2018版高考数学(理)一轮复习文档:第九章解析几何9.9第二课时含解析
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第2课时范围、最值问题
题型一范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆错误!+错误!=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为错误!,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=错误!截得的线段的长为c,|FM|=错误!。
(1)求直线FM的斜率;
(2)求椭圆的方程;
(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于错误!,求直线OP(O 为原点)的斜率的取值范围.
解(1)由已知,有错误!=错误!,
又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2。
设直线FM的斜率为k(k>0),F(-c,0),则直线FM的方程为y=k(x +c).
由已知,有错误!2+错误!2=错误!2,
解得k=错误!。
(2)由(1)得椭圆方程为错误!+错误!=1,直线FM的方程为y=错误!(x +c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-错误!c或x=c。
因为点M在第一象限,可得M的坐标为错误!。
由|FM|=错误!=错误!。
解得c=1,所以椭圆的方程为错误!+错误!=1.
(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,
得t=错误!,即直线FP的方程为y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立,
错误!消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6,
又由已知,得t=错误!>错误!,
解得-错误!<x<-1或-1<x<0.
设直线OP的斜率为m,得m=错误!,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得m2=错误!-错误!。
①当x∈错误!时,有y=t(x+1)<0,
因此m>0,于是m=错误!,得m∈错误!。
②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0.
因此m<0,于是m=-错误!,
得m∈错误!.
综上,直线OP的斜率的取值范围是错误!∪错误!。
思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参
数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
(2016·黄冈模拟)已知椭圆C:错误!+错误!=1(a〉b〉0)与
双曲线x2
3
-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的
右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
解(1)∵双曲线的离心率为错误!,
∴椭圆的离心率e=错误!=错误!。
又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,
∴右顶点为(2,0),即a=2,c=错误!,b=1,
∴椭圆方程为错误!+y2=1.
(2)由题意可设直线的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).
联立错误!
消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则x1+x2=-错误!,x1x2=错误!,
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2。
又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,
故错误!·错误!=错误!
=k2⇒-错误!+m2=0.
由m≠0得k2=错误!,解得k=±错误!.
又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)
=16(4k2-m2+1)>0,得0〈m2<2,
显然m2≠1(否则x1x2=0,x1,x2中至少有一个为0,直线OM,ON中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾).
设原点O到直线的距离为d,
则S△OMN=错误!|MN|d
=1
2
·错误!·错误!·|x1-x2|
=错误!|m|错误!
=错误!.
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
题型二最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 (2016·锦州模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则|AF|·|BF|的最小值是( )A.2 B。
错误!C.4 D.2错误!
答案C
解析设直线AB的倾斜角为θ,可得|AF|=错误!,|BF|=错误!,则|AF|·|BF|=错误!×错误!=错误!≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为__________________________
______________________________________________.
答案错误!
解析双曲线x2-y2=1的渐近线为x±y=0,直线x-y+1=0与渐近
线x-y=0平行,故两平行线的距离d=
|1-0|
12+-12
=错误!.由点P
到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,得c≤
2
2
,故c的最大值为
错误!。
命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4 (2016·山东)如图,已知椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2错误!。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P 在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C 于另一点Q,延长QM交C于点B。
①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′,证明错误!为定值;
②求直线AB的斜率的最小值.
(1)解设椭圆的半焦距为c。
由题意知2a=4,2c=2 2.
所以a=2,b=错误!=错误!.
所以椭圆C的方程为错误!+错误!=1。
(2)①证明设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k=错误!=错误!。
直线QM的斜率k′=错误!=-错误!。
此时错误!=-3。
所以错误!为定值-3.
②解设A(x1,y1),B(x2,y2).
直线PA的方程为y=kx+m.
直线QB的方程为y=-3kx+m.
联立错误!
整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0,
由x0x1=错误!,可得x1=错误!,
所以y1=kx1+m=错误!+m.
同理x2=2m2-2
18k2+1x0,
y2=错误!+m。
所以x2-x1=错误!-错误!=错误!,
y2-y1=错误!+m-错误!-m =错误!,
所以k AB=y2-y1
x2-x1=错误!=错误!错误!,
由m>0,x0>0,可知k>0,
所以6k+错误!≥2错误!,当且仅当k=错误!时取“=”.
