2018版高考数学(理)一轮复习文档：第九章解析几何9.9第二课时含解析

第2课时范围、最值问题
题型一范围问题
例1 （2015·天津）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0），离心率为错误!，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝错误!截得的线段的长为c，｜FM|＝错误!。

(1）求直线FM的斜率；
（2）求椭圆的方程；
（3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于错误!,求直线OP（O 为原点）的斜率的取值范围．
解(1）由已知,有错误!＝错误!，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2,b2＝2c2。

设直线FM的斜率为k(k＞0),F（－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x ＋c)．
由已知,有错误!2＋错误!2＝错误!2，
解得k＝错误!。

(2）由(1）得椭圆方程为错误!＋错误!＝1,直线FM的方程为y＝错误!（x ＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－错误!c或x＝c。

因为点M在第一象限，可得M的坐标为错误!。

由｜FM|＝错误!＝错误!。

解得c＝1，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.
（3）设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t，
得t＝错误!，即直线FP的方程为y＝t(x＋1）（x≠－1），与椭圆方程联立，
错误!消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，
又由已知，得t＝错误!＞错误!，
解得－错误!＜x＜－1或－1＜x＜0.
设直线OP的斜率为m，得m＝错误!，即y＝mx（x≠0)，与椭圆方程联立,整理得m2＝错误!－错误!。

①当x∈错误!时，有y＝t(x＋1)＜0，
因此m＞0，于是m＝错误!，得m∈错误!。

②当x∈(－1,0）时,有y＝t（x＋1）＞0.
因此m＜0,于是m＝－错误!，
得m∈错误!.
综上,直线OP的斜率的取值范围是错误!∪错误!。

思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参
数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2016·黄冈模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)与
双曲线x2
3
－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的
右顶点．
（1）求椭圆C的标准方程;
(2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围．
解（1）∵双曲线的离心率为错误!，
∴椭圆的离心率e＝错误!＝错误!。

又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2,0),即a＝2，c＝错误!,b＝1，
∴椭圆方程为错误!＋y2＝1.
（2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0），
M(x1，y1），N(x2，y2）．
联立错误!
消去y，并整理得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4(m2－1）＝0，
则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!,
于是y1y2＝(kx1＋m）（kx2＋m）
＝k2x1x2＋km(x1＋x2）＋m2。

又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
故错误!·错误!＝错误!
＝k2⇒－错误!＋m2＝0.
由m≠0得k2＝错误!，解得k＝±错误!.
又由Δ＝64k2m2－16（1＋4k2)（m2－1）
＝16（4k2－m2＋1）>0，得0〈m2<2，
显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM,ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．
设原点O到直线的距离为d，
则S△OMN＝错误!｜MN|d
＝1
2
·错误!·错误!·|x1－x2｜
＝错误!|m｜错误!
＝错误!.
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1）．
题型二最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 （2016·锦州模拟）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点,则|AF|·|BF|的最小值是( ）A．2 B。

错误!C．4 D．2错误!
答案C
解析设直线AB的倾斜角为θ,可得|AF|＝错误!，｜BF｜＝错误!，则|AF|·|BF｜＝错误!×错误!＝错误!≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为__________________________
______________________________________________．
答案错误!
解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0,直线x－y＋1＝0与渐近
线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝
｜1－0|
12＋－12
＝错误!.由点P
到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤
2
2
,故c的最大值为
错误!。

命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4 （2016·山东）如图，已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2错误!。

(1)求椭圆C的方程；
（2)过动点M（0，m）（m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A,P(P 在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C 于另一点Q,延长QM交C于点B。

①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明错误!为定值;
②求直线AB的斜率的最小值．
(1)解设椭圆的半焦距为c。

由题意知2a＝4,2c＝2 2.
所以a＝2,b＝错误!＝错误!.
所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。

(2)①证明设P(x0，y0）(x0＞0,y0＞0）．
由M(0，m）,可得P（x0,2m），Q（x0，－2m）．所以直线PM的斜率k＝错误!＝错误!。

直线QM的斜率k′＝错误!＝－错误!。

此时错误!＝－3。

所以错误!为定值－3.
②解设A(x1，y1),B（x2，y2)．
直线PA的方程为y＝kx＋m.
直线QB的方程为y＝－3kx＋m.
联立错误!
整理得（2k2＋1）x2＋4mkx＋2m2－4＝0，
由x0x1＝错误!，可得x1＝错误!,
所以y1＝kx1＋m＝错误!＋m.
同理x2＝2m2－2
18k2＋1x0，
y2＝错误!＋m。

所以x2－x1＝错误!－错误!＝错误!,
y2－y1＝错误!＋m－错误!－m ＝错误!，
所以k AB＝y2－y1
x2－x1＝错误!＝错误!错误!，
由m＞0,x0＞0,可知k＞0,
所以6k＋错误!≥2错误!,当且仅当k＝错误!时取“＝”．
因为P(x0，2m）在椭圆错误!＋错误!＝1上,
所以x0＝错误!,故此时错误!＝错误!,
即m＝错误!，符合题意．
所以直线AB的斜率的最小值为错误!.
思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
(2017·开封月考）已知圆（x－a）2＋(y＋1－r)2＝r2（r〉0）过点F（0,1），圆心M的轨迹为C.
（1)求轨迹C的方程；
（2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点,过点P作曲线C的两条切线PA,PB，当点P（x0,y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·｜BF|的最小值．
解(1)依题意，由圆过定点F可知轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝错误!x2，求导得y′＝错误!x。

