第17章 动量定理和动量矩定理总结

第17章 动量定理和 动量矩定理
工程力学学习指导
第17章 动量定理和动量矩定理
17.1 教学要求与学习目标
1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。

2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。

3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。

4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。

而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。

两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。

5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。

6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。

7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。

17.2 理 论 要 点
17.2.1 质点系的动量
质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。

即
i i
i m v p ∑=
质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。

具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即
⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎬⎫
===∑∑∑i iz i z i iy i y i
ix i x v m p v m p v m p
质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即
C m v p =
这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。

上述动量表达式对于刚体系也是正确的。

17.2.2 质点系动量定理
质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。

其微分形式为
(e)(e)R d d i i
t ==∑p
F F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。

式中(e)i i
∑F 或
(e)R F 为作用在质点系上的外力系主矢。

质点系动量定理的积分形式，也称为质点系的冲量定理，即 2
1
(e)(e)21d t i i t i
i
t −==∑∑∫p p F I
质点系动量在某时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。

此式将广
泛应用于求解碰撞问题。

17.2.2 动量守恒定理
1. 质点系动量守恒定理
当外力主矢恒等于零，即(e)R 0=F 时，质点系的动量为一常矢量。

即 112C p p ==
式中1C 是常矢量，由运动的初始条件决定。

2. 质点系动量在某轴上的投影守恒
质点系的动量定理实际应用时常采用投影式，即
(e)(e)R (e)(e)R (e)(e)R d d d d d d x ix x i
y iy y i z
iz z i p F F t p F F t p F F t ⎫
==⎪⎪
⎪
==⎬⎪
⎪==⎪⎭
∑∑∑
若外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。

即若(e)R 0x F =，于是有
2C p x = 式中2C 为常量，由运动初始条件决定。

17.2.4 质心运动定理
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式：质点系的总质量与质心加
速度的乘积等于作用在质点系上外力的矢量和，即 (e)C i i
m =∑a F
直角坐标系中质心运动定理的投影式为
(e)(e)(e)C ix i
C iy i C iz i mx
F my
F mz
F ⎫
=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭
∑∑∑ 式中C C C z y x
,, 为质心加速度在直角坐标轴上的投影。

17.2.5 质心运动定理的守恒形式
如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，即
(e)(e)R 0i i
==∑F F ，
这时质心加速度为
0=C a
质心的速度为
C v =C
质心速度为常矢量，即系统的质心作惯性运动。

若系统初始为静止状态，则
0=C v ，质心的位矢1C r =C 为常矢量 ，质心保持静止，即质心守恒。

如果外力主矢在某一坐标轴（例如x 轴）上的投影为零，即
(e)(e)
R 0x ix i
F F ==∑
则有
0=Cx a 2C v Cx =
质心速度在某一坐标轴（例如x 轴）上的投影为常量，这表明：质心速度在这
一坐标轴（例如x 轴）方向上守恒。

这时，如果系统初始为静止状态，则v Cx = 0,这表明质心在x 轴方向上守恒。

17.2.6 动量定理的应用
动量定理应用的要点是：
1) 内力不能改变质点系的动量和质心的运动，因此当质点系内力情况比较复杂而所要求解的问题是质点系整体的运动时，多用动量定理求解。

但内力能改变质点系内各质点的动量，当所要求解的问题是内力时，可将质点系拆开，选择式中的某部分作为研究对象，使内力转化为外力。

2) 质心运动定理是质点系动量定理的另一种表达形式，是在动量定理中最常用的。

当刚体作平移时，质心的运动可以代替整个刚体的运动，若将质心看成是集中了质点系全部质量和所有外力的质点，则应用质心运动定理解题时，实际与应用牛顿第二定律求解质点动力学问题相类似；当刚体作复杂运动时，可以将它的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动，其平移部分可以用质心的运动来描述；其绕质心的相对转动部分可用其他定理来描述。

