广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：第1章 第12课时 习题 精品

第一章 第12课时
一、选择题
1．下列函数①y ＝x 2
sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0,2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】①③④是奇函数．故选C ．
2．(2014年重庆模拟)已知函数f (x )＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能为( )
A ．π
3
B ．2π3
C ．π
D ．4π3
【答案】A
【解析】由正弦曲线知，在一个周期内sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1，∴b －a ≥
3π
2－5π6＝2π
3
.故B ，C ，D 都有可能取到，故选A ． 3．若α，β均为锐角且α＋β>π
2，则( )
A ．sin α>cos β
B ．sin α<cos β
C ．sin α>sin β
D ．cos α<cos β 【答案】A
【解析】由题意0<π2－β<α<π2，∴sin π
2－β
<sin α，即sin α>cos β.故选
A ．
4．函数y ＝3cos 2
x －4cos x ＋1，x ∈[π3，2π3]的最小值是( )
A ．－1
3
B ．154
C ．0
D ．－14
【答案】D
【解析】∵x ∈[π3，2π3]，∴cos x ∈[－12，12].当cos x ＝12
时，y 取到最小值为y min ＝3×12
2
－4×12＋1＝－1
4.故选D ．
二、填空题
5．已知函数y ＝sin x ，x ∈[－π4，
3π4，则此函数的值域为________．
【答案】[－
2
2
，1] 【解析】结合图象可知sin －
π
4≤y ≤1，即－
22≤y ≤1.∴函数的值域为[－22
，1].
6．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(－π，0]
【解析】∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π<a ≤0时，满足已知．故a 的取值范围是(－π，0]．
三、解答题
7．求函数f (x )＝cos 2
x －sin x ，x ∈[－π4，π4]的最大值．
【解析】f (x )＝1－sin 2
x －sin x ＝－sin x ＋
12
2
＋54
， ∵－π4≤x ≤π4，∴当x ＝－π6时，即sin x ＝－12时，f (x )取得最大值54
.
8．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－1
2，求函数g (x )＝－4a sin bx
的最值和最小正周期．
【解析】当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝3
2
，a －b ＝－1
2
，解得a ＝1
2
，b ＝1.∴g (x )＝－2sin x ．此
时函数g (x )的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
当b <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝32
，a ＋b ＝－1
2
，解得a ＝1
2
，b ＝－1.
∴g (x )＝2sin x ．此时函数g (x )最大值为2，最小值为－ 2，最小正周期为2π.。