离散数学关系的性质

<x,y>R ……………..….……. <y,x>R
前提
推理过程
结论
例6 证明若 R=R1 , 则R在A上对称.
证 任取<x,y>
<x,y>R <y,x>R 1 <y,x>R
因此 R 在 A 上是对称的.
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3. 反对称性证明
证明模式 证明R在A上反对称
任取<x, y>
<x,y>R<y,x>R ………..………. x=y
例如 Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b)}，
则Ｒ是自反的。
又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的整除关系，
显然，Ｒ是自反的，因为（1, 1）,（2, 2）,（3, 3）
都属于R。
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注意，在关系的自反性定义中，要求对于A中 的每一个元素a都有(a,a) ∈R。所以当A={a,b,c}，而 R={(a,a),(b,b)}时，R并不是自反的，因为(c,c) R。 又如A={1,2,3}，R是A上的二元关系，当a,b∈A， 且a和b都是素数时，(a,b) ∈R。 可见Ｒ＝{(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}，Ｒ也不是自反关 系，因为(1,1) R。
解 （1） 由于A×A={ (a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}， 而A上的自反关系必须含有(a,a),(b,b)。 所以A上的自反关系共有4种。 它们是 { (a,a),(b,b)}， { (a,a),(b,b),(a,b)}， { (a,a),(b,b),(b,a)}，{ (a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}。
R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称.
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5. 可传递的二元关系
(1). 定义： R是A xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称R是A上的传递关系.
每当有(a,b) ∈R和(b,c) ∈R 时，必有(a,c) ∈R ，则称为可传递的二元关系。 例如整除关系是可传递的，因为每当（a，b） ∈R时，
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一对 方向相反的边。
实例：
A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系
都是对称关系。
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4．反对称的二元关系
(1). 定义：若 x，y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y),
则称R为A上的反对称关系.
即R是Ａ上的二元关系，每当有(a,b) ∈Ｒ和有(b,a) ∈Ｒ
R1既不是自反也不是反自反的 R2为自反关系, R3为反自反关系。
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3. 对称的二元关系
(1). 定义: R是Ａ上的二元关系，
若x，y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R),
则称R为A上对称的二元关系. 即如果(a,b) ∈R, 就一定有(b,a) ∈R, 则称Ｒ为对称的二元关系。
<x,y>R<y, z>R …..………. <x,z>R
前提
推理过程
结论
例8 证明若 RRR , 则R在A上传递.
证 任取<x,y>，<y, z>
<x,y>R <y,z>R <x,z>RR <x,z>R
因此 R 在 A 上是传递的.
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思考1. 设A={a,b,c}, R是A上的二元关系 且 R={(a,a),(b,b),(a,c),(c,a)},问R是自反的吗？ 是反自反的吗？是对称的吗？是反对称的吗？ 是可传递的吗？
例如Ａ={a,b,c,d}, R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,d),(d,b)}
则Ｒ是对称的二元关系。
又如Ａ={1,2,3,4,5},对于Ａ中元素a和b,如果a,b是模
3同余关系，则(a,b) ∈Ｒ, 易见Ｒ是对称关系。
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(2). 关系矩阵的特点：
关系矩阵为对称矩阵。
(3). 关系图的特点：
(3). 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点xi到xj之间有边, xj到
xk之间有边,则从xi到xk之间有边。
实例：
A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，
真包含关系都是传递的二元关系。
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关系性质判别汇总
表达式
关系 矩阵
自反性
主对角 线元素 全是1
所以A上的对称关系有8种。 精选ppt
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（4）由于A上的反对称关系，当(a,b) ∈R必有(b,a)R。 所以在A×A的子集中删去同时含有(a ,b)和(b,a) 的子集 后，其它子集都是反对称关系，共有12种。
即Ø(空关系)， {(a,a)}, {(a,b)}, {(b,a)}, {(b,b)}, {(a,a) ,(a,b)}, {(a,a),(b,a)}, {(a,a),(b,b)}, {(a,b),(b,b)}, {(b,a),(b,b)}, {(a,a),(a,b),(b,b)}， {(a,a),(b,a),(b,b)}。
又如Ａ是一些整数组成的集合，如果a整除b，则(a,b) ∈Ｒ,
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R也是反对称的。
注意，“对称的”和“反对称的”这两个概念并非相互对立， 相互排斥的。存在着既不是对称的又不是反对称的二元 关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。
例如 A={a,b,c,d}
R={(a,b),(b,a),(c,d)}
1.自反性证明
证明模式 证明R在A上自反
任取x,
xA ……………..….……. <x,x>R
前提
推理过程
结论
例5 证明若 IA R ，则 R在A上自反.
证 任取x,
xA <x,x> IA <x,x>R
因此 R 在 A 上是自反的.