3) 外力系简化结果中的主矢量将会改变质点系的动量或质心的运动。

若当外力主矢等于零时，则质点系动量守恒或质心作惯性运动。

由于动量定理是一矢量表达式，在应用时采用投影式，故在进行受力分析时，特别要注意外力主矢在某一方向的投影是否等于零，以便决定是否可应用动量或质心守恒定律。

17.2.7 质点系动量矩的概念与计算
质点系的动量矩是质点系中各质点的动量对点O 之矩的矢量和，即
i i i i
O m v r L ×=∑
质点系的动量矩即是动量系的主矩，动量矩是定位矢，其作用点在所选矩心O 上。

动量矩是度量质点系整体运动的又一基本特征量。

17.2.8 质点系动量矩定理
质点系相对定点的动量矩定理：质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩，即
(e)
d d O O
t
=L M 如果不作特殊说明，则所提到的动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。

17.2.9 动量矩定理的其他形式
上式称为动量矩定理的微分形式。

除此而外，动量矩定理还有其他几种常用形式：
1. 动量矩定理的积分形式
(e)0
d n
n
i i i
i i i i i i
i
m m t τ
×−×=×∑∑∫'r v r v r F
或
(e)210
d O O i i t τ
−=×∫L L r F
2. 动量矩定理的投影形式
比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。

因此将动量矩定理微分形式表达式中的各项，投影到过固定点O 的直角坐标系Oxyz 上，得到
(e)(e)(e)d d d d d d x x
y
y z z L M t
L M t L M t ⎫=⎪⎪
⎪=⎬⎪⎪
=⎪⎭
这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴的动量矩定理。

17.2.10 质点系动量矩守恒定理
在动量矩定理微分形式表达式中，若外力矩
(e)0O =M ，
则质点系对该点的动量矩守恒，即 C L =O
式中，C 为常矢量。

在动量矩定理的投影形式的表达式中，当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。

例如
(e)0x M =，
则有
1C L x = 式中,1C 为常数。

17.2.11 质点系相对质心的动量矩
根据动量矩定义，质点系相对质心的动量矩 i i i C m v r L ×′=∑ =r i i i m v r ×′∑
计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对速度结果都是一样的。

对
于一般运动的质点系，通常可分解为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用第二个等号后的表达式计算质点系相对质心的动量矩更方便些。

质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间存在确定的关系，即
L r v L O C C C m =×+
17.2.12 质点系相对质心的动量矩定理
质点系相对固定点的动量矩定理: 质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩
(e)d d n
C
i i i
t ′=×∑L r F
或
(e)d ()d n C
C i i
t =∑L M F 质点系相对质心的动量矩定理在形式上与质点系相对固定点的动量矩定理完全
相同。

需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定是平移坐标系。

定理只适用于质心这个特殊的动点，对其他动点，定理将出现附加项。

对刚体而言，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内绕质心转动的关系；二者完全确定了刚体一般运动的动力学方程，这是研究刚体运动的基础。

17.2.13 刚体定轴转动微分方程
刚体定轴转动微分方程
z z M J =α
或
z z J M ϕ
=
式中，ϕ为刚体绕轴转动的转角；z J 为刚体对轴z 的转动惯量。

17.2.14 刚体平面运动微分方程
将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。

当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为 ωC C J L =
式中，C J 为刚体对通过质心C 且与运动平面垂直的轴的转动惯量，ω为角速度。

当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心动量矩定理 ，得到刚体平面运动的微分方程：
(e)
(e)d(()d n
C i i
n
C C C i i m J J M t ωα⎫=⎪⎪⎬⎪
==⎪⎭
∑∑a F )
F 或直接写成投影式
()
(e)(e)(e)C x C y C C i mx
F my
F J M ϕ
⎫
=⎪⎪
=⎬⎪=⎪⎭
∑∑∑F 需要指出的是，如果上述方程中各式等号的左侧各项均恒等于零，则得到
静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。

