概率讲义第2章

第二章 随机变量及其分布
第一节 引论
一．集合论初步
1．对等的概念
2．有限集、无限集、可列集、不可数集、幂集)(A ℜ、基数A
3．命题1：N Q ~、N Z ~、1~),(~]1,0[~]1,0(R b a
命题2：区间]1,0(是一个不可数集，记ℜ=]1,0(，称为连续基数。

4．命题1：任给一集A ，则)(A ℜ=};{A B B ⊂与A 不对等。

证明：反证之。

若A A ~)(ℜ，则可记)(A ℜ=};{A x B x ∈，即可将)(A ℜ中的元素用A 的元素来标记（使)(A ℜ与A 的元素一一对应）。

对于A x ∈∀，只有下列两种情形之一发生：x B x i ∈)(或x B x ii ∉)(。

令D =},;{A x B x x x ∈∉，有)(A D ℜ∈，因此可知A x ∈∃0，满足D B x =0。

若D x ∈0，则00x B x ∉，即D x ∉0，矛盾；
若D x ∉0，则00x B x ∈，即D x ∈0，矛盾。

证完
命题2：最大的基数不存在。

命题3（Cantor-Bernstein 定理）：若A 与B 的一个子集*B 对等，而B 与A 的
一个子集*A 对等，则A 与B 对等。

即B B A ⊂*~，A A B ⊂*~B A ~⇒
5．定义：设有集合A 与B ，α=A ，β=B 。

记从B 到A 的一切映射所构成的
集合为B A ，则称B A 的基数为α的β次幂βα。

例如：},,2,1{n B =，}1,0{A ，则B 到A 的映射总数正好是n 2。

命题1：设α=A ，则α2)(=ℜA
证明：α2是集合A }1,0{的基数，而A }1,0{就是定义在A 上的A 中子集的特征函
数（映射）全体形成的集合，而对应于A 中的每个子集E ，均惟一地对
应一个特征函数)(x E χ=⎩⎨⎧-∈∈E A x E x ,0,1，反之亦然，这说明)(A ℜ与A
}1,0{是对等的。

命题2：ℜ=ℜ02
证明：只需比较N }1,0{与]1,0(的基数。

对于任意的N }1,0{∈ϕ，作映射 ∑∞=→13)(:n n n f ϕϕ，易知f 是从N }1,0{到]1,0(的一个单射，故有ℜ≤ℜ02 另一方面，对每一个]1,0(∈x ，用二进位制小数（必须出现无穷多个数） 表示为∑∞
==12n n n a x ，1,0=n a （ ,2,1=n ） 现在定义映射g 如下：
:g N x }1,0{∈→ϕ，n a n =)(ϕ（ ,2,1=n ）易知g 是从]1,0(到N }1,0{的一个单射，故有02ℜ≤ℜ。

依据Cantor-Bernstein 定理知，02ℜ=ℜ
二．测度论初步
1．点集的Lebesgue 外测度（1902年） 设1R E ⊂，称
)(*E m =}}{:inf{1
覆盖的为-∑≥L E I I k k k 为点集E 的Lebssgue 外测度。

2．外测度的性质
（1） 非负性0)(*≥E m ，0)(*=φm
（2） 单调性21E E ⊂)()(2*1*E m E m ≤⇒
（3） 半-σ加性
3．Caratheodory 条件（1918年）：设1R E ⊂，若对于任意的点集1R T ⊂，有 )()()(***c TE m TE m T m +=，则称E 为(勒贝格）可测集，T 为试验集。

若E 为可测集，其外测度称为测度，记为)(E m 。

4．Borel （1898年）集是可测集。

5．存在非Borel 可测集。

6．存在不可测集。

第二节 事件的独立性
1．事件的独立性
若)()()(B P A P AB P =，则称事件B A ,相互独立。

φ,S 与任何事件独立。

推论1：若事件B A ,独立，且0)(>B P ，则)()(A P B A P =
推论2：若事件B A ,独立，则下列各对事件也独立
},{B A c 、},{c B A 、},{c c B A
2．多个事件的独立性
对于三个事件C B A ,,，若下列四个等式同时成立，则称它们相互独立
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====)
()()()()
()()()()()()()()(C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P 推论：若三个事件C B A ,,独立，则B A ⋃、AB 、B A -均与C 独立
例题：高射炮的命中率为5
3，若要求以%99以上的概率命中一架敌机，问至少需要多少架高射炮？
3．试验的独立性
3．1复合试验
设试验1E 的样本空间}{)1(1ω=S ，试验2E 的样本空间}{)2(2ω=S ,, 试验n E 的样本空间}{)(n n S ω=，为描述这n 次试验，构造复合试验E ，它表示依次进行试验 n E E E ,,,21 。

其样本空间记为n S S S S ⨯⨯⨯= 21，
其样本点为),,,(21n ωωωω =
例题：若试验1E 是抛一枚硬币，}{1正、反=S ，试验2E 是从装有红白黑三球的袋子里摸出一球，}{2红、白、黑=S 。

