东北大学历年期末高等数学试题
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
下册东北大学高数期末考试试题
2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<=L ，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)1n ∞= (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ](A) (B)(C) (D) .4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e x sin y , x 2 + y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x 2y 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1,4, 1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。
东北大学文科类高数期末试卷练习题 (3)
A ]；
…
(A) 5 / 2 ； (B) 2 ； (C) 2； (D) 3 .
x (et2 1)dt
解 lim 2 x0 x sin x ln(1 x)
…
… 线 …
5.向量组 1
1 1
,2
1
1
,3
1 2
,4
2
1
的最大无关组是[
D ];
… …
(A) 1,2,3 ； (B ) 1,3,4 ； (C) 1,2 ； (D) 1,3 .
0 不可能是
封 …
函数 f (x) 的 [ B ];
得分：
三.计算题 （每题 3 分，共 15 分）
… …
(A) 可去间断点； (B ) 无穷间断点；
… …
(C ) 跳跃间断点； (D ) 连续点.
x (et2 1)dt
1. 求极限. lim 2 x0 x sin x ln(1 x)
○ …
2
4. |1 2x | dx [ 0
7 3
2 4
的代数余子式
A23
___ 4 ____ .
6 1 2 3
5，齐次线性方程组
x1 2 x1
2 x2 4 x2
x3 0 3x3 0
有非零解，则
______
2
________
.
3x1 2x2 x3 0
… …
3.设 lim x0
f
(
x)
k1,
lim
x0
f (x)
k2 ，其中 k1, k2 是确定的常数，则点 x
一.单项选择题（每题 2 分，共 10 分）
2. 函数 f (x) 2x3 9x2 12x 1 在区间____[1, 2]___单调减少.
东北大学高数下试题2010-2013_年
.
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f (x, y)在(x0 , y0 )连续 .
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 )存在 . 2．【解】应选择 B
设切点为(
x(t
0
),
y(t0
),
z(t
0
));
切向量为(
x(t0
2
4
8
4．将 f (x) 1 展开为关于 x 2 的幂级数时，其收敛域为 [
].
1 x
(A) (1, 5)； (B) (1, 1)； (C) (2, 4)； (D) (2, 2).
二. 填空题 （每题 4 分，共 16 分）
1．过点(3, 1, 4)且与 y 轴相交，又与平面 y + 2z = 0 平行的直线方程为_______________.
3．设 f (x, y)是连续函数，D 是由 y = x2, y = 0, x = 1 所围的区域，且 f (x, y)满
足恒等式
则 f (x, y) =[
f ( x, y) xy D
].
f( ,x )y d，x d y
(A) xy + 1； (B) xy 1 ； (C) xy 1 ； (D) xy 1 .
h 部分的外侧. 五 (8 分 ) 在 抛 物 面 : z x2 y2 1 上 求 一 点
M 0 (x0 , y0 , z0 ) (x0 0, y0 0, x02 y02 1) ， 使 在 点 M 0 处 的 切 平 面 与 柱 面
y 1 x2 及三个坐标面在第一卦限所围立体的体积最大. 六、(8 分)已知 L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周 x2 + y2 = 2x 到点(2, 0), 再沿
01-11东北大学高等数学(下)期末考试试卷
东北大学高等数学(下)期末考试试卷一、填空题（20分）1．曲线t t t e z t e y t e x 2,sin ,cos ===相应于点0=t 处的切线与oz 轴夹角的正弦=γsin （ ）2．设40,10:≤≤≤≤y x D ，则=⎰⎰Ddxdy x 3（ ）3．设L 是由2x y =及1=y 所围成的区域D 的正向边界，则=+++⎰Ldy y x x dx y x xy )()(24233（ ）4．周期为π2的周期函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为ππ≤≤-=x x x f ,)(，设它的付立叶级数的和函数为)(x s ，则=)23(πs （ ） 5．微分方程0=+ydy xdx 的通解是（ ）二、 求解下列各题（32分）1．（8分）设yxe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2。
2．（8分）计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域。
3．（8分）计算曲线积分⎰Lxds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界。
4．（8分）求微分方程0)2(=-+ydx dy x y 的通解。
