陕西省黄陵中学高三数学下学期第三次质量检测试题(普通班)文(2021年整理)

陕西省黄陵中学2018届高三数学下学期第三次质量检测试题（普通班）文编辑整理：
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高三普通班第三次质量检测数学（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ∈R ，i 为虚数单位．若复数i 1i
a z -=+是纯虚数．则a 的值为( ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
2．若3π1cos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2π2πα-≤≤，则sin 2a 的值为（ )
A ．42
9
-
B ．22
9
-
C ．
22
9
D ．
42
9
3．某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17530．，,样本数据分组为[]17520．，,(]20225，．， (]22525．，，(]25275，
．,(]27530．，．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是（ )
A ．68
B ．72
C ．76
D ．80
4．正方形ABCD 中,点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =( ） A ．11+2
2
AB AD B ．1122
AB AD --
C ．1
12
2
AB AD -+
D ．1122
AB AD -
5。

已知等差数列{}n a 的前n 项为,2n
a n n S
b =且132417,68b b b b +=+=，则10S = A. 90 B 。

100 C. 110 D 。

120
6。

已知0
a>,0
b>，则点()
1,2
P
在直线
b
y x
a
=的右下方是双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的离心率e的取
值范围为()
3,+∞的
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
7。

记不等式组
220
1
2
x y
x
y
+-≥
⎧
⎪
≤
⎨
⎪≤
⎩
的解集为D，若()
,,1
x y D y a x
∀∈≤+，则实数a的最小值是
A. 0 B。

1 C. 2 D。

4
8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题。

其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0,2,4，8，12，18，24,32,40,50,…,如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的,那么在两个判断框中，可以先后填入
A.n是偶数?,100?
n≥
B.n是奇数？，100?
n≥
C.n是偶数？,100?
n>
D 。

n 是奇数？，100?n >
9．某几何体的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形，若该几何体的体积
为4,则x 2
+y 2
的最小值为（ ） A ．12 B ．16
C ．28
D ．48
10．在ABC △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若m n 向量，且
(),6)(6,,m a c n c b a b =-=--+,3
cos sin b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，则ABC △的面积为( ） A ． 3 B ．
2
33 C ． 33 D ． 93
11．在三棱锥P ABC -中,26PA PB PC ===，4AC AB ==，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球
的表面积为（ ） A ．4π B ．24π C ．36π D ．48π 12．已知抛物线C ：22(0)y px p =>经过点(1,2)-，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两
点,7
(,0)2
Q -，若BQ BF ⊥,则BF AF -=（ ）
A ．1-
B ．3
2
- C ．2- D ．4-
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上. 13.已知复数
2a i
i
+-为纯虚数，那么实数a=_________. 14。

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为43π,则该正方体的表面积为_________。

15。

曲线C :()sin 2x f x x e =++在x=0处的切线方程为_________.
16。

如图，在△ABC 中，AD⊥AB，3BC BD =,||1AD =，则AC AD ⋅=_________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17。

（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2cos c
C a b =-.
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若6=+c b ，ABC ∆的面积为32，求a .
18。

(本小题满分12分）有一个同学家开了一个奶茶店,他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响,从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表： （Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归
方
程
a x
b y
ˆˆˆ+=(b ˆ精确到0.1）,若某天的气温为15o C ，预测这天热奶茶的销售杯数； （Ⅱ）从表中的5天中任取两天,求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率。

参考数据：125027191242222=+++，6602942710419130121324=⨯+⨯+⨯+⨯.
参考公式：2
1
21ˆ∑-∑-===n
i i n
i i i x
n x y
x n y x b
，x b y a
ˆˆ-=。

19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -
中，16,AB AD AA ===E 在棱BC 上，2CE =，点F 为棱11C D 的中点，过,E F 的平面α 与棱11A D 交于G ，与棱AB 交于H ，且四边形EFGH 为菱形.
(1)证明：平面11A G E ⊥ 平面11BDD B ;
(2)确定点,G H 的具体位置(不需说明理由），并求四棱锥B EFGH - 的体积。

20. 已知椭圆22
12:1(0)8x y C b b
+=> 的左、右焦点分别为12,F F ,点2F 也为抛物线22:8C y x =的
焦点。

（1)若,M N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1 ,求直线MN 的斜率；
(2)若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于,A B 和,C D ,设线段,AB CD 的长分别为,m n ,证明
11
m n
+ 是定值。

21．（本题满分12分)
已知函数)()()(2b x a x x f --=， R a ∈,R b ∈．
（1） 若1=a ，2=b ，求函数在点))2(,2(f 处的切线方程； （2） 求函数的单调区间；
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分. 22.(本大题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为24y x =.
(Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是2cos sin x t y t α
α=+⎧⎨=⎩
（t 为参数)，l 与C 交于,A B 两点,46AB =l 的倾斜
角。

23。

（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|3||2|f x a x x =--+. (Ⅰ）若2a =,解不等式()3f x ≤;
(Ⅱ）若存在实数a ，使得不等式()14|2|f x a x --+≤成立,求实数a 的取值范围.
1。