则复合试验E 表示先抛一次硬币再摸一球。

21S S S ⨯=，样本点共6个：
（正、红）、（正、白）、（正、黑）、（反、红）、（反、白）、（反、黑），解释“与第k 次试验有关的事件”。

若以k ℜ记与第k 次试验有关的事件全体，定义试验的独立性
3．3若对于任意的1)1(ℜ∈A ，n n A ℜ∈)(, 均成立
)()()2()1(n A A A P =)()()()()2()1(n A P A P A P ，则称试验n E E E ,,,21 相互独立。

注意到k S ℜ∈，n k ,,2,1 =因此由定义立刻推出，若n 个试验独立，则其中m 个试验也独立。

3．4重复独立试验
n S S S === 21，有关事件的概率保持不变。

3．5伯努利试验
事件域为},,,{c A A S φ=ℜ
3．6n 重伯努利试验n E
约定
（1）每次试验出现两个结果之一：A 及c A
（2）A 在每次试验中出现的概率p 不变
（3）各次试验相互独立
（4）共进行n 次试验
n E 的样本点形如),,(21n ωωω 其中k ω是k A 或c k A ，分别表示第k 次试验出现A 或c A ，显然这种样本点共有n 2个。

3．7可列重伯努利试验∞E
样本点),,,(21 n ωωω，此时样本空间不可数。

因此并非所有子集都看作事件。

第二节 离散随机变量及其分布
为了能够进一步运用数学方法特别是微积分手段处理随机事件，有必要通过某些对应法则，建立起关于样本点ω的函数)(ωξ，即样本点数字化。

1．设E 为任一随机试验，它的基本事件空间为}{ω=S ，如果对每个S ∈ω，有一实数)(ωξ和它对应，我们称)(ωξ为随机变量（不严格，因为})(:{A ∈ωξω不一定是事件）。

2.离散型随机变量 有些随机变量，它全部可能取到的不同的值是有限个或可列无限个，这种随机变量称为离散型随机变量。

概率空间),,(P S ℜ，其中ℜ为事件域，要求})({x =ωξ=ℜ∈=})(:{x ωξω，从而保证事件})({x =ωξ有概率。

总结：就象火种的使用一样，人类从此告别了冰冷、黑暗、愚昧、荒蛮的时代，快节奏的迎来了光明和文明的曙光。

随机变量的诞生标志着概率论发展的新纪元，这门学科从此摆脱了传统理论基础缺陷的桎梏，面貌焕然一新，迅速成长为现代数学大家族中生机勃勃的一个分支。

样本点退守到垂帘听政的位置上，默默无闻的见证着眼前发生的一切。

今后只是在必要的时候我们才回过头去光顾一
下它，以免忘记了来时的路。

3.离散型随机变量的分布律（见课本，熟练掌握）
4.几个离散随机变量
（1） 二点分布（Bernoulli 分布）
（2） 二项分布（熟练掌握）
在n 重Bernoulli 试验中，事件A 发生的次数ξ服从二项分布
)(k P =ξ=k n k k n q p C -，),,2,1,0(n k =
泊松定理
在独立试验中，以n p 代表事件A 在试验中出现的概率，它与试验总数n 有关，如果λ→n np ，则当∞→n 时有k -n n )p -(1k n k n p C λλ-k e k!→
证明：记n n np =λ，则k -n n k n k n )p -(1p C =k -n n k n n -1n k!1)k -(n 1)-n(n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλ =k -n n k n )n -)(1n 1-k -(1)n 2-)(1n 1-(1k!λλ ，对于固定的k ，有k k n n lim λλ=∞→ λλ-k -n n n e n -1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→，1)n 1-k -(1)n 2-)(1n 1-(1lim n =∞→ 。

易得结论。

（3） 泊松(Poisson ，1837年)分布
考虑来到某交换装置的呼叫次数，假定它具有下列三个性质
)(i
平稳性 在),[00t t t +中来到的呼叫次数只与时间间隔长度t 有关而与起点0t 无关。

若以)(t P k 记在长度为t 的时间区间中来到k 个呼叫的概率，有1)(0
=∑∞=k k
t P 平稳性表明它的概率规律不随时间的推移而改变。

)(ii 独立增量性（无后效性） 在),[00t t t +内来到k 个呼叫这一事件与时刻0t 以前发生的事件独立。

独立增量性表明在互不相交的时间区间内过程进行的相互独立性。

)(iii 普通性 在充分小的时间间隔中，最多来到一个呼叫。

即若记
)()(1)()(102t P t P t P t k k --==∑∞
=φ，应有)()(t o t =φ
普通性表明在同一时间瞬间来两个或两个以上呼叫实际上是不可能的。