三．（9分）计算曲面积分⎰⎰∑-dxdy z )3(，其中∑是曲面222y x z +=上介于2=z 及3=z 之间部分的下侧。
四．（7分）判别级数∑∞=1223cos n nn n π的敛散性。
五．（9分）求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解。
六．（9分）将函数x x f 3sin )(=展开成)3(π+x 的幂级数，并指出收七．（9分）经过点（2，3，1）的平面中，求这样的平面，使得该平面与三个坐标面围成的第一卦限中的立体体积最小。
八. (7分)设)(u f 连续，试证：⎰⎰⎰-≤+=+111)()(du u f dxdy y x f y x高等数学试题答案 2001.07.16一、（1 （2）3； （3）0； （4）;2π-（5.C =二、1．'';y u x z e f f x ∂=+∂ 22""""'.y y y y u u u yx uxy u z x e f e f x e f f e f x y ∂=++++∂∂ 2．221rzdV d rdr zdz πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰12407(2).12r r r dr ππ=--=⎰ 3．Lxds =⎰1L xds +⎰2L xds =⎰10+=⎰⎰4．112,(2)dydy y y dx x x ee dy C dy y-⎰⎰-==+⎰(2ln ).y y C =+ 三、22(3)(3)2Dx y z dxdy dxdy ∑+-=--⎰⎰⎰⎰220224)232[28r d rdr r r πθππ=-=-=⎰ 四、2cos 3,22n nn n n n n u v π=≤= 且用比值法知道1n n v ∞=∑收敛，再用比较法可知 原级数是收敛的 。
东北大学线性代数期末试题 及答案
由于
x1 + ax2 = 0, x2 + bx3 = 0, x3 + cx4 = 0, x4 + dx1 = 0 .
1 a00
01b0
D=
= 1 − abcd ,
0 01c
d 001
5分 10 分
故当 abcd ≠ 1时，即当且仅当 x1 = x2 = x3 = x4 = 0 时，二次型 f (x1, x2, x3, x4 ) = 0 .
⇔ α1, a2,,αr 与 β1, β2,, βl 都是α1, a2,,αs , β1, β2,, βt 的极大线性无关组
⇔ R{α1, a2,,αs} = R{β1, β2,, βt}= R{α1, a2,,αs , β1, β2,, βt} .
（2）若
x
使
Ax
=
0
，则必使
β1 = (1,−1,0)T , β2 = (1,1,−1)T .
12 分
将α = (1,1,2)T , β1 = (1,−1,0)T , β2 = (1,1,−1)T 单位化，得正交矩阵
1
6
Q
=
1
6 2
6
1 2 −1 2
0
1
3
−
1
3 1
3
.
16 分
1 1
1
1 1
2
6 2
3 0
6 6
6
则 A = QΛQT
=
1
6 2
6
−1 2
0
1
−
3 1
3
2
复变函数期末考试题大全(东北师大)
3、下列命题正确的是（ ）
A 函数 f z z 在 z 平面上处处连续 B 如果 f a存在,那么 f z在 a 解析
C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果 v 是 u 的共轭调和函数,则 u 也是 v 的共轭调和函数 4、根式 3 1 的值之一是（ ）
A 1 3i 22
（2）在某一点 z0 D 有 f (n) (z0 ) 0 ，（ n 1,2, ） 证明： f (z) 在 D 内必为常数
2、证明方程 ez 5z n 1 0 在单位圆 z 1内有 n 个根
一填空题（每小题 2 分，视答题情况可酌情给 1 分，共 20 分）
1
4e
5i 6
，2
u1
， 3 (2k+1)i ,(k=0, 1,2)， 4
2k
ei ln 2 e 4 (k=0, 1,2)
2
5 i , 6 0 , 7 1 , 8 可去， 9 e ， 10 1
3
2
2
z
二 单选题（每小题 2 分，共 20 分）
1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A
1、设 为任意实数，则1 =（ ）
A 无意义
C 是复数其实部等于 1
2、下列命题正确的是（ ） A i 2i C 仅存在一个数 z,使得 1 z z
B 等于 1 D 是复数其模等于 1
B 零的辐角是零 D 1 z iz
i
-1-
____________________________________________________________________________________________________________
东北大学高等数学期末考试试卷(含答案)
东北大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．不定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
6．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
7．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
8．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、最大值点
B、极大值点
C、极小值点也是最小值点
D、极小值点但非最小值点
【答案】C
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
11．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
12．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．不定积分.