设A(x1，y1）,B(x2，y2)（其中y1＝错误!，y2＝错误!），
则切线PA，PB的斜率分别为错误!x1，错误!x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝错误!(x－x1)，
即y＝错误!x－错误!＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0。

因为切线PA，PB均过点P(x0,y0），
所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，
所以(x1,y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0。

（3）由抛物线定义可知｜AF｜＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以｜AF|·｜BF|＝（y1＋1)（y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1,
联立方程错误!消去x整理得y2＋（2y0－x错误!）y＋y错误!＝0，
由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x错误!－2y0，y1y2＝y错误!，所以｜AF|·|BF｜＝y1y2＋（y1＋y2)＋1＝y错误!＋x错误!－2y0＋1。

又点P(x0，y0）在直线l上，所以x0＝y0＋2，
所以y错误!＋x错误!－2y0＋1＝2y错误!＋2y0＋5＝2（y0＋错误!）2＋错误!,
所以当y 0＝－12
时，|AF |·｜BF ｜取得最小值，且最小值为错误!.
1．(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥错误!,点A 在x 轴上方，则｜FA ｜的取值范围是（ )
A ．(错误!，1]
B ．(错误!，＋∞）
C ．(错误!，＋∞)
D ．(错误!，1＋错误!] 答案 D
解析 记点A 的横坐标是x 1，则有｜AF |＝x 1＋错误!＝(错误!＋|AF |cos θ）＋错误!＝错误!＋｜AF |cos θ，
｜AF ｜（1－cos θ）＝错误!，｜AF ｜＝错误!。

由π4
≤θ〈π得－1〈cos θ≤错误!,2－错误!≤2(1－cos θ)〈4，错误!〈错误!≤错误!＝1＋错误!，
即｜AF ｜的取值范围是(错误!，1＋错误!]．
2．已知P 为双曲线C ：错误!－错误!＝1上的点，点M 满足|错误!｜＝1，且错误!·错误!＝0，则当｜错误!|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）
A.95
B.错误! C ．4 D ．5 答案 B
解析 由错误!·错误!＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理,求|MP ｜的最小值可以转化为求｜OP ｜的最小值,当|OP ｜取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0），而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝错误!,故选B 。

3．已知F 1，F 2分别是双曲线错误!－错误!＝1（a >0,b 〉0）的左，右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|（a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ )
A ．（1，＋∞)
B ．(2，3］
C ．(1,3］
D ．(1,2]
答案 C
解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，
得|PF 2|＝2a ＋|PF 1｜，所以错误!＝｜PF 1|＋错误!＋4a ＝8a ，
所以|PF 1｜＝2a ，｜PF 2｜＝4a ，
在△PF 1F 2中，｜PF 1|＋｜PF 2|≥｜F 1F 2｜，
即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝错误!≤3.
又e >1，所以1〈e ≤3。

故选C 。

4．（2016·成都质检)若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝1的中点和左焦点,点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最小值为________．
答案6
解析点P为椭圆错误!＋错误!＝1上的任意一点,
设P（x，y）(－3≤x≤3,－2错误!≤y≤2错误!），
依题意得左焦点F(－1，0）,∴错误!＝(x，y），错误!＝(x＋1，y），
∴错误!·错误!＝x(x＋1）＋y2＝x2＋x＋错误!
＝错误!·错误!2＋错误!。

∵－3≤x≤3,∴错误!≤x＋错误!≤错误!，
∴错误!≤错误!2≤错误!,
∴1
4
≤错误!错误!2≤错误!，
∴6≤错误!·错误!2＋错误!≤12,
即6≤错误!·错误!≤12。

故最小值为6。

5．(2017·郑州质检)已知椭圆C1:错误!－错误!＝1与双曲线C2：错误!＋错误!＝1有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．答案（错误!,1）
解析∵椭圆C1：错误!－错误!＝1，
∴a2，1＝m＋2,b错误!＝－n，c错误!＝m＋2＋n，
e错误!＝错误!＝1＋错误!。

∵双曲线C2:错误!＋错误!＝1，
∴a22＝m，b2，2＝－n，c错误!＝m－n，
∴由条件知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1,
∴e错误!＝1－错误!.
由m〉0得m＋2>2，错误!<错误!,－错误!〉－错误!，
∴1－错误!〉错误!，即e错误!>错误!，而0〈e1<1，
∴错误!<e1<1。

6．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2，0），F2(2,0），双曲线C 上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程；
（2)经过点M（2,1）作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M 为AB的中点，求直线l的方程;
（3)已知定点G(1,2），点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|＋｜DG|的最小值．
解(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，
半焦距c＝2，所以其虚半轴长b＝错误!＝错误!。