因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成了对刚体平面运动的特例——平衡情形的静力学描述。

17.2.15 动量矩定理的应用
动量矩定理应用的要点是：
1) 与动量定理相同的是内力也不能改变质点系的动量矩，因此对于内力情况比较复杂而又包含转动的质点系动力学问题，可以考虑用动量矩定理（或由它导出的刚体定轴转动微分方程，刚体平面运动微分方程）求解，而无需考虑内力。

2) 质点系的动量定理描述了质点系总体运动的一个侧面，即随质心的运动，对于刚体则描述了在外力主矢的作用下其随质心平移的运动规律。

而质点系的动量矩定理则描述了质点系总体运动的另一个侧面，即相对质
心的运动，对于刚体则描述了在外力主矩的作用下其相对质心转动的规律。

两个定理相结合，共同描述了质点系总体运动的规律。

一般来说，这两个定理在描述质点系运动时，并不能完全确定质点系中每个质点的运动，但对于刚体用这两个定理便能够完整地描述其运动。

3)外力系简化结果中的主矩将会改变质点系对某点（或轴）的动量矩。

若当外力对某点（或轴）的外力主矩等于零时，则质点系对该点（或轴）的动量矩守恒。

4) 在应用动量矩定理时，要注意矩心（或矩轴）的选择。

一般只选择固定点或质心及过这两点的矩轴。

17.3 学 习 建 议
1. 质点系动量定理可解决质点系动力学两类基本问题:
一类是已知质点系的运动（用动量及其对于时间的变化率或质心加速度所表示），求作用在质点系上外力系中的未知约束力；
另一类是已知作用在质点系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质点系的动量变化率或质心的加速度。

2. 应用质点系动量定理的解题步骤
1) 选择研究对象。

首先要分析已知条件及所需求的未知量，选择合适
的研究对象，研究对象可以是刚体，也可以是由几个刚体组成的刚体系统。

2) 受力分析。

分析作用在研究对象上的外力，不考虑式中的内力。

外力
中包括已知主动力及未知约束力。

画出受力图。

特别应注意外力系的特点，例如对某一轴的投影之和为零。

根据受力特点选择合适的坐标轴系。

3) 运动分析。

根据所受约束条件分析研究对象的速度及加速度，计算其
动量及其变化率，或者求出在任一瞬时质心的坐标公式（表示为时间的函数）。

当研究对象为刚体系统时，应注意分析刚体之间v和ω、a和α间的关系。

4) 建立动力学方程。

即建立动量定理或质心运动定理的投影方程。

若
独立的动力学方程数目少于所求的未知量数目时，需建立补充方程，一般是根据约束条件建立运动学关系。

5) 解方程，求出未知量。

注意所求得结果的物理意义，特别是约束力中的静力分量和动力分量。

注意对结果作量纲分析、检查其合理性。

3. 质点系动量矩定理建立了质点系对于某一固定点或固定轴的动量矩的变化率与外力系对同一点或同一轴的主矩之间的关系。

与质点系动量定理相比较，它同样可应用于求解质点系动力学两类基本问题。

所不同的是，当质点、刚体或质点系围绕某一固定点或固定轴转动时，应用质点系动量矩定理可直接建立主动力与运动之间的关系。

4. 相对质心的动量矩定理建立了质点系对于质心的动量矩的变化率与外力系对质心的主矩之间的关系。

从形式上看，所得到的关系式与质点系对固定点的动量矩定理完全相同。

这就说明了质心这一特殊点的特殊力学性质。

联合应用动量矩定理与质心运动定理可建立刚体平面运动的运动微分方程。

用于解决刚体平面运动动力学问题。

5. 应用动量矩定理解题过程中几个需要注意的问题:
1) 质点系动量矩定理主要应用于求解刚体统固定轴或固定点的转动问题。

此时外力系中的未知约束力通过固定点或固定轴，对此点或此轴取矩，未知约束力均不出现，动力学方程直接建立了主动力系与刚体运动之间的关系，便于求解。

2) 假如刚体系统为一有许多固定轴的轮轴传动系统，应用质点系动量矩定理求解时，应分别选取每一个轮轴为研究对象，逐个建立动量矩方程，才能避免未知的轴承约束力在方程中出现。