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
15．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。
东北大学高等数学(下)期末试题2013-2015
(B) (D)
∫∫∫ ( x
Ω
2
4 5； + y 2 + z 2 )dv = πR 3
0； ∫∫∫ ( x + y + z )dv =
Ω
( x ∫∫
∑
2
+ y 2 + z 2 )dS = 4π R 2 。
]
4．微分方程 y ″ + y = sinx 的一个特解的形式为[
4
(A) Ax sin x ；(B) A cos x + B sin x ；(C) Ax cos x + B sin x ；(D) Ax cos x + Bx sin x 。 5 ．设 f (u) 连续可微，且 ∫ f (u )du= k ≠ 0 ，其中 L 为圆周 = y
2
4. u = f ( x, xy ) 具有二阶偏导数，求
∂ 2u 。 ∂x∂y
5. 计算二重积分 二、
x 2 + y 2 ≤9
∫∫
( x 2 + y 2 − 7 x + 32 y + 1)dxdy 。
x 2 y′ + xy = 1 1. 求解微分方程的初值问题 y |x = 2 = 1
轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求 D 的面积。 高等数学（下）2014 年 7 月 一、单项选择题 1. 设向量 a = (2, −2, −5) 的起点坐标为 (2,1, 7) ，则[ （A） a 的终点坐标为 (4, −2,1) ； （C） a 与 y 轴的夹角为 arccos
2 2
]
（B） a 的长度为 6；
七、 （8 分）设 f (u)连续可微，L 为由 A 3,
(完整)东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3 分，共15 分）1。
设,则.2。
曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：使得格林公式：成立的充分条件是：。
其中L是D的取正向曲线；5.级数的收敛域是。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.当，时,函数的极限是A。
等于0； B. 等于；C。
等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数,是函数在该点可微分的A.充分必要条件；B。
充分但非必要条件；C。
必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。
3.设,则A。
; B。
；C.；D。
4.若级数在处收敛，则此级数在处A。
绝对收敛; B。
条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定。
5。
微分方程的特解应设为A.;B.；C.;D.。
三。
（8分）设一平面通过点，而且通过直线,求该平面方程.解：平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解：其中：：：：而故：六、（8分)计算对面积的曲面积分，其中为平面在第一卦限中的部分.解：：,七。
（8分）将函数,展开成的幂级数.解:，而,,,八。
（8分)求微分方程：的通解。
解:，原方程为：通解为：九。
幂级数:1。
试写出的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)解:1、于是2、令：由1知：且满足：通解：由，得:；故:十.设函数在上连续,且满足条件其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。
1、将三重积分写成累次积分的形式；（3分) 2、试求函数的表达式。
（7分）解:1、旋转曲面方程为：由，得：故在面的投影区域为：：2、由1得：记：则:两边乘以：，再在上积分得：解得：故:第二学期期末高数（下)考试试卷及答案2三、填空题(每空3 分，共15 分)1.曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是。
东北大学文科高数一期末试卷练习题 (5)
…
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…
学院 班级 学号 姓名
…
… 2. 求由 xy2 ey cos(x2 ) 0 所确定函数的微分 dy . …
… 解.由于： y2dx 2xydy eydy 2x sin(x2 )dx 0
2分
…
○ …
所以，
dy
2x sin(x2 ) 2xy ey
y2
dx
x
(1 cos t)dt
3.
lim
x0
0
x sin x2
__________1/6_________.
4.向量组1 (1, 2,1)T ，2 (2, 3, 4)T ，3 (1, 1, 3)T 的秩 r{1, 2 ,3} ___ 2 ____ .
