同济大学数字信号处理课件第七章2

5）确定FIR滤波器的h(n)
h(n) hd (n) w(n)
sin 0.3 n 16 0.54 0.46cos n R ( n ) 33 n 16 16
6）求 H (e j )，验证 若不满足，则改变N 或窗形状重新设计
理想带通的频响： e j H d (e j ) 0 其单位抽样响应：
0 1 2 其它
N 1 2
2 1 1 j ( n ) hd ( n ) e d e j ( n ) d 1 2 2
贝塞尔函数
改变 可同时调整主瓣 宽度和旁瓣幅度
旁瓣幅度
但主瓣宽度
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窗谱性能指标
窗函数
旁瓣峰值 /dB
加窗后滤波器性能指标
主瓣宽度 过渡带宽 阻带最小衰减 / 2 / N / 2 / N /dB
矩形窗 三角形窗 汉宁窗 海明窗 布拉克曼窗 凯泽窗 7.865
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5、线性相位FIR高通滤波器的设计
理想高通的频响：
N 1 e j c j H d (e ) 2 其它 0 其单位抽样响应： 1 c j ( n ) hd ( n ) e d e j ( n ) d c 2
窗谱： W (e j ) W e
幅度函数：
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N sin 2 4 N 1 W ( ) N sin 2 8 主瓣宽度宽： 旁瓣幅度较小 N
2
信号处理
汉宁（Hanning）窗
（升余弦窗）
1 2 n w(n ) 1 cos RN (n ) 2 N 1
以低通滤波器为例讨论：
线性相位理想低通滤波器的频率响应：
e j H d (e j ) 0 c c c , c
其理想单位抽样响应：
1 hd (n) 2
e

c
c
j
e
j n
c sin[c ( n )] d c ( n )
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2、各种窗函数
窗函数的要求：
– 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 – 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 以减小肩峰和波纹
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矩形窗
w(n) RN (n)
窗谱：
WR (e ) w(n )e
j n 0
N 1
j n
WR e
j
3 阻带起始频率为 st 2 3 10 (rad / sec)，
阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示
解：1）求数字频率
p p / f s 2 p / s 0.2
st st / f s 2 st / s 0.4
2 50dB

旁瓣幅度更小
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布莱克曼（Blackman）窗
（二阶升余弦窗）
2 n 4 n w(n ) 0.42 0.5cos 0.08cos RN ( n) N 1 N 1
幅度函数： N 1
2 2 W ( ) 0.42WR ( ) 0.25 WR WR N N 4 4 0.04 WR WR N N
12 主瓣宽度最宽： N
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旁瓣幅度最小
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信号处理
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信号处理
凯泽（Kaiser）窗
2 2n I 0 1 1 N 1 w( n ) I0 ( )
0 n N 1
I 0 () ：第一类变形零阶
N 1 2
幅度函数：
WR ( )
sin
N
2 2
sin
4 主瓣宽度最窄： N
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旁瓣幅度大
三角形（Bartlett）窗
2n N 1 w(n) 2 2n N 1
N 1 0n 2 N 1 n N 1 2
j N 1 2
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H (c ) 0.5H (0)
2 H c 为最大值，正肩峰 N 2 H c 为最小值，负肩峰 N
随 ，H ( )绕零值波动 随 ，H ( )绕H (0)波动
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加窗函数的影响：
不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩
j 2 k M
)
h (n rM )
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4、线性相位FIR低通滤波器的设计
例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，
s 2 1.5 104 (rad / sec)， 给定抽样频率为 p 2 1.5 103 ( rad / sec)， 通带截止频率为
1 sin 2 n sin 1 n n n 1 n 2 1 带通滤波器(1 ,2 )=低通滤波器(2 ) 低通滤波器(1 ) 2013-8-6 信号处理
则FIR滤波器的频率响应：
1 H (e ) 2
j
H
N 1 2

d
( )e

j
N 1 2
WR ( )e
j
N 1 ( ) 2
d
e
j
1 2
H

d
( )WR ( ) d
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1 其幅度函数：H 2
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二、窗函数设计法
1、设计方法
H (e j ) h(n)e jn H d (e j )
n 0 N 1
1 hd ( n ) 2
h(n) w(n)hd (n)



H d e j e j n d
w(n)：窗函数序列
要选择合适的形状和长度
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2 n w(n ) 0.54 0.46cos RN ( n) N 1
6.6 4）确定N 值 海明窗带宽： N st p 2 0.2 s A 6.6 N 33 0.2
N 1 16 2
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j n 0 N 1 j n
e
sin
j
N 1 2
N
2 2
sin
N
2 2
其幅度函数： WR ( )
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sin
理想滤波器的频率响应：
H d (e j ) H d ( )e
j
N 1 2
1 c 其幅度函数：H d ( ) 0 c

e
j
e
j n
1 d 2


c
e j ( n ) d
c
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1 ( n ) sin[c ( n )] n c n 信号处理
N 1 2
3）选择窗函数：由 2 50dB 确定海明窗（-53dB）
H d (e j )
hd (n)
1 公式法： hd ( n ) 2



H d e j e j n d
IFFT法： 对 H d (e j ) M点等间隔抽样：H d ( e 计算其IFFT，得： hM (n)
当M N时, hd (n ) hM (n )
r d
中心点为 α 的偶对称无限长非因果序列
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信号处理
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取矩形窗： w(n) RN (n)
c sin[ c ( n )] hd ( n ) c (n )
则FIR滤波器的单位抽样响应： hd (n) 0 n N 1 h(n) hd (n) w(n) 其它n 0 N 1 按第一类线性相位条件，得 2 N 1 sin c n 2 c 0 n N 1 h n N 1 c n 2 0 其它n
峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。
2 在 c 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 N 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少
改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主
瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状 决定，称为Gibbs效应 N N sin sin 2 N 2 N sin x 幅度函数： R ( ) W x sin N 2 2 2013-8-6
j
及技术指标 2 ,
求出理想的单位抽样响应 hd (n)
根据阻带衰减选择窗函数 w(n)
根据过渡带宽度确定N值 N A /
求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应
h(n) hd (n) w(n)
H (e j ) ，验算指标是否满足要求 计算频率响应
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幅度函数： N 1
2 2 W ( ) 0.5WR ( ) 0.25 WR WR N N 8 主瓣宽度宽： 旁瓣幅度小 N
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海明（Hamming）窗
（改进的升余弦窗）
H


d
( )WR ( )d
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幅度பைடு நூலகம்数：H ( ) 1 2