又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为
x2－错误!＝1.
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1），(x2,y2）,
则错误!
两式相减,得3(x1－x2）(x1＋x2)－(y1－y2)（y1＋y2)＝0.
因为M(2,1）为AB的中点，
所以错误!
所以12(x1－x2）－2（y1－y2）＝0,
即k AB＝错误!＝6，
故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2），
即6x－y－11＝0。

（3)由已知，得|DF1|－|DF2｜＝2，
即|DF1｜＝｜DF2|＋2，
所以｜DF1｜＋|DG｜＝｜DF2｜＋｜DG｜＋2≥|GF2|＋2，
当且仅当G，D,F2三点共线时取等号，
因为|GF2|＝错误!＝错误!，
所以|DF2|＋|DG｜＋2≥|GF2｜＋2＝错误!＋2，
故｜DF1｜＋｜DG|的最小值为错误!＋2。

7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0），右顶点为（错误!,0)．（1)求双曲线C的方程；
(2）若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1），求实数m的取值范围．
解（1)设双曲线C的方程为错误!－错误!＝1（a〉0,b〉0)．
由已知得a＝错误!,c＝2,
又a2＋b2＝c2,得b2＝1，
∴双曲线C的方程为错误!－y2＝1。

(2）联立错误!
整理得（1－3k2）x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
∴｛1－3k2≠0，
Δ＝12m2＋1－3k 2>0，
可得m2〉3k2－1且k2≠错误!,①
设M（x1，y1），N(x2，y2)，MN的中点为B（x0，y0）,
则x1＋x2＝错误!,∴x0＝错误!＝错误!，
∴y0＝kx0＋m＝错误!。

由题意，AB⊥MN，
∴k AB＝错误!＝－错误!(k≠0，m≠0)．
整理得3k2＝4m＋1,②
将②代入①，得m2－4m〉0，∴m<0或m〉4。

又3k2＝4m＋1>0（k≠0），即m>－错误!.
∴m的取值范围是错误!∪(4，＋∞）．
8．已知椭圆C1：y2
a2＋错误!＝1(a〉b>0)的右顶点为A（1，0），过C1
的焦点且垂直长轴的弦长为1。

（1）求椭圆C1的方程；
(2）设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N。

当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
解（1）由题意，得错误!从而错误!
因此，所求的椭圆C1的方程为错误!＋x2＝1.
(2）如图，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（t,t2＋h),
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′错误!。

直线MN的方程为
y＝2tx－t2＋h。

将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2＋（2tx－t2＋h)2－4＝0，
即4（1＋t2)x2－4t(t2－h）x＋（t2－h)2－4＝0.①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以①式中的Δ1＝16［－t4＋2(h＋2）t2－h2＋4］〉0.②
设线段MN的中点的横坐标是x3，
则x3＝错误!＝错误!。

设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝错误!.
由题意，得x3＝x4，
即t2＋（1＋h)t＋1＝0。

③
由③式中的Δ2＝（1＋h)2－4≥0,得h≥1或h≤－3。

当h≤－3时，h＋2〈0，4－h2<0,
则不等式②不成立，所以h≥1。

当h＝1时，代入方程③得t＝－1,
将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．
所以，h的最小值为1.
9．如图，O为坐标原点,椭圆C1：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：错误!－错误!＝1的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝错误!，且｜F2F4｜＝错误!－1。

(1)求C1，C2的方程;
（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
解（1）因为e1e2＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!，即a4－b4＝错误!a4，因此a2＝2b2，从而F2（b,0），F4(错误!b,0),于是错误!b－b＝|F2F4｜＝错误!－1,所以b＝1,a2＝2。

故C1，C2的方程分别为错误!＋y2＝1，错误!－y2＝1.
(2）因为AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0）,
故可设直线AB的方程为x＝my－1。

由错误!得（m2＋2)y2－2my－1＝0。

易知此方程的判别式大于0.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1,y2是上述方程的两个实根，
所以y1＋y2＝错误!，y1y2＝错误!.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝错误!，
于是AB的中点为M(错误!，错误!)，
故直线PQ的斜率为－错误!,PQ的方程为y＝－错误!x，即mx＋2y＝0.
由错误!得（2－m2)x2＝4,
所以2－m2>0,且x2＝错误!，y2＝错误!,
从而｜PQ|＝2错误!＝2错误!。

设点A到直线PQ的距离为d，
则点B到直线PQ的距离也为d,
所以2d＝错误!。

因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧,
所以(mx1＋2y1）(mx2＋2y2)<0,
于是｜mx1＋2y1｜＋|mx2＋2y2|
＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，
从而2d＝错误!。

又因为|y1－y2|＝错误!
＝错误!,
所以2d＝错误!.
故四边形APBQ的面积S＝错误!｜PQ|·2d
＝错误!＝2错误!·错误!。

而0<2－m2≤2，故当m＝0时,S取得最小值2。

综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2。