… 2.下列函数在指定的变化过程中，哪个是无穷小？[ D ];
9/2
2分 3分 4分
本试卷 共 3 页第 2 页
学院 班级 学号 姓名
…
…
…
得分：
…
六.（4
分）
a
为何值时线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 1 2x1 x2 3x3 4x4 2
有解？有
3x1 3x2 4x3 5x4 a
…
○
…
解 .由于
解时求其通解.
…
1 1 2 3 1 1 5 0 1 1
A
的逆矩阵
A1
[
C ];
lim x( 1 sin x 1 sin x )
2分
x0
2sin x
1
3分
线 … …
( A)
4 2
13
；
(B)
1 2
43 ，
东北大学离散数学期末试卷 (2)
东北大学离散数学期末试卷一、选择题（每题2分，共40分）1.以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 散列表D. 关联矩阵2.图G的度序列为[2, 3, 4, 2, 1]，则G的边数是多少？A. 9B. 10C. 11D. 123.带权图的邻接矩阵中，对角线元素表示什么？A. 点的度数B. 边的权重C. 点的编号D. 边的个数4.下列命题中，哪个是正确的？A. 任意两个整数都是互质数B. 任意两个合数互质C. 任意两个质数都互质D. 不存在互质的整数对5.有一个0-1矩阵，若矩阵中的所有元素都是0，则该矩阵为：A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 关联矩阵D. 集合矩阵6.对于集合的幂集P(S)，下列哪个命题是正确的？A. 空集是P(S)的子集B. P(S)的元素个数是S的幂次C. S是P(S)的元素D. P(S)的元素都是非空集合7.对于公式p -> q，下列哪个命题是正确的？A. 如果p为假，则q必为真B. 如果p为真，则q必为假C. 如果p为真，则q可能为真D. 如果p为假，则q为假8.在模运算中，下列哪个公式是正确的？A. (a + b) mod n = (a mod n) * (b mod n)B. (a + b) mod n = (a mod n) + (b mod n)C. (a * b) mod n = (a mod n) * (b mod n)D. (a * b) mod n = a mod (b mod n)9.以下哪个不是逻辑运算符？A. 与B. 或C. 非D. 异或10.下列哪个不是图的遍历算法？A. 广度优先搜索B. 深度优先搜索C. 拓扑排序D. 最短路径算法二、填空题（每题2分，共20分）1.在一个简单图中，n个顶点，m条边，如果m = n(n-1)/2，则该图是一个____________。
2.某图的邻接矩阵为A，该图的关联矩阵为_________________。
高数下试题2001-2013
东北大学高等数学(下)期末考试试卷一、填空题（20分）1．曲线t t t e z t e y t e x 2,sin ,cos ===相应于点0=t 处的切线与oz 轴夹角的正弦=γsin （ ）2．设40,10:≤≤≤≤y x D ，则=⎰⎰Ddxdy x 3（ ）3．设L 是由2x y =及1=y 所围成的区域D 的正向边界，则=+++⎰Ldy y x x dx y x xy )()(24233（ ）4．周期为π2的周期函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为ππ≤≤-=x x x f ,)(，设它的付立叶级数的和函数为)(x s ，则=)23(πs （ ） 5．微分方程0=+ydy xdx 的通解是（ ）二、 求解下列各题（32分）1．（8分）设yxe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2。
2．（8分）计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域。
3．（8分）计算曲线积分⎰Lxds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界。
4．（8分）求微分方程0)2(=-+ydx dy x y 的通解。
三．（9分）计算曲面积分⎰⎰∑-dxdy z )3(，其中∑是曲面222y x z +=上介于2=z 及3=z 之间部分的下侧。
四．（7分）判别级数∑∞=1223cos n nn n π的敛散性。
五．（9分）求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解。
六．（9分）将函数x x f 3sin )(=展开成)3(π+x 的幂级数，并指出收七．（9分）经过点（2，3，1）的平面中，求这样的平面，使得该平面与三个坐标面围成的第一卦限中的立体体积最小。
八. (7分)设)(u f 连续，试证：⎰⎰⎰-≤+=+111)()(du u f dxdy y x f y x高等数学试题答案 2001.07.16一、（1（2）3； （3）0； （4）;2π-（5.C =二、1．'';y u x z e f f x ∂=+∂ 22""""'.y y y y u u u yx uxy u z x e f e f x e f f e f x y ∂=++++∂∂ 2．221rzdV d rdr πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰12407(2).12r r r dr ππ=--=⎰ 3．Lxds =⎰1L xds +⎰2L xds =⎰10112+=⎰⎰4．112,(2)dydy y y dx x x ee dy C dy y-⎰⎰-==+⎰(2ln ).y y C =+ 三、22(3)(3)2Dx y z dxdy dxdy ∑+-=--⎰⎰⎰⎰220224)232[28r d rdr r r πθππ=-=-=⎰ 四、2cos 3,22n nn n n n n u v π=≤= 且用比值法知道1n n v ∞=∑收敛，再用比较法可知 原级数是收敛的 。