因为P(x0,2m)在椭圆错误!+错误!=1上,
所以x0=错误!,故此时错误!=错误!,
即m=错误!,符合题意.
所以直线AB的斜率的最小值为错误!.
思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
(2017·开封月考)已知圆(x-a)2+(y+1-r)2=r2(r〉0)过点F(0,1),圆心M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设P为直线l:x-y-2=0上的点,过点P作曲线C的两条切线PA,PB,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
解(1)依题意,由圆过定点F可知轨迹C的方程为x2=4y.
(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=错误!x2,求导得y′=错误!x。
设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中y1=错误!,y2=错误!),
则切线PA,PB的斜率分别为错误!x1,错误!x2,
所以切线PA的方程为y-y1=错误!(x-x1),
即y=错误!x-错误!+y1,即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0。
因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,
所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0。
(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
联立方程错误!消去x整理得y2+(2y0-x错误!)y+y错误!=0,
由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x错误!-2y0,y1y2=y错误!,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y错误!+x错误!-2y0+1。
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,
所以y错误!+x错误!-2y0+1=2y错误!+2y0+5=2(y0+错误!)2+错误!,
所以当y 0=-12
时,|AF |·|BF |取得最小值,且最小值为错误!.
1.(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y 2=x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,且直线l 的倾斜角θ≥错误!,点A 在x 轴上方,则|FA |的取值范围是( )
A .(错误!,1]
B .(错误!,+∞)
C .(错误!,+∞)
D .(错误!,1+错误!] 答案 D
解析 记点A 的横坐标是x 1,则有|AF |=x 1+错误!=(错误!+|AF |cos θ)+错误!=错误!+|AF |cos θ,
|AF |(1-cos θ)=错误!,|AF |=错误!。
由π4
≤θ〈π得-1〈cos θ≤错误!,2-错误!≤2(1-cos θ)〈4,错误!〈错误!≤错误!=1+错误!,
即|AF |的取值范围是(错误!,1+错误!].
2.已知P 为双曲线C :错误!-错误!=1上的点,点M 满足|错误!|=1,且错误!·错误!=0,则当|错误!|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )
A.95
B.错误! C .4 D .5 答案 B
解析 由错误!·错误!=0,得OM ⊥PM ,根据勾股定理,求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值,当|OP |取得最小值时,点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲线的渐近线为4x ±3y =0,∴所求的距离d =错误!,故选B 。
3.已知F 1,F 2分别是双曲线错误!-错误!=1(a >0,b 〉0)的左,右焦点,对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2=8a |PF 1|(a 为实半轴长),则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A .(1,+∞)
B .(2,3]
C .(1,3]
D .(1,2]
答案 C
解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义,
得|PF 2|=2a +|PF 1|,所以错误!=|PF 1|+错误!+4a =8a ,
所以|PF 1|=2a ,|PF 2|=4a ,
在△PF 1F 2中,|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,
即2a +4a ≥2c ,所以e =错误!≤3.
又e >1,所以1〈e ≤3。
故选C 。
4.(2016·成都质检)若点O和点F分别为椭圆错误!+错误!=1的中点和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则错误!·错误!的最小值为________.
答案6
解析点P为椭圆错误!+错误!=1上的任意一点,
设P(x,y)(-3≤x≤3,-2错误!≤y≤2错误!),
依题意得左焦点F(-1,0),∴错误!=(x,y),错误!=(x+1,y),
∴错误!·错误!=x(x+1)+y2=x2+x+错误!
=错误!·错误!2+错误!。
∵-3≤x≤3,∴错误!≤x+错误!≤错误!,
∴错误!≤错误!2≤错误!,
∴1
4
≤错误!错误!2≤错误!,
∴6≤错误!·错误!2+错误!≤12,
即6≤错误!·错误!≤12。
故最小值为6。
5.(2017·郑州质检)已知椭圆C1:错误!-错误!=1与双曲线C2:错误!+错误!=1有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________.答案(错误!,1)
解析∵椭圆C1:错误!-错误!=1,
∴a2,1=m+2,b错误!=-n,c错误!=m+2+n,
e错误!=错误!=1+错误!。
∵双曲线C2:错误!+错误!=1,
∴a22=m,b2,2=-n,c错误!=m-n,
∴由条件知m+2+n=m-n,则n=-1,
∴e错误!=1-错误!.
