常微分方程ppt (16)

(2)若Jordan块为二阶时，标准型为
(5.3.16)
其通解为
(5.3.17) 仍对应的是零件即奇点 对应的是 不再是轨线 ，
轴为轨线，但是 得出：
轴
时消去
(5.3.18) 由上式知： 又因为 所以有 因此所有轨线均切 轴于 点，这种奇点 时为稳定的退化结点，
称为退化结点 。且当 当
时为不稳定的退化结点。
解之得
K 1 1, K 2 4 ， 即轨线切 y x 或 y 4 x 进入奇点。
在 x 轴的正半轴上
dx dt
y 0 x 0
dy 2 x 0, dt
y 0 x 0
4x 0
在 x 轴的负半轴上
dx dt
y 0 x 0
dy 2 x 0, dt
y 0 x 0
线性方程组
在(1,1)邻域 内轨线几乎 平行
例5.3.1
用Maple描出系统 (5.3.6) 在奇点附近轨线的相图。
with(DEtools): a:=1; DE931:=[diff(x(t),t)=-x(t), diff(y(t),t)=-2*y(t)]: DEplot(DE931,[x(t),y(t)], t=-10..10, [[x(0)=0,y(0)=2*a],[x(0)=0,y(0)=-2*a],[x(0)=-2*a,y(0)=0], [x(0)=2*a,y(0)=0],[x(0)=a,y(0)=0.01*a],[x(0)=a,y(0)=0.04*a], [x(0)=a,y(0)=0.1*a],[x(0)=a,y(0)=0.25*a],[x(0)=a,y(0)=a], [x(0)=a,y(0)=-0.01*a],[x(0)=a,y(0)=-0.04*a], [x(0)=a,y(0)=-0.1*a], [x(0)=a,y(0)=-0.25*a], [x(0)=a,y(0)=-a], [x(0)=-a,y(0)=0.01*a], [x(0)=-a,y(0)=0.04*a],[x(0)=-a,y(0)=0.1*a], [x(0)=-a,y(0)=0.25*a], [x(0)=-a,y(0)=a], [x(0)=-a,y(0)=-0.01*a], [x(0)=-a,y(0)=-0.04*a], [x(0)=-a,y(0)=-0.1*a],[x(0)=-a,y(0)=-0.25*a],[x(0)=-a,y(0)=-a]], x=-8*a..8*a,y=-8*a..8*a, stepsize=0.05, dirgrid=[21,21], color=red,linecolor=blue, arrows=SLIM);
（Jordan）标准型，且若当标准型的形式由 的特征根的不同情况而具有以下几种形式：
因而对系统（5.3.5）作变换 即 ，其中
是上边所说的实可逆矩阵，则系统 (5.3.5)变为:
(5.3.10) 从 而变换的几种形式就能容易的得出
平面系统（5.3.10）的轨线结构，至于 原方程组(5.3.5)的奇点及附近的轨线结构只须 返回到就行了。 用变换
因此，我们可假设
是(5.3.1)的奇点，且
只须讨论(5.3.1)的奇点
及其邻域的轨线
性态即可。所以设(5.3.1)中的右端函数满足： (5.3.4)
如果
均是
的线形函
数。我们称之为线性系统，即
(5.3.5)
5.3.1 几个线性系统的计算机相图
一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻 域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地 画出其图形，给我们一个直观的形象。 Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软 件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定 初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。 先看一个常点附近轨线的形状.