东北大学2011-2012-1高等代数试卷及答案
封…………○………线……………………………东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷（ B 卷）2011 ---2012 学年第 一 学期课程名称：高等代数工（一）B . (2-n n A . 12213443-a a a a ； B . 12233441-a a a a ；C . 12223443-a a a a ；D . 12233444-a a a a .3． 若方程组12120λλ+=⎧⎨+=⎩x x x x 有非零解，则λ为（ ）.A .任意值；B . 1±；C .1；D . -1. 4． 若线性方程组增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，下面正确的是( ) .A. 方程组无解；B. 方程组有唯一解；C. 方程组有无穷解；D. 方程组有解.5. A ，B ，C 均为3级方阵，设A 经第3行乘以5后变为B ，B 经过第3行与第1行交换位置变成C ，若设PA =C ，则P 为( ) .A .500001010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；B.500010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.005010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D. 005100010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设n 级方阵B 与C 满足'=B C C ，其中0=C ，则矩阵B 是（ ）. A . 正定的； B . 半正定的； C. 负定的； D. 半负定的.2．设行列式41248104811111211-=-D ，ij A 为ij a 的代数余子式，则1222324222-+-=A A A A .3. 设3级方阵A 按列分块为A =),,(γβα，且5=A ，又设()2,3,γαβα=-B ，则=B .4．矩阵101021210⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A , 则矩阵A 的伴随矩阵*A = . 5．二次型12(,,,)'=n f x x x X AX 在线性替换=X CY 下二次型的矩阵为 .6．t 满足 时，二次型222112132233222222-++-+-x tx x tx x x tx x x 是负定的.…………○………线………………………本试卷共 3 页，第2 页……………○………线……………………………2．（7分）设A为方阵，且2=A A，求证：()(21)+=+-k kA E E A.3．（8分）假设向量β可以经向量组12,,,αααn线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是12,,,αααn线性无关.3 页高代工一11-12-1学期2012.1-B(答案及评分标准)一、1. C ；2. B ；3. B ；4. D ；5. C ；6. B二、1. 8；2. 72；3. -15；4. 112221412--⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎝⎭；5. 'C AC ；6. 21t -<< 三、1.解：利用行列式性质 45r xr +，34r xr +， ………….. 3分 =543254321x x x x x +++++ ………….. 2分2.解：011121020022200101001111001001101100001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，秩为4 ………….. 3分 1235,,,αααα为一个极大线性无关组 ………….. 3分 （或1345,,,αααα，或2345,,,αααα）4122ααα=- ………….. 3分四、解：由11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，得2212132324y y y y y y --+=22213233()(2)3y y y y y ---+， 由113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，=2221233z z z -+ ………….. 4分 所用非退化线性替换为1110101113110012111001001001X Z Z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，….. 5分在复数域上，令1113100111001300100/3003iX i W i W⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=---= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则规范形=222123w w w++………….. 