高中数学第八章立体几何初步之立体图形的直观图(精练)(必修第二册)(教师版含解析)

8.2 立体图形的直观图(精练)
【题组一平面图形的直观图】
1．(2020·全国高一课时练习)用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；(1)直角边横向；(2)斜边横向.
【答案】见解析.
【解析】(1)直角边横向如图①②.
(2)斜边横向如图③
2．(2020·全国高一课时练习)用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定).
(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形
【答案】见解析
【解析】(1)根据斜二测画法的规则，可得：
(2)根据斜二测画法的规则，可得：
(3)根据斜二测画法的规则，可得：
(4)根据斜二测画法的规则，可得：
3．(2020·全国高一课时练习)用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
【答案】见解析
【解析】画法：(1)如图(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O.在图(2)中，画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点'O，使'45
x O y
''︒
∠=.
(2)在图(2)中，以O'为中点，在x轴上取A D AD
''=，在'y轴上取
1
2
M N MN
''=以点'N为中点，画B C''平行于x'轴，并且等于BC；再以'
M为中点，画F E''平行于x'轴，并且等于FE.
(3)连接'
,,,
A B C D D E F A
'''''''，并擦去辅助线'x轴和'y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图'
A B C D E F
'''''图(3).
4．(2020·全国高一课时练习)如图所示是由正方形ABCD和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图.
【答案】作图见解析
【解析】(1)以AB所在直线为轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图①所示)，再建立坐标系x O y
'''，使两坐标轴的夹角为45︒(如图②所示).
(2)以O'为中点，在x'轴上截取A B AB
''=；分别过A'，B'作y'轴的平行线，截取
1
2
A E AE
=
''，
1
2
B C BC
=
''.在y'轴上截取1
2
O D OD
=
''.
(3)连接E D''，E C''，C D''，得到平面图形A B C D E
'''''.
(4)去掉辅助线，就得到所求的直观图(如图③所示)
5．(2020·全国高三专题练习(文))用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．
【答案】见解析
【解析】画法：(1)画x'轴，y'轴，使45
x o y
'''
∠=︒；
(2)在o x''轴上取D B
''
、,使3,
O D O B OB
''''
==，在o y''轴上取C'，使
1
2
O C OC
''=；
在o x''轴下方过D作D A''平行于o y''，使1
D A''=；
(3) 连线，连接O A A B B C
''''''
、、，所得四边形即为水平放置的四边形OABC的直观图．如图
【题组二空间几何体的直观图】
1．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.
【答案】答案见解析.
【解析】
(1)画轴：画Ox轴、Oy轴、Oz轴，45
xOy
∠=(或135)，90
xOz
∠=，如左图；
(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD；
(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高；
(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，
并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.
2．若给定长,宽,高分别为4cm,3cm,2cm的长方体ABCD A B C D
''''
-,如何用斜二测画法画出该长方体的直观图?
【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图(1),画x轴､y轴､z轴,三轴相交于点O,使45
xOy
∠=︒,90
xOz
∠=︒.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使4cm
MN=;以点O为中点,在y轴上取线段
PQ,使 1.5cm
PQ=.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为
A,B,C,D,则平面ABCD就是长方体的底面,如图(1).
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB',CC', DD',如图(1).
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了长方体
的直观图,如图(2).
3．(2020·全国高一课时练习)已知一棱柱的底面是边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)画轴.画出x轴、y轴z轴，三轴相交于点O，使45
xOy
∠=︒，90
xOz
∠=︒.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上画3
MN cm
=，在y轴上画
3
2
PQ cm
=，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.
(3)画侧棱.过点A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'，如图①所示.
(4)成图.连接A B''，B C''，C D''，D A''，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该棱柱的直观图，如图②所示.
4
．
(2020·全国高一课时练习)画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.
【答案】见解析
【解析】①建立空间直角坐标系,画x轴､y轴､z轴相交于点O.使x轴与y轴的夹角为45°，y轴与z轴的夹角为90°，
②底面在y轴上取线段OD取
3
6
OD=，且以D为中点，作平行于x轴的线段AB,使2
AB=,在y轴上取线段OC,使
3
3
OC=.连接,
BC CA,则ABC为正三棱台的下底面的直观图.