3) 在建立刚体转动的动量矩方程时，应首先规定转角θ的正方向，θ 及θ 的正方向与之相同。

与此同转向的力矩为正值，反之为负值，即动量矩方程的等
式两边各项应采用同一正向。

17.4 例 题 示 范
【例题17-1】如图17-1a 所示系统中，三个重物的质量分别为123m m m ，，，由一绕过两个定滑轮的绳子相连接，四棱柱体的质量为4m 。

如略去一切摩擦和绳子的重力，求：
1．系统动量的表达式；
2．四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。

设系统初始静止，当物块1沿斜面下滑s 时，已知各物块相对四棱柱体的速度大小为v r ；
3．若将上述系统放在有凸起的地面上，如图17-1b 所示，当物块1的加速度为a 时，系统对凸起部分的水平压力。

解：1．求系统的动量
建立坐标系如图所示。

根据系统动量的定义有
j i v p )()(iy i
i ix i
i i i
i v m v m m ∑∑∑+==
取四棱柱为动系，设四棱柱体的速度为v ，各物块相对四棱柱体的速度大小为v r ，则
1r 2r 34(cos x p m v v m v v m v m v θ=+++++)() 1r 23r 4sin 0()0y p m v m m v m θ=+⋅+−+⋅
整理后有
123412r 13r [()(cos )](sin )m m m m v m m v m m v θθ=++++++−p i j
2．求四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移 因不计一切摩擦，系统在水平方向上动量守恒，即
123412r ()(cos )m m m m v m m v θ+++++=0
整理得四棱柱的速度为
12
r 1234cos m m v v m m m m θ+=−
+++ （a ）
又因系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。

对上式积分，得到 12
1234
cos m m x s m m m m θ+=−
+++
此为四棱柱体的位移。

3．求四棱柱体对地面凸起部分的作用力
确定对凸起部分的作用力，可以采用质心运动定理。

由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，则物块相对四棱柱体的加速度即为绝对加速度，其大小为a 。

根据质心运动定理，并注意到 i ix Cx m a Ma =∑ 得
12cos Cx Ma m a m a F θ=+=
b)
图17-1 例题17-1图
x
y
1
2
4
1
3
v
r
1
2
3
4
a
F
θ
θ
从而确定四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力。

【例题17-2】 图17-2a 中，电动机外壳和定子(图17-2b)的总质量为m 1，质心O 与转子的中心重合；转子的质量为2m ，由于制造或安装误差，转子的质心
O 1到定子的质心O 的距离为e ，已知转子以等角速ω转动。

1. 如果电动机用螺栓固定在刚性基础上，求：电动机机座水平和铅垂方向的约束力。

2. 如果电动机机座与基础之间没有螺栓固定，如图17-2d 所示，且接触面绝对光滑，初始时，202000x y v v e ϕω===,,，试：
n 分析电动机机座的约束力将怎样变化，确定电动机跳起的条件； n 确定电动机外壳在水平方向的运动方程。

解：1．求图17-2a 所示电动机机座水平和铅垂方向的约束力。

取定子、转子、外壳组成的系统为研究对象，因为已知系统的运动，要求约束力，故采用质心运动定理。

对系统进行受力分析，系统受力如图17-2a 所示。

机座用螺栓固定，相当于固定端约束，因而有水平和铅垂方向的约束力，还有约束力偶。

对系统进行运动分析，外壳和定子的质心静止不动，a 1C = a O 1 = 0；转子以匀
角速转动，其质心只有法向加速度，n 2
22C C a a e ω==。