3分在实数域上，令111131001110011/31001030030X W W⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=--= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则规范形=222123w w w+-………….. 3分五、解：12111(2)(1)11λλλλ=---，当21λλ≠≠且时，有唯一解；………….. 5分当=2λ时，1212103/521212011/5021140000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，有无穷解；通解为230105k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭….. 5分当=1λ时，121210101111010011140001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，无解. ………….. 5分六、1.解：1111100112--⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭010231121⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭，1111022110-⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭11/2011/21111-⎛⎫⎪--⎪⎪-⎝⎭，……….. 3分X=1111101100110112011--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1111022110-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭=21169/25433--⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭……….. 2分2.证明：由A与E可交换，得001110()k k k k kk k kA E C A E C A E C A E-+=+++……….. 5分1()kk kE A C C E+++=(21)kE A+-……….. 2分3.证明：必要性反证法若12,,nααα相关，则存在不全为零的12,,nk k k使1122n n k k k ααα+++=0. 若有1122n n p p p βααα=+++，则有111()()n n n p k p k βαα=++++，这与条件矛盾，故12,,n ααα必无关. ……….. 4分 充分性 反证法 若表法不唯一，设有1122n n l l l βααα=+++及1122n n k k k βααα=+++，则必有111222()()()n n n l k l k l k ααα-+-++-=0，由表法不唯一，说明12,,n ααα相关，矛盾，故表法必唯一. ……….. 4分。
高等代数2012.6B
院
班
级
学
号
姓
名
东 北 大 学 考 试 试 卷 （ B 闭 卷 ） … 总分 一 二 三 四 五 … 2011 —2012 学年第 2 学期 … … 课程名称：高等代数 … ○ … ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 得分： 二. 填空题 （每题 3 分，共 15 分） … 得分： 一. 单项选择题（每题 3 分，共 15 分） … … … 1．设 V ,V 为数域 P 上的线性空间， , V , k P, 为 V 到 V 的一个双射，如果 V ,V 同构，则 （ ） 密 1.以下哪个数集不够成数域？ … A.全体有理数； 应满足( )。 … B.全体实数； … C.全体整数； … … D.全体复数。 ○ 2.设 A 为线性空间 V 的一个线性变换， A 为 A 在某组基下的矩阵， ,L , 是 A 的 n 个特征值， … 2.设 x x 为多项式 f ( x) 的重因式，下面哪个说法错误？ （ ） … A. f ( x) ( x x ) f ( x) ；B. f ( x ) 0, f ( x ) 0 ； 则 L （ ） 。 … … C. f ( x) ( x x )h( x), h( x ) 0 ；D. f ( x ) 0, f ( x ) 0 。 … 封 3.设 V ,V 为数域 P 上的线性空间 V 的子空间，下面哪个说法是错误的？ （ ） … A. V V 是 V 的子空间； 3.已知 n 阶矩阵 A 与上三角矩阵 B (b ) 相似，则 A 的特征值为（ ） 。 … … B. V I V 是空集； … C. V , V 则 V V ； … D. V , V 则 V V 。 ○ … 4. n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似时，必须满足的条件为（ ） 。 4. 有关线性变换，下面哪个不是线性变换？ （ ） … … A. E ； … B.D f ( x) f ( x) ； 线 C.T ， 为一固定向量； 5. 设 W 是线性空间 V 的一个子空间，A 是 V 上的线性变换， W 是 A 的不变子空间的条件是 … x D. G 。 ( f ( x )) f ( x ) dx a … … （ ） 。 … 5.设 A 为正交变换， A 为 A 在某组基下的矩阵，下面哪个说法是错误的？ （ ） … A.A 保持向量长度不变； … … B. AA E ； … C. A 1 ； … D. ,L , 是标准正交基，则 A ,L , A 也是标准正交基。 … … 本试卷 共 3 页第 1 页 …
