甘肃省兰州第一中学2020届高三数学上学期期中试题理

甘肃省兰州第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}12A x x =-<，{13}B y Z y =∈-≤<，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,0,1,2-C ．∅D ．{}1,0,1-2．设1i2i 1iz -=++，则 ||z = （ ）A ．2B ．12C D ．13．已知2sin cos αα=，则2cos 2sin 21cos ααα++= ( )A ．32B ．3C ．6D ． 124．下列说法不正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．若命题：:p “0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则:p ⌝“x R ∀∈，均有210x x ++≥”5．已知平面向量,a b 满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π6．设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则19a b+的最小值为（ ） A ．16B ．8C ．4D ．27．若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ．2B ．12C．8．某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ） A ．43 B ．28 C ．16 D ．7 9．函数e4xy x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为( ) A ．1603 B ．160 C ．2563D ．64 11．若函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12．已知函数221,2()1(2),23x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x af x x =-有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．92722a << B ．918922a << C ．922a -<<D ．4518922a <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．甲、乙两校各有3名教师报名支教．若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为____ ___.14．直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，已知(8,8)A ，则线段AB 的中点到准线的距离为__________．15．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (26)f x x =+，则(2020)f =___ ____.16．已知向量,,a b c 满足4,22,,,4a b a b π==〈〉=()()·1c a c b --=-，则c a -的最大值为___ __.三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．17．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，当6x π=时()f x 取得最大值2． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数6()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n a n b n =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，,3B BC π==D 在边AB 上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足.（1）若BCD ∆CD 的长；（2）若DE =A 的大小. 20．（本题满分12分）设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x = 是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.21．（本题满分12分）已知函数()()ln 1f x ax x a =+-（a 为实数常数） （1）当0a <时，求函数()f x 在()1,+∞上的单调区间； （2）当1x >时，()()2f x ax <成立，求证：21a e >．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．23．（本题满分10分）（选修4-5：不等式选讲） 已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M ．（1）求M ；（2）已知实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值．兰州一中2019-2020-1学期高三年级期中考试试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.25 14. 25415. 2-1 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17．（本题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||2A πωϕ>><）的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，当6x π=时取得最大值2．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数6()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）由题意知，振幅A =2，周期T=222ππω=⨯，∴2ω=，∴()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：2sin 2sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2πϕ<，故6πϕ=．∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ……………………6分（2）由函数6()()5g x f x =-的零点为x 0知：x 0是方程6()5f x =的根，故06()5f x =， 得sin （2x 0+6π）=35,又（2x 0+6π）+（3π-2x 0）=2π， ∴0003cos 2cos 2sin 232665x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ……………………12分18．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n a n b n =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由23424,,S S S -成等差数列知，324224S S S =-+，所以432a a =-，即12q =-.又2341216a a a ++=，所以231111216a q a q a q ++=，所以112a =-，所以等比数列{}n a 的通项公式*1,2nn a n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. ……………………6分（2）由（1）知1()22(2)log (2)nn b n n n =-+=+ ，所以11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭32342(1)(2)n n n +=-++ . (12)分 19．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，,3B BC π==点D 在边AB上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足.（1）若BCD ∆CD 的长； （2）若DE =A 的大小. 【解析】（1）由已知得1sin 2BCD S BC BD B ∆=⋅⋅=又BC B ==解得 BD = 在BCD ∆中，由余弦定理得 2CD = 222cos BC BD BC BD B +-⋅⋅(221292=+-⋅= ∴3CD = 即CD 的长为3. ……………………6分 （2）由已知得，E 为AC 中点，∴2AC AE =，在ABC ∆=，所以3sin 2AE A ⋅=， 又sin tan cos DE A A AE A ==，所以sin cos AE A DE A A ⋅=⋅=， 32A =，∴cos A =，又0A π<<，∴4A π= . ………………12分20．（本题满分12分）设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.【解析】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>，所求切线的斜率(1)0f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e =-. ……………………5分（2）()()()()221111xx x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭. 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x--'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点.设函数()(),0,1x e g x x x=∈，则()()210x x e g x x -'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，设为0x .当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0xe ax ->，则()()()210x x e ax f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xe ax -<，则()()()210x x e ax f x x--'=>，()f x 在()0,1x 为增函数.即0x x =为函数()f x 的极小值点.综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. ……………………12分 21．（本题满分12分）已知函数()()ln 1f x ax x a =+-（a 为常数） （1）当0a <时，求函数()f x 在()1,+∞上的单调区间； （2）当1x >时，()()2f x ax <成立，求证：21a e >． 【解析】（1）()()1ln 1ln f x a x a x a x a x ⎛⎫'=+-+⋅=+ ⎪⎝⎭，当0a <时，由()0f x '>得ln 0x a +<，解得1a x e -<<， 由()0f x '<得ln 0x a +>，解得a x e ->，所以函数()f x 在()1,+∞的单调递增区间是()1,a e -，单调递减区间是(),ae -+∞．……5分（2）当1x >时，由()()2f x ax <得()ln 10ax x ax a -+-<即()ln 10a x ax a -+-<恒成立（*），设()()ln 11g x x ax a x =-+->，则()()11g x a x x'=->，由题可知0a ≠ ①当0a <时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增， ()()11g x g >=-，可知01x ∃>且01x →时，()00g x <，使得()000ax g x ⋅>，可知（*）式不成立，则0a <不符合条件；②当1a ≥时，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减， ()()110g x g <=-<，可知（*）式成立，则1a ≥符合条件，所以21a e >成立； ③当01a <<时，由()0g x '>得11x a<<，由()0g x '<得1x a >，所以()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，可知()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 1ln 2g x g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，由（*）式得ln 20a a --<， 设()ln 2h a a a =--，则()110h a a'=-<，所以()h a 在()0,1上单调递减， 而2211220h e e⎛⎫=+->⎪⎝⎭，()0h a <，可知21a e >． 综上所述，21a e >． ……………………12分 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【解析】（1）设点P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞），由题设知OP =ρ，OM =14cos θρ=.由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. …………………5分 （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.则4cos αB ρ=，于是ABO ∆面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时，ABO ∆的面积取得最大值2.所以ABO ∆面积的最大值为2+. ……………………10分 23．（本题满分10分）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值.【解析】（1）164,215()26,24564,4x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-≤⎨⎪⎪-⎪⎩＜＞，如图所示：∴max 57()()42f x f ==， ∴72M = . ……………………5分(2) 由（1）知7a b c ++= ∴[]2(1)(2)(3)a b c ++-+-222(1)(2)(3)2(1)(2)2(1)(3)2(2)(3)a b c a b a c b c =++-+-++-++-+--∴[]2222()43(1)(2)(3)a b c a b c ⎡⎤++-≤++-+-⎣⎦ ∴[]2222743(1)(2)(3)a b c ⎡⎤-≤++-+-⎣⎦∴222(1)(2)(3)3a b c ++-+-≥，当且仅当0a =，3b =，4c =时值最小.∴222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值为3. ……………10分（注：柯西不等式也可）。