC +∠BCE ）=90°+1
2m ，
由三角形的内角和，得
∠O =180°-（∠OBC +∠OCB ）=90°-12m ．
故选：B ．
2．如图：PC 、PB 是ACB ∠、ABC ∠的角平分线，40A ∠=︒，BPC ∠=（）
A ．∠BPC =70º
B ．∠BP
C =140ºC ．∠BPC =110º
D ．∠BPC =40º
【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，再根据角平分线的性质可得12
PCB ACB ∠=∠，12PBC ABC ∠=∠，进而可求PBC PCB ∠+∠的度数，再次在CBP ∆中利用三角形内角和即可求解．
【解析】解：40A ∠=︒ ，
18040140ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，
又BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，
12PCB ACB ∴∠=∠，12
PBC ABC ∠=∠，11()1407022PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=
∠+∠=⨯︒=︒，180()110BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．
故选：C ．
3．如图，△ABC 中，∠E =18°，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，则∠A 等于（）
A ．36°
B ．30°
C ．20°
D ．18°
【答案】A 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠ECD =∠E +∠EBC ；由角平分线的性质，得∠ECD =12（∠A +∠ABC ），∠EBC =1
2∠ABC ，利用等量代换，即可求得∠A 与∠E 的关系，即可得到结论．
【解析】解：∵∠ACD =∠A +∠ABC ，
∴∠ECD =12（∠A +∠ABC ）．
又∵∠ECD =∠E +∠EBC ，
∴∠E +∠EBC =12（∠A +∠ABC ）．
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠EBC =12∠ABC ，∴12∠ABC +∠E =12（∠A +∠ABC ），
∴∠E =12∠A =18°，
∴∠A =36°．
故选A ．
4．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：
①BDF 和CEF △都是等腰三角形
②DE BD CE =+；
③BF CF >；
④若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．
其中正确的有（）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．
【解析】解：①∵BF 是∠ABC 的角平分线，CF 是∠ACB 的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF ，∠ACF=∠BCF ，
∵DE ∥BC ，
∴∠CBF=∠BFD ，∠BCF=∠EFC （两直线平行，内错角相等），
∴∠ABF=∠BFD ，∠ACF=∠EFC ，
∴DB=DF ，EF=EC ，
∴△BDF 和△CEF 都是等腰三角形，
∴①选项正确，符合题意；
②∵DE=DF+FE ，
∴DB=DF ，EF=EC ，
∴DE=DB+CE ，
∴②选项正确，符合题意；
③根据题意不能得出BF ＞CF ，
∴④选项不正确，不符合题意；
④∵若∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，
∵∠ABF=∠CBF ，∠ACF=∠BCF ，
∴∠CBF+∠BCF=1
2×100°=50°，
∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，
∴④选项正确，符合题意；
故①②④正确．
故选C
5．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（）
A ．19︒
B ．20︒
C ．22︒
D ．25︒
【答案】A
【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A ＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC 是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．
法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋
1 2∠ACD＝∠A＋
1
2
∠ABD，代入计算即可．
【解析】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，
∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，
∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A−∠D
∵∠A＝48°，∠D＝10°，
∴∠P＝19°．
法二：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，
∴∠ACD ＝∠A ＋∠AEC ＝48°＋∠AEC ．
∵∠AEC 是△BDE 的外角，
∴∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，
∴∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，
整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．
设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，
∴∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋1
2∠ABD ，
即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．
故选A .
二、填空题
6．如图，在ABC ∆中，A θ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；⋯；2019A BC ∠和2019A CD ∠的平分线交于点2020A ，则2020A ∠=__．（用θ表示）
【答案】2020
2θ
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，由于∠A 1=12∠A ，
∠A 2=12∠A 1=2
12∠A ，…，以此类推可知∠A 2020即可求得．【解析】∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC=1
2∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ，
∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ，
∴∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ），
∵∠A+∠ABC=∠ACD ，
∴∠A=∠ACD-∠ABC ，
∴∠A 1=12∠A ，
以此类推
∠A 2=12∠A 1=12•12∠A=2
12∠A,∠A 3=12∠A 2=21122⨯∠A=312
∠A ，……，所以∠A n =
12n A ∠，202020202020122A A θ
∴∠=∠=．故答案为：20202θ
．
7．如图，在△ABC 中，A 70∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么BDC ∠＝_________度．
【答案】125
【分析】先利用三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，进而可求DBC DCB ∠+∠的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．
【解析】70A ∠=︒ ，
180110ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒．
∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，
1()552
DBC DCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()125BDC DBC DCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．
故答案为：125．
8．如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
【答案】①④
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋1
2∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．
【解析】∵CE 为外角∠ACD 的平分线，BE 平分∠ABC ，
∴∠DCE ＝12∠ACD ，∠DBE ＝1
2∠ABC ，
又∵∠DCE 是△BCE 的外角，
∴∠2＝∠DCE−∠DBE ＝12（∠ACD−∠ABC ）＝12∠1，
故①正确；
∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，
∴∠OBC ＝12ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，
∴∠BOC ＝180°−（∠OBC ＋∠OCB ）
＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）
＝180°−12（180°−∠1）
＝90°＋12∠1，
故②、③错误；
∵OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，
∴∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ，
∴∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°，
∵∠BOC 是△COE 的外角，
∴∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；
故答案为：①④．
9．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．
【答案】110︒．
【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
【解析】解：∵OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
111()222
ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠∵∠A=40°，