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八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
5．设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00=''='x f x f ，而0)(0≠'''x f ，则必有（ ）。
（A ）0x 是极值点，))((00x f x ，不是拐点； （B ）0x 是极值点，))((00x f x ，不一定是拐点； （C ）0x 不是极值点，))((00x f x ，是拐点； （D ）0x 不是极值点，))((00x f x ，不是拐点。
6．直线37423zy x L =-+=-+：与平面3224=--z y x ：π的位置关系是（ ） （A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直。
6．微分方程xx e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）xx e c x b ae y 32)(*++=；（C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) xx cxe e b ax y 32)(*++=三、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算⎰++4.122dx x x2．求dx x x x⎰++5423．设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求22dx y d 。
4．求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)11ln(lim 2x x x x 。
四、解答下列各题（每小题7分，共21分）1．在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。
2．计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积。
3*．在由平面0232=+-+z y x 和平面03455=+-+z y x 所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点)1,3,4(0-M 。
3．在曲线上每一点),(y x M 处切线在y 轴上的截距为22xy ，且曲线过点)2,1(0M 。
求此曲线方程。
五、（7分）设函数)(x f 在[]30，上连续，在（0，3）内可导，且有⎰=1)3()(31f dx x xf 。
试证：必有)3,0(-∈ξ使ξξξ)()(f f -='。
答案 一、1.ln3；2.a =-1,b =2；3.1；4.ab2-；5.1. 二、1.A ；2.C ；3.B ；4.D ；5.C ；6.A.三、1.322；2.C x x x ++-++)2arctan(2)54ln(212；3.t t 412+；4.21.四、1. R r R H 36,31==，R V 334max π=；2.234ab π； 九、高等数学试题 2006/1/10一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ]（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。
2.设函数f (x )在U (x 0，)内有定义，对于下面三条性质： ① f (x )在x 0点连续；② f (x )在x 0点可导；③f (x )在x 0点可微. 若用“P Q ”表示由性质P 推出性质Q ，则应有[ ](A) ②③①；(B) ②①③；(C)③①②； (D) ①②③。
3.曲线xxy -=3[ ] (A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。
4.设函数 f (x )在[a ,b ]上有定义，则⎰ba dx x f )(存在的必要条件是[ ](A) f (x )在[a ,b ]上可导；(B) f (x )在[a ,b ]上连续；(C) f (x )在[a ,b ]上有界；(D) f (x )在[a ,b ]上单调。
5. y = y (x )是微分方程y + 3y =e 2x 的解，且y (x 0) = 0，则必有[ ] (A) y (x )在x 0某邻域内单调增加； (B) y (x )在x 0某邻域内单调减少； (C) y (x )在x 0取极大值；(D) y (x )在x 0取极小值.6.若f (x )的导函数是sin x ，则f (x )有一个原函数是[ ](A) x sin 1+; (B) x sin 1-; (C) x cos 1-; (D) x cos 1+.二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题, 每小题4分, 共36分）1.．________)11(lim =-+∞→xx x x 2.=+=x xx f 的可去间断点是111)(__________.3.______________,1arctan ==dy xy 则设 . 4.的值是dx xe x⎰-10_________.5.．________sin tan lim20=-→xx x x x 6..________,~sin 02=α→α+则时，x x x x 7..____________)3)(2(0=++⎰+∞x x dx8..____________,322232=⎩⎨⎧-=-=dxyd tt y t t x 则设9.._________________1)1(41==-=-y y y xdx dy 的特解是满足条件微分方程三、(8分)计算不定积分dx xxx ⎰+221arctan . 四、(8分)求曲线412623++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分)求微分方程xxey y y -=+'+''323的通解.六、(10分)在[0，1]上给定函数2x y =，问t 为何值时,如图所示 阴影部分的面积1S 与2S 的和最小，何时最大？并求此时两图形 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
