小学奥数教程之-三角形等高模型与鸟头模型 (47) (含答案)

板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高2÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1
3
，则三角形面积与原来的一
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
s 2s 1b
D
C B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =
××△△ E
D
C
B
A
D
E C
B
A
图⑴ 图⑵
【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平
例题精讲
4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型
方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C B
A
E
D
C
B A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB =
==××△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===××△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =××△△，设8ADE S =△份，
则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的
面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【答案】70
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那
么三角形ABC 的面积是多少？
E D
C B A A
B C D
E
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．
∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷ ，∴
1515ABC ADE S S == ． 【答案】15
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
乙
甲
E D C
B
A
A B C
D
E 甲
乙
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．
∵3BE =，6AE =
∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，
∴2ABC ABD S S = ，∴6ABC BDE S S = ，5S S =乙甲．
【答案】5
【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D C
B
A E
D
C
B
A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB =
==××△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=×+×△△，
所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =××+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘
米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到
一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【答案】50
【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2
AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的
面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2
倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326×=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648×=(平方厘米)．
【答案】48
【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
F
E
D C
B
A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =××=××=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =××=××=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =××=××=△△
设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S −−−△份，恰好是7
平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米
【答案】24
【例 5】 如图16-4，已知．AE=
15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC
三角形的面积
三角形的面积等于多少?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9
题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.
有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABC S S =AE AC
，所以ABE S =AE AC ×ABC S =1
5ABC S
同理有AEF S =
AF AB ABE S ,即=AEF S =15×56ABC S =1
6
ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =1
8
ABC S ．
所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61
120
ABC S ．
即
DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120
． 【答案】
61120
【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =
，三角形BDE 的面
积是多少？
D
C
E
B A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE °∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，
325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =××=××=△△，设
6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5×=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米
【答案】12.5
【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =
，1
3
CF BC =．三角形DEF 的面积为_______
平方厘米．
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯，五年级，初赛
【解析】 由题意知13AE AC =、1
3
CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，
():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =××=××=△△；而66218ABC S =×÷=△；所以4CEF S =△；
同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S ÷×△，6CDF S =△
故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+−=+−=△△△△(平方厘米)．
【答案】10
【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延
长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．
F
E
D
C
B A
A
B C
D
E
F
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．
连接AE 、CD ． ∵1
1
ABC DBC S S = ，1ABC S = ， ∴S 1DBC = ．
同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．
(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅× ． 又1ABC S = ，所以8FCE S = ． 同理可得6ADF S = ，3BDE S = ．
所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++= ．
【答案】18
【例 9】 如图，把四边形ABCD 的各边都延长2
倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方
厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星
【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，
有 EAD 、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EAD
ABD ABD EA
S S S AB
== ． 同理36EAH
EAD EAD ABD AH
S S S S AD
=== ．
类似的，还可得 6FCG BCD S S = ，有()66EAH FCG ABD BCD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米． 连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFB ABC S S = ，6DHG ACD S S = ， 有()66EFB DHG ABC ACD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米.
有四边形EFGH 的面积为 EAH, FCG , EFB, DHG ,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD ，有 EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，
EA AH
AB AD
××=2×3=6，所以EAH S =6ABD S ．
类似的，还可得FCG S =6BCD S ，有EAH S +FCG S =6（ABD S +BCD S )=6ABCD S =30平方厘米． 连接AC ，还可得EFB S =6ABC S ，DHG S =6ACD S ，
有EFB S +DHG S =6（ABC
S +ACD S ）=6ABCD S =30平方厘米．
有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65
【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的
面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A B C
D E
F
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，
∴111
133
ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅×===⋅×△△．
又1ABC S =△，所以3FBE S =△．
同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．
所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．
所以21
3618
ABCD EFGH S S ==．
【答案】
118
【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形
ABCD 的面积．
H G
F
E
D C
B A A B C
D
E
G
H
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =××=△△，即2CGF CDB S S =△△
同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形
5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形
所以66513.2ABCD S ÷四边形平方米
【答案】13.2
【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四
边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．
A B C
D E F G
H
A B C
D
E
F G
H
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．
由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．
于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．
再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．
那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++−=+−==．
【答案】60
【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使1
2
CE BC =，F 是AC 的中点，
若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？
A B
C
D
E
F
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，
∴224111
ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅×△△． 又2ABC S = ，所以0.5FCE S = ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．
所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++−=++−=△△△△△
【答案】3.5
【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．
S
G
F E D
C
B
A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一
个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．
最后求得FGS S △的面积为432111
5432210
FGS S =××××=△．
【答案】1
10
【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三
角形ABG 的面积是多少平方厘米？
A
B
C
D
E
F G
A
B
C D
E
F G
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．
因为21
8164
BCF CDE S S ==×=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积
比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S = ，8EFG S = ，再根据”当两个三角形有一个角相等或
互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S = ，32ABFE S =，
24ABF S = ，所以12ABG S = 平方厘米．
【答案】12
【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答
【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF
∆与CEH
∆都是正三角形．
假设正六边形的边长为为a，则AGF
∆与CEH
∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217
×−=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为
1
6
，三角形DEF的面积为
49
6
．
由于4
FA a
=，3
FB a
=，所以AFB
∆与三角形DEF的面积之比为
4312
7749
×=．
同理可知BDC
∆、AEC
∆与三角形DEF的面积之比都为
12
49
，所以ABC
∆的面积占三角形DEF面积的
1213
13
4949
−×=，所以ABC
∆的面积的面积为
491313
6496
×=．
【答案】
13
6
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．B
D
C
E
A
【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答
【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的
1
6
，所以虚线外图形的面积等于
11
1323
63
×+×=，所以五边形的面积是
12
1036
33
−=．【答案】
2
6
3
【例
17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。

【考点】三角形的鸟头模型【难度】5星【题型】解答
【关键词】学而思杯，6年级，第10题
【解析】连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与ED在一条直线上，所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知，三角形ABC与三角形BCD的面积比就等于EA比ED，故最少测量1次就可解决问题。

【答案】1次。