∴∠OBC+∠OCB=1(18040)2︒︒-=70°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）
=180°-70°
=110°．
故答案是110．
10．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．
【答案】5+【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．
【解析】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，
∴DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴DEF C DE EF AF AE DE
=++=+△∵60BAC ∠=︒，AD 是角平分线
∴30DAE ∠=︒
∵10
AD =
∴5DE =，AE =
∴5DEF C =+△
11．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．
【答案】15°
【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=1
2
∠ABC，∠DCB=
1
2
∠ACB，
在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180°-∠A）
=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN
得∠5+∠6=1
2
∠MBC，∠1=
1
2
∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=
1
2
（∠NCB+∠NCB）=150°，
在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，
∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等
量代换可得到∠F=1
2
∠E．
【解析】解：如图：
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC=1
2
∠ABC，∠DCB=
1
2
∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180°-∠A）=
1
2
×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=1
2
∠MBC，∠1=
1
2
∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=1
2（∠NCB +∠NCB ）=150°，
∴∠E =180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF 、CF 分别平分∠EBC 、∠ECQ ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F ，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E ，
即∠2=∠5+∠F ，2∠2=2∠5+∠E ，
∴2∠F =∠E ，
∴∠F =12∠E =12×30°=15°．
故答案为：15°．
三、解答题
12．
（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．
（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902
BDC A -︒∠=∠．
（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12
D A ∠=∠．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．
由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①
由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②
由②得180x y BOC +=-∠︒．③
把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，
即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902
BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122
BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-1
2[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°）
，=90°-12∠A ；
（3）如图：
∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5=1
2（∠A +2∠1），∠3=∠4，
在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A ①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-1
2
（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=1
2
∠A．
13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O
①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为；
②若∠A=76°，则∠BOC的度数为；
③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？说明理由
【答案】①135°；②128°；③∠BOC=90°+1
2
∠A，理由见解析
【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线的定义进行求解；
②利用三角形的内角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行求解；
③利用三角形的内角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度数,再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行求解．
【解析】解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=1
2
∠ABC=20°，∠OCB=
1
2
∠ACB=25°，
又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°-1
2
（∠ABC+∠ACB）=135°，
故答案为：135°；
②∵在△ABC中，∠A=76°，∴∠ABC+∠ACB=104°，
∴由①知，∠BOC=180°-1
2
（∠ABC+∠ACB）=128°，
故答案为：128°
③∠BOC=90°+1
2
∠A，理由如下：
∠BOC=180°-1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°-
1
2
（180°-∠A）=90°+
1
2
∠A．
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC +∠ACB ＝130°，求∠BPC 的度数．
（2）当∠A 为多少度时，∠BPC ＝3∠A ？
【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒
【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；
（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．
【解析】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，
11,22
PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC +∠ACB ＝130°，
1()652
PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，
（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，
11,22
PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，1()2
PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠，180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠ ，
1902
PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠，180()
BPC PBC PCB Ð=°-Ð+Ð1180(90)2
A =︒-︒-∠1902
A =+∠︒ ∠BPC ＝3∠A
13902
A A ∴∠=︒+∠，36A ∴∠=︒．
15．数学思想运用：
(1)如图①所示，△ABC 的外角平分线交于G ，若∠A =80°，则∠BGC =______°，请你猜测∠BGC 和∠A 的数量关系：_______________．
(2)如图②所示，若△ABC 的内角平分线交于点I ，若∠A =50°，则∠BIC =______°，请你猜测∠BIC 和∠A 的数量关系：__________________．
(3)已知，如图③，△ABC 中，ACE ∠的平分线与的平分线交于点，请你猜测∠D
和∠A 的数量关系：____________________．
若，求的度数（写出求解过程）．【答案】(1)501902BGC A ∠=︒-∠(2)1151902
BIC A ∠=︒+∠(3)12
D AC
E ∠=∠，35°【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，可知180100ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，继而求出260CBE BC
F ∠+∠=︒由角平分线的定义得出112,322CBE BCF ∠=
∠∠=∠，再由三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形内角和等于180°，可得180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，根据角平分线的意义可得116,822
ABC ACB ∠=∠∠=∠，再由三角形内角和定理即可求解；（3）先由角平分线的定义可得1,12
2DBC ABC DCE ACE ∠=∠∠=∠，再根据三角形外角的性质得,ACE ABC A DCE DBC D ∠=∠+∠∠=∠+∠，利用角的和差即可求解；将70A ︒∠=代入数量关系即可求解．
【解析】（1）180,80A ABC ACB A ∠+∠+∠=︒∠=︒
180100ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒
