定积分的换元积分法与分部积分法

有
b
a f (x) dx f [(t)](t) dt
上式称为定积分的换元公式。
π
例1 计算 2 cos3 x sin x dx 。 0
解
设 t cos x ，则 dt sin x dx 。当 x 0 时，t 1 ；当
x π 时，t 1。 2
原式 0 t3dt 1 t3dt 1 t4计算
4 dx 。
0 1 x
解
令 x t ，x t2 ，则 dx 2tdt 。当 x 0 时，t 0 ；当
x 4 时，t 2。
原式 2 2t dt 2 2 t 1 1 dt 2 2 ln 1 t 2 4 2ln 3
0 1t
0 1t
0
例3 计算
高等数学
定积分的换元积分法与分 部积分法
一、定积分的换元积分法
定理 设函数 f (x) 在 [a ，b] 上连续，而 x (t) 是定义在 [ ， ] 上的一个可微函数，并满足条件：
（1）(t)在区间 [a ，b] 上有连续的导数 (t) ；
（2）当t从α 变到β 时，(t) 从 ( ) a 单调地变到( ) b ，则
两边积分，得 移项，得 即
b
b
b
a (uv)dx a uvdx a uvdx
b uvdx
(uv)
b
b
vudx
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式。
π
例6 计算 0 x cos x dx 。
解
原式
π
xd (sin
x)
x sin x
π
π
sin x dx
f a
dx 20
f (x) dx
；
（2）若 f (x)为奇函数，则 a f (x) dx 0 。 a
例5 计算 1 x 1 x2 dx。 1
解
因为被积函数 y x 1 x2 在 [1，1] 上是奇函数，所以
由例4可知
1 x 1 x2 dx 0 1
二、定积分的分部积分法
如果 u(x)，v(x) 在 上具有连续导数，由乘积的求导法则，可知 (uv) uv uv
cos x
π
2
0
0
0
0
e
例7 计算 1 ln x dx 。
解
原式 x ln x e e x 1 dx (e 0) (e 1) 1 1 1x
高等数学
1 1 x2 dx 。
0
解 设 x sin t ，则 x 0 ，t 0 。当 x 1 时，t π 。 2
π
原式
π 2 0
1 sin2 t d sin t
π 2 0
cos 2t dt
1 4
sin
2t
t 2
2 0
π 4
例4 设 f (x)在 [a ，a] 上连续，有
a
a
（1）若 f (x)为偶函数，则