由m〉0得m+2>2,错误!<错误!,-错误!〉-错误!,
∴1-错误!〉错误!,即e错误!>错误!,而0〈e1<1,
∴错误!<e1<1。
6.已知双曲线C的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),双曲线C 上一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M 为AB的中点,求直线l的方程;
(3)已知定点G(1,2),点D是双曲线C右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值.
解(1)依题意,得双曲线C的实半轴长为a=1,
半焦距c=2,所以其虚半轴长b=错误!=错误!。
又其焦点在x轴上,所以双曲线C的标准方程为
x2-错误!=1.
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则错误!
两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
因为M(2,1)为AB的中点,
所以错误!
所以12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,
即k AB=错误!=6,
故AB所在直线l的方程为y-1=6(x-2),
即6x-y-11=0。
(3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2,
即|DF1|=|DF2|+2,
所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2,
当且仅当G,D,F2三点共线时取等号,
因为|GF2|=错误!=错误!,
所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=错误!+2,
故|DF1|+|DG|的最小值为错误!+2。
7.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(错误!,0).(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.
解(1)设双曲线C的方程为错误!-错误!=1(a〉0,b〉0).
由已知得a=错误!,c=2,
又a2+b2=c2,得b2=1,
∴双曲线C的方程为错误!-y2=1。
(2)联立错误!
整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
∴{1-3k2≠0,
Δ=12m2+1-3k 2>0,
可得m2〉3k2-1且k2≠错误!,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0),
则x1+x2=错误!,∴x0=错误!=错误!,
∴y0=kx0+m=错误!。
由题意,AB⊥MN,
∴k AB=错误!=-错误!(k≠0,m≠0).
整理得3k2=4m+1,②
将②代入①,得m2-4m〉0,∴m<0或m〉4。
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-错误!.
∴m的取值范围是错误!∪(4,+∞).
8.已知椭圆C1:y2
a2+错误!=1(a〉b>0)的右顶点为A(1,0),过C1
的焦点且垂直长轴的弦长为1。
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N。
当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.
解(1)由题意,得错误!从而错误!
因此,所求的椭圆C1的方程为错误!+x2=1.
(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′错误!。
直线MN的方程为
y=2tx-t2+h。
将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,
所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]〉0.②
设线段MN的中点的横坐标是x3,
则x3=错误!=错误!。
设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4=错误!.
由题意,得x3=x4,
即t2+(1+h)t+1=0。
③
由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1或h≤-3。
当h≤-3时,h+2〈0,4-h2<0,
则不等式②不成立,所以h≥1。
当h=1时,代入方程③得t=-1,
将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.
所以,h的最小值为1.
9.如图,O为坐标原点,椭圆C1:错误!+错误!=1(a〉b〉0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:错误!-错误!=1的左,右焦点分别为F3,F4,离心率为e2.已知e1e2=错误!,且|F2F4|=错误!-1。
(1)求C1,C2的方程;
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.
解(1)因为e1e2=错误!,所以错误!·错误!=错误!,即a4-b4=错误!a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(错误!b,0),于是错误!b-b=|F2F4|=错误!-1,所以b=1,a2=2。
故C1,C2的方程分别为错误!+y2=1,错误!-y2=1.
(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),
故可设直线AB的方程为x=my-1。
由错误!得(m2+2)y2-2my-1=0。
易知此方程的判别式大于0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1,y2是上述方程的两个实根,
所以y1+y2=错误!,y1y2=错误!.
因此x1+x2=m(y1+y2)-2=错误!,
于是AB的中点为M(错误!,错误!),
故直线PQ的斜率为-错误!,PQ的方程为y=-错误!x,即mx+2y=0.
由错误!得(2-m2)x2=4,
所以2-m2>0,且x2=错误!,y2=错误!,
从而|PQ|=2错误!=2错误!。
设点A到直线PQ的距离为d,
则点B到直线PQ的距离也为d,
所以2d=错误!。
因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,
所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,
于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|
=|mx1+2y1-mx2-2y2|,
从而2d=错误!。
又因为|y1-y2|=错误!
=错误!,
所以2d=错误!.
故四边形APBQ的面积S=错误!|PQ|·2d
=错误!=2错误!·错误!。
而0<2-m2≤2,故当m=0时,S取得最小值2。
综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2。