七、(6分)设上连续在],[)(b a x f ,且不恒为常数内可微在又),()(b a x f ,)()(b f a f =且.试证:.0)(),(>ξ'∈ξ∃f b a 使一、1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)二、1.2e 2.0=x 3.dx xdy 211+-= 4.e 21- 5.316..25=α7. 23ln 8..)1(4322t dx y d -= 9.)ln 41(x x y -= 9*.k j i b a35--=⨯三、2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C -+-+四、),(+∞-∞内为上升曲线. 所以凸区间为]2,( -∞ , 凹区间为),2[∞+ , 拐点为)12,2( .五、)323(2221x x e e C e C y x x x-++=---.六、1,()2t S t =最小 所求体积为 =316π十、高等数学试题 2007/1/14一、选择题（本大题20分，共有5小题，每小题4分） 1．设数列{x n }收敛，{y n }发散，则必有[ ]成立。
（A ）lim n n n x y →∞存在； （B ）limn n n y x →∞存在；（C ）lim()n n n x y →∞+不存在；（D ）lim n n nx y →∞存在。
2.设11,0,()2,0,11sin ,0,x e x f x x x x x ⎧⎪+<⎪==⎨⎪⎪+>⎩则x = 0是f (x )的[ ]。
(A)可去间断点；(B) 跳跃间断点；(C) 无穷间断点； (D) 连续点。
3.设x 在点x 0处有增量x ，函数y = f (x )在x 0处有增量y ，又f (x 0) 0,则当x 0时，y 是该点微分d y 的[ ](A)高阶无穷小；(B) 等价无穷小；(C) 低阶无穷小；(D) 同阶但不是等价无穷小。
4.设f (x )在(, +)上二阶可导且为奇函数，又在(0, +)上f (x 0) > 0，f (x 0) > 0，则在(, 0)上必有[ ](A) f (x 0) < 0, f (x 0) < 0；(B) f (x 0) > 0, f (x 0) > 0；(C) f (x 0) < 0, f (x 0) > 0；(D) f (x 0) > 0, f (x 0) < 0。
5.设0α=⎰，120x dx β=⎰，γ=⎰，则有关系式[ ]成立。
(A) > > ； (B) > > ；(C) > > ；(D) > > . 二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）1.120lim(1sin 3)________xx x →+=． 2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)内共有______个根.3.7222(1)sin x xdx ππ-+=⎰_________.4.________=．5.球体半径的增长率为0.02m/s ，当半径为2 m 时，球体体积的增长率为_________.6.微分方程y + 2y 3y = 0的通解为y = _________. 三、计算题(6分 4 = 24分)1.设2321ln ,.t x t d yy t dx ==⎧⎨=⎩求 2.求2011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭. 3.求2.4．求微分方程(x – y )y d x – x 2d y = 0的通解.四、(10分)设y = x e x (0 x < +)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积.五、(8分)在曲线上任一点M (x , y )处切线在y 轴上的截距为2xy 2, 且曲线经过点M 0(1, 2)，求此曲线的方程.六、(8分)设2,01(),1,x x f x ax b x ⎧≤≤=⎨+>⎩适当选取a , b 值，使f (x )成为可导函数，令0()()x x f t dt ϕ=⎰，并求出(x )的表达式.七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f (a ) > 0, f (b ) > 0, 试证：(a , b )，使 f () = 0.答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32e 2.1 3.2π4.2C + 5.0.32 6.C 1e3x+ C 2e x .三、1. 9. 2.13. 3.12arcsin 22x C -+. 4.xy x Ce =.四、极大值1(1)y e =, 拐点222,e ⎛⎫⎪⎝⎭，面积223A e e =-，体积245134V e e π⎛⎫=- ⎪⎝⎭。