C 2。

A 3。

B 4.D 5。

A 6。

A 7.C 8。

D 9。

C 10.B 11.C 12。

B
13.1
2
； 14.24 ； 15。

23y x =+；
17。

解：(Ⅰ)∵2
cos c
C a b =-
∴由正弦定理知,C C A B sin 2
1
cos sin sin =-
∵π=++C B A
∴A C C A C A B cos sin cos sin )sin(sin +=+=
∴C A C sin 2
1
cos sin =
∵),0(π∈C
∴0sin >C ，故2
1cos =A . ∵),0(π∈A ∴3
π
=
A 。

（Ⅱ）由（1)知，324
3
sin 21==
=∆bc A bc S ABC . ∴8=bc
∵6=+c b ，A bc a c b cos 2222=-+
∴12cos 22)(22=--+=A bc bc c b a ∴32=a .
18. 解：（Ⅰ）由表格中数据可得,4.12=x ,122=y
∴0.24.12621250122626602ˆ21
21
-≈⨯-⨯-=∑-∑-===n i i n
i i i x
n x y
x n y x b ∴8.1464.120.2122ˆˆ=⨯+=-=x b y a
∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为8.1460.2ˆ+-=x y
(Ⅱ）记表中的第1天到第5天为54321,,,,a a a a a ，其中销售杯数大于130的有21,a a ，任取两天有),(21a a ,),(31a a ，),(41a a ，),(51a a ,),(32a a ，),(42a a ，),(52a a ,),(43a a ，),(53a a ，),(54a a 共10种情况
其中至少有一天销售杯数大于130有),(21a a ，),(31a a ,),(41a a ，),(51a a ，),(32a a ，
),(42a a ，),(52a a 共7种情况。

∴所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率为10
7
=p . 19.解：（1)在矩形1111A B C D 中,1111,AB AD A B A D =∴=，
1111A C B D ∴⊥.
又1BB ⊥平面1111A B C D ，111BB AC ∴⊥。

1
111BB B D B =，11A C ∴⊥平面11BDD B 。

又11A C ⊂平面11AC E ，∴平面11A C E ⊥ 平面11BDD B . (2)G 为棱11A D 上靠近1A 的三等分点,H 为棱AB 中点，
3,4HB BE ==，所以HBE ∆的面积11
43622
HBE S HB BE ∆=⨯⨯=⨯⨯=。

于是四棱锥B EFGH -的体积
111
2222633
B EFGH B EFH F BEH HBE V V V s BB ---∆===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=
20.解:因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =，
所以椭圆22
:184
x y C +=
(1）设()()1122,,,M x y N x y ，则22
1122221,8
41,8
4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
两式相减得
()()()()1212121208
4
x x x x y y y y +-+-+=,
又MN 的中点为()1,1，所以12122,2x x y y +=+=。

所以
21211
2
y y x x -=--.
显然，点()1,1在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为12
-.
（2）椭圆右焦点2(2,0)F .
当直线AB 的斜率不存在或者为0
时，
11m n +==
当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为(2)y k x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程得22
(2),
28,
y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 并化简得2222(12)8880k x k x k +-+-= , 因为22222(8)4(12)(88)32(1)0k k k k ∆=--+-=+>，
所以22121222
88(1)
,1212k k x x x x k k -+==++.
所以
22
)
12k m k +==+.
同理可得22
)
2
k n k +=+。

所以2222
11122()118
k k m n k k +++=+=++为定值。

21、(1）)( )32)((3)(R x b a x a x x f ∈+-
-=' 由已知 )3
5
)(1(3)(--='x x x f 切线斜率1)2(='f ， 0)2(=f
切线方程20-=-x y 即 02=--y x （2）令0)(='x f ，0 )32)((3=+-
-b a x a x 即3
2,21b
a x a x +=
= 当b a =时,)(x f 在R 上为增函数 当b a >时， 21x x >，)(x f 在),(),3
2,(+∞+-∞a b
a 上为增函数， 在),3
2(
a b
a +上为减函数 当
b a <时， 21x x <,)(x f 在),3
2(),,(+∞+-∞b
a a 上为增函数, 在)3
2,
(b
a a +上为减函数 22。

解:(1)∵cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，代入24y x =，∴2sin 4cos 0ρθθ-=
(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是1t ,2t ,
把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：22sin 4cos 80t t αα-⋅-=，
∴12212224cos sin 8sin 1616sin 0t t t t αααα⎧
+=⎪⎪
-⎪
=⎨⎪
⎪∆=+>⎪⎩
，则12AB t t =-=
∴sin 2α=，∴4πα=或34πα=. 23。

解:（Ⅰ）不等式()3f x ≤化为|23||2|3x x --+≤，则2
2323x x x -⎧⎨
-++⎩
≤≤
或2232323x x x ⎧-<⎪⎨⎪---⎩≤≤，或233223
x x x ⎧
>⎪⎨⎪---⎩≤， 解得3
742
x -≤≤，
所以不等式()3f x ≤的解集为37{|}42
x x -≤≤;
（Ⅱ）不等式()14|2|f x a x --+≤等价于|3|3|2|1a x x a -++-≤ 即|3|3|2|1a x x a -++-≤，
陕西省黄陵中学2018届高三数学下学期第三次质量检测试题（普通班）文
- 11 - / 11- 11 - 因为|3|3|2||3||63||363||6|a x x a x x a x x a -++=-++-++=+≥， 若存在实数a ，使不等式()14|2|f x a x --+≤成立，
则|6|1a a +-≤, 解得：52a -≤，实数a 的取值范围是5(]2
-∞-，。