180,180ABC CBE ACB BCF ∠+∠=︒∠+∠=︒
180180(180)180260CBE BCF A A ∴∠+∠=︒+︒-︒-∠=︒+∠=︒
,BG CG 分别平分,CBE BCF
∠∠112,322
CBE BCF ∴∠=∠∠=∠1123()(180)13022CBE BCF A ∴∠+∠=
∠+∠=︒+∠=︒23180BGC ∠+∠+∠=︒ 11180(23)180(180)905022BGC A A ⎡⎤∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+∠=︒-∠=︒⎢⎥⎣⎦
故答案为：50，1902
BGC A ∠=︒-∠（2）180,50A ABC ACB A ∠+∠+∠=︒∠=︒
180130ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒
,BI CI Q 分别平分,ABC ACB
∠∠116,822
ABC ACB ∴∠=∠∠=∠11168()(180)90222ABC ACB A A ∴∠+∠=
∠+∠=︒-∠=︒-∠68180BIC ∠+∠+∠=︒ 11180(68)180(180)9011522
BIC A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠=︒故答案为：115，1902
BIC A ∠=︒+∠（3）,BD CD 分别平分,ABC ACE
∠∠11,22
DBC ABC DCE ACE ∴∠=∠∠=∠,ACE ABC A DCE DBC D
∠=∠+∠∠=∠+∠ 111222
ACE ABC A ∴∠=∠+∠12
D A ∴∠=∠70A ︒
∠= 35D ∴∠=︒故答案为：12
D A ∠=∠16．ABC 中，50A ∠=︒．
（1）如图①，若点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，求P ∠的度数；
（2）如图②，若点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，求P ∠的度数；
（3）如图③，若点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，求P ∠的度数；
（4）若A β∠=.请直接写出图①，②，③中P ∠的度数，(用含β的代数式表示)
【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①1
1180(180)9022
P ββ∠=︒-︒-=︒+；②1902
P β∠=︒-；③1122P A β∠=∠=【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=1
2（∠ABC+∠ACB ）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P 的度数；
（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=12（∠CBD+∠BCE ）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；
（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=12∠A ，即可得出结果；
（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．
【解析】解:（1）50A ∠=︒ ，18050130ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，
点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，
12PBC ABC ∴∠=∠，12
PCB ACB ∠=∠，11()1306522
PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=⨯∠+∠=⨯︒=︒，180()115P PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒；
（2）18050130ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒ ，
360130230CBD BCE ∴∠+∠=︒-︒=︒，
点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，
1()1152
PBC PCB CBD BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒，18011565P ∴∠=︒-︒=︒；
（3） 点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，
12PBC ABC ∴∠=∠，12
PCF ACF ∠=∠，PCF P PBC ∠=∠+∠ ，ACF A ABC ∠=∠+∠，
2()P PBC A ABC ∴∠+∠=∠+∠，
1252
P A ∴∠=∠=︒；（4）若A β∠=，在（1）中，1
1180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+
；在（2）中，同理得：1902
P β∠=︒-；在（3）中，同理得：1122
P A β∠=∠=．
17．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D ；
【简单应用】
（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P 的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为：（用α、β表示∠P ）；
②在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论．
【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=2
3
αβ
+
②∠P=
180
2
B D
︒+∠+∠
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．
（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
【解析】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如图3：
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，
∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°．
（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P=2
3
αβ
+
．
故答案为：∠P=2
3
αβ
+
．
②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P=180
2
B D
︒+∠+∠
．
故答案为：∠P=180
2
B D
︒+∠+∠
．
18．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
【答案】（1）130°；（2）
1
90
2
Q A
∠=︒-∠；（3）60°或120°或45°或135°
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得
∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣1
2
∠A，求出∠E＝
1
2
∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE
中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣1
2
（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣
1
2
×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝1
2（∠MBC+∠NCB）
＝1
2（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝1
2（180°+∠A）
＝90°+1
2∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+1
2∠A）＝90°﹣
1
2∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝1
2∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝1
2∠ABC+
1
2∠MBC
＝1
2（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
19．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB=．
【答案】（1）35°；（2）90°-1
2
α；（3）1
2
β
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=1
2
∠ACG，∠DBC=
1
2
∠ABC，然后根据三角
形外角的性质即可得到结论；
（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=1
2
∠ABC，∠CBE=
1
2
∠CBF，于是得到∠DBE=90°，
由（1）知∠D=1
2
∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-
1
2
α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=1
2
∠ABC，∠DAM=
1
2
∠MAC，再利用三角形外
角的性质可求解．
【解析】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=1
2
∠ACG，∠DBC=
1
2
∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=1
2
∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=1
2
∠ABC，∠CBE=
1
2
∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=1
2
（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°，
∵∠D=1
2
∠A，∠A=α，
∴∠D=1
2α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-1
2α；
（3）如图，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=1
2
∠ABC，
∴∠DAM=1
2
∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=1
2
∠ACB=
1
2
β．
故答案为：1
2β．。