③画上底面在z轴上取OO',使2
OO'=,过点O'作//
O x Ox
'',//
O y Oy
'',建立坐标系x O y
'''.在x O y
'''中,类似步骤②的画法得上底面的直观图A B C
'''.
④连线成图连接AA',BB',CC',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC A B C
'''
-即为要求画的正三棱台的直观图.
5．(2020·全国高一课时练习)画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)建系:先画x 轴､y 轴､z 轴,其交点为O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒. (2)画底面.以O 为中心,在xOy 平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD ,如图.
(3)画顶点
.在Oz 上截取OP ,使OP AB =.
(4)成图.连接PA ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.
6．(2020·全国高一课时练习)已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.
【答案】见解析.
【解析】圆锥直观图如下：
⇒
7．(2020·全国高一课时练习)一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图. 【答案】见解析
【解析】如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.
8．(2020·全国高三专题练习)如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
【答案】见解析
【解析】
由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，
其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.
【题组三直观图的面积周长】
1．如图,ABC的斜二测直观图为等腰'''
Rt A B C,其中''2
A B=,则ABC
∆的面积为( )
A．2 B．4 C．22D．42
【答案】D
【解析】由题意，ABC的斜二测直观图为等腰Rt A B C
'''，45
C A B︒
'''
∠=
//
C O y
A''
''
∴，
2
A B''=
222
A C A
B
C B
''''''
∴=+
22
A C''
∴=
由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，
则2
AB=，42
AC=，且AC AB
⊥
11
24242
22
ABC
S AB AC
∆
∴=⋅⋅=⨯⨯=
∴原平面图形的面积是42
故选：D．
2．用斜二测画法画水平放置的ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C
'''.已知点O'是斜边B C''的中点，且1
A O，则ABC的边BC边上的高为( )
A．1 B．2 C．2D．22
【答案】D
【解析】∵直观图是等腰直角三角形
A B C '''，90,1B A C A O
，∴2A C
，根据直观图中
平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222AC
A C .故选D.
3．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是( )
A ．16cm
B ．12cm
C ．10cm
D ．18cm
【答案】A
【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示.
2OB O B ''=＝42，2OA O A ''==，所以222(42)6AB =+=，
所以原图形的周长为16cm ， 故选：A.
4．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为( )
A ．2
B ．22
C ．3
D ．23
【答案】D
【解析】
由斜坐标系中作A C B C
''''
⊥交x'轴于A'点，由1
O B''=，O B C
'''等腰直角三角形，2
A C
由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：
∴222
AC A C，1
OA=，
∴最长边2223
BC AC AB
=+=，
故选：D
5．如图，平行四边形O A B C
''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4
O A''=，2
O C''=，30
A O C
'''
∠=︒，则下列叙述正确的是( )
A．原图形是正方形B．原图形是非正方形的菱形
C．原图形的面积是82D．原图形的面积是83
【答案】C
【解析】过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D,将DC'绕D逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C,将C沿O'A'方向和长度平移得到B,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示:
30
A O C
''
∠=︒,
∴90,4
AOC OC
∠≠≠,
故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B均错误,
又直观图的面积
1
1
242sin304
2
S=⋅⋅⋅⋅=,
所以原图的面积
1
2282
S S
==,
故选:C.
6
．把四边形ABCD 按斜二测画法得到平行四边形''''A B C D (如图所示)，其中''''2B O O C ==，
''3O D =，则四边形ABCD 一定是一个( )
A ．菱形
B ．矩形
C ．正方形
D ．梯形
【答案】A
【解析】把平行四边形''''A B C D 还原回原图形，过程如下： 在平面直角坐标系中，在x 轴上截取4BC =，且使O 为BC 的中点， 在y 轴上截取23OD =，过D 向左左x 轴的平行线段DA ，使4DA =， 连接AB ，CD ，可得平行四边形ABCD . ∵2OC =，23OD =，∴()
2
2
223
4CD =+=.
∴平行四边形ABCD 为菱形. 故选：A .
7．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为( )
A ．2
B ．42
C ．82
D ．22
【答案】C
【解析】已知直观图OA B C
'''的面积为4,
所以原图的面积为22482
⨯=，
故选：C
8．如图所示，正方形''''
O A B C的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6cm B．8cm C．232cm
+D．223cm
+
【答案】B
【解析】先把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，如图：
由斜二测画法得：'=1
OA OA
=，''
=2=22
OB O B，''=1
BC BC
=，2
=1(22)3
AB OC=+=，
所以原图形周长为8.