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2. 对称性证明
证明模式 证明R在A上对称
任取<x, y>
时，必有a=b,则称Ｒ是反对称的二元关系。
反对称的定义也可写为：Ｒ是Ａ上的二元关系，
当a≠b时，如果(a,b) ∈Ｒ,则必有(b,a) R,
称Ｒ为反对称的二元关系。 例如Ａ={1,2,3},R是Ａ上的小于关系，即a<b，（a,b）∈Ｒ。
易见Ｒ={(1,2),(1,3),(2,3)},所以Ｒ是反对称的。
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思考3. 设A={1，2，3}，问在A上有多少种不同的自反关系？
解：当R是A上的自反关系时，R必须含有表格中对角线上的 3个小方格所表示的有序对，对于表格中余下的6个小 方格，可以依次选取1个，2个，……，6个小方格， 也可以不取，它们所表示的二元关系都是A上的自反关系， 因此，A上共有64个自反关系。
这里R既不是对称的，也不是反对称的。
因为虽有(a,b) ∈R, (b,a) ∈R，但(c,d) ∈R时(d,c) R,
因此R不是对称的，
因为有(a,b) ∈R和(b,a) ∈R，因此R不是反对称的。
又如A={a,b,c}, R={(a,a)}, 可知Ｒ是对称的，又是反对称的。
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(2). 关系矩阵的特点：
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(2). 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为1。
(3). 关系图的特点：
关系图中每个顶点都有环。
实例： A上的全域关系EA, 恒等关系IA，小于等于关系 LA, 整除关系DA都是自反关系：
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2．反自反的二元关系
(1). 定义： R是Ａ上的二元关系，若x(x∈A→<x,x>R),
则称R在A上是反自反的二元关系. 即对于Ａ中的每一个元素a,都有(a,a) R，则称Ｒ为 反自反的二元关系。 例如Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,b),(b,c),(b,a)}，则Ｒ是反自反的。 又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的小于关系，即当a<b时， (a,b) ∈R。显然，Ｒ是反自反的。 注意，非自反的二元关系不一定是反自反的二元关系， 因为存在着这样的二元关系，它既不是自反的又不是反自 反的，如Ａ={a,b,c},R={(a,a),(a,b)}，那么Ｒ不是自反的(因 为(b,b), (c,c)都不属于Ｒ)，Ｒ也精选不ppt 是反自反的(因为(a,a) ∈R)。5
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二、关系性质的充要条件
设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R (2) R在A上反自反当且仅当 R∩IA= (3) R在A上对称当且仅当 R=R1 (4) R在A上反对称当且仅当 R∩R1IA (5) R在A上传递当且仅当 RRR
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三、关系类型的证明
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例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,2>,<2,3>}
R1 是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系
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例4 判断下图中关系的性质, 并说明理由.
(1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递. (2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递.
关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为1。
(3). 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。
实例：
恒等关系IA，空关系都是A上的反对称关系。
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例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
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(2) 由于A上的反自反关系必须不含有(a,a),(b,b)。 它们是Ø(空关系)， {(a,b)}，{(b,a)}，{(a,b),(b,a)}。
所以A上的反自反关系也有4种。 (3) 由于A上的对称关系R, 当(a,b) ∈R时,必有(b,a) ∈R, 所以只需考虑在(a,a),(b,b),(a,b)中选取0个，1个，2个， 3个有序对构成的集合。 它们是空关系, {(a,a)}, {(b,b)}, {(a,b) ,(b,a)}, {(a,a),(b,b)}, {(a,a),(a,b),(b,a)}， {(b,b),(a,b),(b,a)}, {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}。
4.3 关系的性质
关系的性质及特点 关系性质的充要条件 关系性质的证明 运算和性质的关系
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一、关系的性质及特点
1. 自反的二元关系
(1).定义：R是Ａ上的二元关系，若 x(x∈A→<x,x>R), 则称R在A上是自反的二元关系。 即如果对于Ａ中的每一个元素a,都有(a,a)∈ R，则称Ｒ 为自反的二元关系。
反自反性
主对角线 元素全是 0
对称性
矩阵是 对称矩 阵
反对称性 传递性 若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0
关系图
每个顶 点都有 环
每个顶点 都没有环
如果两 个顶点 之间有 边, 是一 对方向 相反的 边(无单 边)精选ppt
如果两点之 如果顶点 xi 连 间有边, 是 通到xk , 则从 xi 一条有向边 到 xk 有边 (无双向边)
即 a 能整除 b，b能整除c时，显然 a 能整除 c，
所以必有（a，c） ∈R 。 又如A={a，b，c，d，e}，其中a、b、c、d、e分别是表示
5个人，且a、b、c同住一个房间；d和e同住另一个房间。
如果同住一房间的人认为是相关的，显然这种同房间关系
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是可传递的。
(2). 关系矩阵的特点：
前提
推理过程
结论
例7 证明若 R∩R1IA , 则R在A上反对称.
证 任取<x,y>
<x,y>R <y, x>R <x,y>R <x,y>R 1
<x,y>R∩R 1 <x,y>IA x=y
因此 R 在 A 上是反对精选p称pt 的.
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4. 传递性证明
证明模式 证明R在A上传递
任取<x, y>，<y, z>
解：由于cR,但(c,c)R,所以R不是自反关系；
由于 (a,a) R, (b,b) R, 所以R也不是反自反关系；
显然R是对称关系， R不是反对称关系； 又由于 (c,a)R, (a,c)R,但(c,c) R, 所以R不是传递关系。
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思考2. 设A={a,b}，写出 （1）A上所有的自反关系；（2）A上所有的反自反关系； （3）A上所有的对称关系；（4）A上所有的反对称关系。
(2). 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为0。
(3). 关系图的特点：
关系图中每个顶点都没有环。
实例： 实数集上的小于关系，空关系，幂集上的 真包含关系都是反自反关系。
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例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}