根据
i iCx
ix i iCy
iy m a F m a
F ⎫
=⎪
⎬⎪=⎭
∑∑∑∑ (a)
a) b)
c) d)
图17-2 例题17-2图
a 2C
a 2C
v 2C
v O 1 v O 1
有
2122
12120cos 0sin x
y m m e t F m m e t F m g m g ωωωω⎫⋅−=⎪
⎬⋅−=−−⎪⎭
(b) 联立求解，得到所要求的水平和铅垂方向的约束力分别为
222122cos sin x y F m e t
F m g m g m e t ωωωω⎫=−⎪
⎬=+−⎪⎭
(c)
可见两个约束力都是呈周期性变化的力，并存在最大值和最小值。

式中,由重力引起的约束力称为静约束力（或静反力），由转子的运动引起的约束力称为动约束力（或动反力）。

请读者对式(c)继续加以分析和思考：动约束力与静约束力区别是什么？当转速ω很高时，会给基础带来什么影响？应用动量定理能不能确定机座的约束力偶？
1． 2. 分析如图17-2d 所示电动机
2．
1) 因为电动机没有固定在基础上，所以水平方向没有约束力；而铅垂方向的受力与运动（牵连运动为水平平移）与基础固定时相同，因此铅垂约束力仍由式（c ）中第二式确定。

2) 电动机机座与基础之间没有螺栓固定时，电动机可能脱离地面跳起。

所谓跳起的力学含义是铅垂约束力为零。

故跳起的条件应由下式确定
2122sin y F m g m g m e t ωω=+−= 0
这是周期性变化的约束力，当时1sin =t ω的那些时刻，这一约束力可能等于零。

于是，有
2min 1220y F m g m g m e ω=+−=
由此解得
min ωω==
这表明，电动机若要跳起，转子的转速应超过min ω。

3) 电动机机座与基础之间没有螺栓固定时，因为电动机在水平方向不受力，所以水平方向动量守恒。

又因为初始时，x 方向无运动，故系统在x 方向动量为零。

设电动机定子质心在x 方向位移为x ，11C O v v x == ，2C v e ω=，如图17-2c 所示，则有
12(sin )0m x m x e t ωω+−= 即
212
sin m e t x
m m ωω=+
图17-3 蛙式打夯机简图
根据所给运动初始条件，对上式等号两侧积分，得到电动机外壳在水平方向的运动方程：
212
(1cos )m e
x t m m ω=
−+
这是一个平衡中心在
212
m e
m m +的简谐运动。

3．讨论：
电动机的水平运动与跳起运动分析，可以形成读者在一些建筑工地上看到的蛙式打夯机的力学模型。

蛙式打夯机(图17-3)在实现夯实地面的动作之后跳起，然后再向前运动。

有兴趣的读者不妨自行分析研究。

【例题17-3】在质量为m 1，半径为R 的均质圆盘上焊接一质量为m 2长为R 的均质细杆C 1A 。

该系统可绕水平轴O 在铅垂平面内转动，图17-4（a ）瞬时有角速度ω，角加速度α，试求该瞬时轴O 处的约束力。

解：1. 选择研究对象
选杆C 1A 及圆盘为研究对象。

2. 进行运动及受力分析
A
A
F a)
图17-4 例题17-3图
b)
圆盘质心C 1的加速度为1
t C a 、1n C a ；杆C 1A 质心C 2的加速度为2t C a 、2n
C a 。

受力及运动如图17-4b 。

3. 应用质心运动定理确定轴承O 处的约束力 由于系统作定轴转动，故
1t C a R α=、1n 2C a R ω=；2
t
32C a R α=、2
n 2
32
C a R ω=， 应用质心运动定理，有
12
12
n n
12t t 1212()C C Ox C C Oy m a m a F m a m a F m m g
−−=+=−+
将加速度的值代入上式，得
2
1212123
()2
3
()()2
Ox Oy F m m R F m m R m m g
ωα=−+=+++
【例题17-4】卷扬机机构如图17-5a 所示。