故选：B.
9．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O A B C
''''，则原平面图形的周长和面积分别为( )
A．2a，2
2
4
a B．8a，2
22a
C．a，2a D．2a，2
2a
【答案】B
【解析】由直观图可得原图形，
∴OA BC a
==，22
OB a
=，90
BOA
∠=，
∴3
AB OC a
==，原图形的周长为8a，
∴2
2222
S a a a
=⋅=，
故选：B
9．如图所示，正方形O A B C
''''的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是( )
A．2
1 cm B．2
2 2 cm
C ．23 2 cm
D ．
22
cm 4
【答案】B
【解析】如图所示，
由斜二测画法的规则知与x '轴平行的线段其长度不变， 正方形的对角线在y '轴上，
可求得其长度为2，故在原平面图中其在y 轴上， 且其长度变为原来的2倍，长度为22， 所以原来的图形是平行四边形， 其在横轴上的边长为1，高为22， 所以它的面积是21222 2 (cm )⨯=． 故选：B ．
10．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )． A ．12+ B ．22+
C ．
12
22
+
D ．212
+
【答案】B
【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，
所以
1
(121)222
2
S=++⨯=+.
故选：B.
11．如图，边长为1的正方形''''
O A B C是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则图形OABC的面积是( )
A．
2
4
B．
2
2
C．2D．22
【答案】D
【解析】由直观图''''
O A B C画出原图OABC，如图，因为''2
O B=，所以22
OB=，1
OA=，则图形OABC的面积是22.
故选：D
12．已知边长为1的菱形ABCD中，
3
A
π
∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为( ) A．
3
2
B．
3
4
C．
6
6
D．
6
8
【答案】D
【解析】菱形ABCD中，1
AB=，
3
A
π
∠=，
则菱形的面积为
13
2211sin
232
ABD
ABCD
S S
π
∆
==⨯⨯⨯⨯=
菱形
；
所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为
3
6
2
8
2222
ABCD
S
S===
菱形
.
故选D．
13．已知正三角形ABC的边长为2，那么ΔABC的直观图△A1B1C1的面积为( )
A．
3
2
B．
1
2
C．
6
4
D．
3
4
【答案】C
【解析】如图所示，
直观图△A1B1C1的高为
11
116
sin45sin452sin60sin45
224
h C D CD
===⨯⨯=，
底边长为112
A B AB
==；
所以△A1B1C1的面积为：
1
1166
2
2244
S A B h
=⋅=⨯⨯=．
故选：C．
14．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为__________.
【答案】4
【解析】由斜二测画法可知原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形.
故面积为
1
244
2
⨯⨯=.
故答案为：4
【题组四斜二测画法】
1．(2020·全国高一单元测试)下列命题中正确的是( )
A．正方形的直观图是正方形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】B
【解析】选项A，正方形的直观图是平行四边形，故A错误；
选项B，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；
选项C，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；
选项D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．故选：B．
2．(2020·全国高三专题练习)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是( )
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
【答案】B
【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；
故选：B．
3．(2020·包头市第九中学高一期末)用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是( )
①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；
③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；
对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为
原来的1
2
，所以②错误；
对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，
所以③错误；
对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；
综上，正确的命题序号是①，共1个．
故选：A ．
4．(2019·安徽合肥市·合肥一中高二月考(理))下列说法正确的是( )
A ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台
B ．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等
C ．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线
D ．相等的角在直观图中对应的角仍相等
【答案】C
【解析】对A ， 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，所以A 错误； 对B ， 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以B 错误；
对C ，根据母线的定义可知，正确；
对D ，如等腰直角三角形，画出直观图后，不是等腰三角形，所以D 错误．
故选：C ． 5．(2020·全国高一课时练习)在用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图时，若在直角坐标系中A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中A '∠等于( )
A ．45︒
B ．135︒
C ．90︒
D ．45︒或135︒
【答案】D
【解析】因为A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，所以90A ︒∠=在直观图中，由斜二测画法知45x O y '''︒∠=或135x O y ︒''∠='，即45A ︒'∠=或135A ︒'∠=.
故选:D
6．(2020·全国高一课时练习)利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是( )
①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②③ 【答案】B
【解析】两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故①错；两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，故②错；③④正确.
故选：B。