下面求)(t P k
对0>∆t ，考虑),0[t t ∆+中来到k 个呼叫的概率)(t t P k ∆+
由独立增量及全概公式得
)(t t P k ∆+=)()()()()()(0110t P t P t P t P t P t P k k k ∆++∆+∆- ，0≥k
特别地)()()(000t P t P t t P ∆=∆+
)(0t P 表示在长度为t 的时间间隔中没有来呼叫的概率，因此它关于t 单调下降，求得t a t P =)(0，其中0≥a ，若0=a 则0)(0≡t P ，这说明无论怎么短的时间内都要来呼叫，我们不考虑此情况。

若1=a 则)(0t P 1≡表示永远不来呼叫，我们也不考虑。

综上有10<<a ，从而存在0>λ，使得t e t P λ-=)(0
当0→∆t 时，)(0t P ∆=t e ∆-λ=)(1t o t ∆+∆-λ
)(1t P ∆=)()(10t t P ∆-∆-φ=)(t o t ∆+∆λ
)()()()()(22t o t t P t P t P l l l l l k ∆=∆=∆≤∆∆∑∑∞
=∞=-φ
因此有)()()1)(()(1t o t t P t t P t t P k k k ∆+∆⋅+∆-=∆+-λλ
从而)]()([)(1t P t P t P k k k -='-λ，1≥k ，解此微分方程得
t k
k e k t P λλ-=!)( ,2,1,0=k
（4） 几何分布 在伯努利试验中，到首次成功为止试验次数η服从几何分布 )(k P =η=p q k 1-，（ ,2,1=k ）
（5）几何分布的无记忆性 在伯努利试验中，到首次成功为止试验次数η服从几何分布。

假设前m 次均未成功，还要进行η'次才能获得首次成功的概率是 )(k P ='η=)(m k m P >+=ηη=
)(),(m P m k m P >>+=ηηη=)
()(m P k m P >+=ηη =m k m q
p q 1-+=p q k 1-=)(k P =η （6） 帕斯卡分布 在伯努利试验中，直到成功r 次为止，试验次数η服从帕斯卡分布。

)(n P =η=r n r r n q
p C ---11，),1,( +=r r n （7） 帕斯卡分布归一性的证明
r n r r n r n q p C
-∞=--∑11=∑∞=---r n n r n r r q C q
p 11 令)(x S r =n r n r n x C
∑∞=--1
1=r x +
∑∞+=--111r n n r n x C =r x +n r n r n r n x C C ∑∞+=----+12212)(
=r x +12111)(+--∞=--+∑n r n r n r n x C C =r x +)(x xS r +)(1x xS r -r x - 因此有)(1)(1x S x x x S r r --=== )(111
x S x x r -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r x x )1(- 而n r n r n q C
∑∞=--11=)(q S r =r r p q -，故有r n r r
n r n q p C -∞=--∑11=1 5.连续型随机变量
（1） 取值不能一一列出
（2） 我们关心的不是其取某一特定数值的概率而是取值于某一区间的概率。

因此要求})({b a <≤ωξ或})({b <ωξ或})({A ∈ωξ有概率，即ℜ∈∈})(:{A ωξω
6．（离散、连续）随机变量定义
设)(ωξ是定义于概率空间),,(P S ℜ上的单值实函数，如果对于直线上的任一Borel 集B ，有ℜ∈∈})(:{B ωξω，则称)(ωξ为随机变量；而称})({B P ∈ωξ称为随机变量)(ωξ的概率分布。

7.连续型随机变量的分布函数及概率密度
7.1设X 是一个连续型随机变量，x 是任意实数，函数}{)(x X P x F ≤=称为X 的分布函数。

显然有：
=≤≤}{21x X x P }{}{12x X P x X P ≤-≤)()(12x F x F -=
7.2)(x F 的性质
（1）↑)(x F （单调性）
（2）1)(0≤≤x F （有界性）
（3）0)(=-∞F ，1)(=+∞F （归一性）
（4）就本质而言，)(x F 是一个概率。

7.3概率密度即单位长度上的概率的大小，即 极限x x x X x P x ∆∆+<<→∆)(lim 0∆)(x ρ 而x x x X x P x ∆∆+<<→∆)(lim 0=)()()(lim 0x F x
x F x x F x '=∆-∆+→∆，因此有结论： （1）)()(x x F ρ='
（2）⎰∞-=
x
dt t x F )()(ρ
7.4密度)(x f 的性质
（1）0)(≥x f
（2）⎰+∞
∞-=1)(dx x f （3）)()(x f x F ='
（4）)()()(}{12212
1x F x F dx x f x X x P x x -==≤≤⎰（Leibniz Newton -公式） 8.三个连续随机变量的分布
（1） 均匀分布],[~b a U X
（2） 指数分布（无记忆性）)(~θe X
（3） 正态分布（Gauss 分布）),(~2σμN X
9.随机变量的函数的分布
已知X 的分布函数)(x F X 及密度函数)(x f X ，求随机变量)(X g Y =的分布函数)(y F Y 及密度)(y f Y (掌握推导过程)。