可绕固定轴转动的轮B 、C ，其半径分别为R 和r ，对自身转轴的转动惯量分别为J 1和J 2。

被提升重物A 的质量为m ，作用于轮C 的主动转矩为M ，求重物A 的加速度。

解：1．取轮C 为研究对象
轮C 受到绳的拉力F T ，外力偶矩M ，重力P 2及C 处的约束力，受力如图17-5b 所示。

设轮C 的角加速度为αC ，应用定轴转动微分方程，有
r F M J C T 2−=α (a)
2．取轮B 和重物A 为研究对象
轮B 和重物A 的受力与运动分析如图17-5b 所示。

应用动量矩定理
d d B
B L M t
=，设轮B 的角速度为ω，系统相对于点B 的动量矩为 21B L J mR ωω=+ 系统的外力对点B 的力矩为
图17-5例题17-4图
b ）
T B M F R mgR ′=− 根据动量矩定理
21T d ()d B
L J mR F R mgR t
α′=+=− (b) 重物A 的加速度a 与轮B 、C 的角加速度的关系为
ααR r a C == (c) 联立解式(a)、(b)、(c)可得重物A 的加速度为
2
222212
)(r mR R J r J rR mgr M a ++−=
【例题17-5】图17-6a 所示被置于墙角的均质圆柱半径为r ，重力为F Q 。

若圆柱初始角速度为ω0，由于墙面、地面接触处有摩擦阻力，使转动减速。

设接触处的动滑动摩擦因数为f ，求使圆柱停止转动所需的时间。

解：1．取圆柱C 为研究对象进行运动、受力分析
圆柱的运动为质心不动，刚体绕质心转动，故可采用刚体平面运动微分方程求解。

对圆柱进行受力分析（图17-6b ），由ω0的转向可确定摩擦力的方向如图所示。

2．建立运动微分方程 刚体平面运动微分为
∑∑∑===)
((e)(e)
Q
(e)Q
F C C y Cy x Cx M J F a g
F F a g F α 因为a Cx = 0，a Cy = 0，t
d d ω
α=
，代入上述方程有 B A F F −=N 0 (a)
A
a)
Q N 0F F F B A −+= (b) r F r F t
r g F B A −−=d d 212Q ω
(c) 另有摩擦补充方程
A A fF F N = (d)
B B fF F N = (e) 将式(d)、式(e)代入式(a)、式(b)得 12Q N +=
f F F B ；1
2Q
+=f fF F B
12Q N +=f fF F A ；1
2Q 2+=f F f F A 将上述结果代入式(c)有
)
1()1(2d d 2f r f gf t ++−=ω t f r f gf t
d )
1()
1(2d 0
2
∫∫++−
=ω
ω )
1(2)1(20f gf f r t ++=ω
3．讨论
1) 刚体平面运动微分方程，全面描述了刚体的运动与外力系主矢和主矩的关系。

建立方程时应三式列全。

2) 摩擦极限方程F = fF N ，是求解包含摩擦的动力学问题常见的补充方程。

3) t
d d ω
是代数量，未知时设为正号，其实际符号由力矩的正负确定。

4) 注意积分上下限的对应关系，t = 0时ω = ω0；t = t 时ω = 0，圆柱停止转动。

5) 因圆柱质心不动，故可认为圆轮作绕质心的定轴转动，通过质心运动定理和刚体定轴转动微分方程求解，方法和结果是一样的。

【例题17-6】均质杆AB 重力为F P ，长为l ，放在铅垂平面内，杆的一端A 靠在光滑的铅垂墙上，另一端B 放在光滑的水平地面上，并与铅垂墙成ϕ0角，如图17-7a 所示。

令杆无初速滑下，求开始滑动时，地面与墙面对杆的约束力。

解：1．取杆AB 为研究对象进行运动、受力分析
将杆AB 置于一般位置，即杆AB 与墙面夹角为ϕ，杆下滑时作平面运动，故可采用刚体平面运动微分方程求解。

对杆AB 进行受力分析，其受力图如图17-7b 所示。

对杆AB 进行运动分析，设其运动过程中的角速度和角加速度分别为
ϕ
ω =和ϕα =，在图示坐标系下，杆AB 的质心坐标为 ϕ
ϕ
cos 2
sin 2l
y l
x C C == 杆AB 质心的速度为
ϕϕϕϕ sin 2
cos 2l
y
l
x
C C −== 杆AB 质心的加速度为
()
()
22cos sin 2sin cos 2
C C l
x l
y ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎫=
−⎪⎪
⎬⎪=−+⎪⎭
(a) 2．列方程
刚体平面运动微分为
∑∑∑===)
((e)(e)
P (e)P
F C C y
Cy x Cx M J F a g
F F a g F α (b)
将运动学补充方程式(a)代入刚体平面运动微分方程(b)有
()
()
2P P N 2P P N P 2
P N N cos sin 2sin cos 2
1sin cos 1222
C A C B B A F F l
x F g g F F l
y F F g g F l l l F F g ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ⎫
=−=⎪⎪⎪
=−+=−⎬⎪⎪=−⎪⎭
(c) 考虑到杆开始滑动时ϕ = ϕ0，0=ϕ
，0αϕ= ，代入方程(c)有 0
N 0N 02
P P
N 00P N 00P cos 2
sin 2121sin 2
cos 2ϕϕααϕαϕl F l F l g F F F l
g F F l
g F A B B A −=−=−= 可解得
)
sin 4
3
1(2sin 8
3sin 2302P N 0P N 00ϕϕϕα−===
F F F
F l g
B
A
3．讨论
1) 研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体运动之间的关系。

本题的运动学关系还可以用刚体平面运动的加速度合成定理来求解，请读者自行完成。

2) 题中的ϕ角是增函数，若解题时选用的是角ϕ的余角θ，则在杆的下
滑过程中角θ是减函数，此时有θω −=、θα −=，一定要注意符号上的问题。

3) 相对特殊瞬心的动量矩定理：平面运动过程中，如果刚体的质心C 到
速度瞬心p 的距离保持不变时，则质点系相对瞬心的动量矩对时间的导数等于质点系外力对同一点的主矩，即
(e)d ()d p p i i
L M t
=∑F (d)
注意到此题中杆的质心到瞬心的距离恒等于2
l
，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。

这时，
ωp p J L = (e)
ω为杆的角速度。

将式(e)代入式(d)，在初瞬时有
00sin 2
p l
J mg αϕ= (f)
据此可得
00cos 2p
l
mg J αϕ= (g) 式中
2223
1
)2(121ml l m ml J p =+=
(h) 将式(h)代入式(g),得到初瞬时杆的角加速度
003sin 2g
l
αϕ=
然后便可较方便地求出其余未知量。

请注意，采用这种方法时，一定注意定理存在的条件。

【例题17-7】鼓轮如图17-7a 所示，其外、内半径分别为R 和r ，质量为m ，对质心轴O 的回转半径为ρ，且ρ2 = R ·r ，鼓轮在拉力F 的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，力F 与斜面平行，且F > mg sin θ，不计滚动摩阻。

试求鼓轮质心O 的加速度及其与斜面的静滑动摩擦力。

解：1．取鼓轮为研究对象进行运动、受力分析
鼓轮沿斜面作纯滚动，其速度瞬心为轮与斜面的接触点p ，鼓轮质心加速度的大小a O 与角加速度α的关系为
O a R α= (a)
鼓轮受力如图17-7b 所示。

2．求质心的加速度
鼓轮作平面运动，因为其质心O 到速度瞬心p 的距离在运动过程中保持不变，故可采用相对特殊瞬心的动量矩定理：轴O 沿斜面作直线运动，即 ()sin p J F r R mg R αθ=+− (b) 鼓轮相对于速度瞬心的转动惯量为
22()p J m mR mR r R ρ=+=+ (c)
将式(a)、(b)代入式(c)，可求得质心的加速度为
图17-8 例题17-8图
f
b)。