4x 0
在 y 轴的正半轴上
dx dt
x 0 y 0
dy y 0, dt
x 0 y 0
7 y 0
在 y 轴的负半轴上
dx dt
x 0 y 0
dy y 0, dt
x 0 y 0
7 y 0
所以分析得出轨线切 y x 进入 (0,0)
例 5.3.5
判断下面系统的奇点类型并作出相图。
dx dt 2 x y dy 4 x 7 y dt
解:由定义知 p 9 0, q 18 0, 9 0 ，所以 奇点 (0,0) 稳定结点，为了确定轨线进入原点 的方向，令 K y ' 为轨线的切线斜率。由方程 知必满足 dy 4 x 7 y 4 7 K y K 当x 0, y 0时 K dx 2 x y 2 K x
奇点附近解轨线比较复杂
5.3.2
平面线性系统的初等奇点
（5.3.5）
考虑到一般的 平面线性系统
其中
如果 则称
为常数矩阵 。
，则 是系统
的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点.而
非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线， 这时的奇点称为系统的高阶奇点。
下边讨论系统（5.3.5）的初等奇点。 根据线性代数的理论，必定存在非奇异 实矩阵 ，使得 成为 的若当
统的某一解 ， 满足：
则点
一定是系统的奇点。 一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较 均 (5.3.2)
复杂的。又因为对于系统的任何奇点 可用变换
把（5.3.1）变为：
(5.3.3)
且(5.3.3)的奇点 奇点
即对应于(5.3.1)的
.又因为变换(5.3.2)只是一个平
移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。
由于变换 不改变奇点的位置与类 型 ，因此我们只对线性系统的标准方程组给出 讨论。
设
的特征方程为：
记
则特征方程为
，特征根为 (5.3.11)
由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:
1. 特征根为3.12)
容易求出其通解为
（5.3.13） 对应于零解， 轴正负半轴是轨线；
稳定焦点和不稳定焦点
(2)
这时特征值是一对纯虚数, 于是系统在极坐标下的通 解为：
为任意的常数且
。显然这是一族以原点
为中心的同心圆，这样的奇点称为中心，
中心是稳定奇点但不是渐近稳定的。
归纳上边的讨论得出，系统(5.3.5)的奇点 是初等奇点时候根据它的系数矩阵 特征方程(5.3.11)有如下分类： 1）当 2）当 定的， 3)当 时， 且 为鞍点； 时是结点且 不稳定的； 时 是稳
的
且
是临界结点或退
化结点,且
定的；
是稳定的，
是不稳
4)当 为稳定的， 5)当 由此知道参数 且
时是 时， 平面，被
焦点且 是中心。 轴，正 轴
为不稳定的;
及曲线
分成了几个区域，分
别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区， 中心区，退化和临界结点区等等，
但是
点。
平面的
轴对应的是系统的高阶奇
奇点类型和稳定性在参数p-q平面的分类示意图
with(DEtools): a:=0.11; c:=-1; DE931:=[diff(x(t),t)=c*x(t)-3*y(t), diff(y(t),t)=-3*x(t)+c*y(t)]: DEplot(DE931,[x(t),y(t)], t=-10..10, [[x(0)=-8*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-7.8*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-7.5*a], [x(0)=-8*a,y(0)=-7*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-6*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-5*a], [x(0)=-8*a,y(0)=-4*a],[x(0)=8*a,y(0)=8*a],[x(0)=8*a,y(0)=7.8*a], [x(0)=8*a,y(0)=7.5*a],[x(0)=8*a,y(0)=7*a],[x(0)=8*a,y(0)=6*a], [x(0)=8*a,y(0)=5*a],[x(0)=8*a,y(0)=4*a],[x(0)=4*a,y(0)=8*a], [x(0)=5*a,y(0)=8*a],[x(0)=6*a,y(0)=8*a],[x(0)=7*a,y(0)=8*a], [x(0)=7.5*a,y(0)=8*a],[x(0)=7.8*a,y(0)=8*a],[x(0)=8*a,y(0)=8*a], [x(0)=-7.8*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-7.5*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-7*a,y(0)=-8*a], [x(0)=-6*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-5*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-4*a,y(0)=-8*a]], x=-8*a..8*a,y=-8*a..8*a, stepsize=0.05, dirgrid=[21,21], color=red,linecolor=blue, arrows=SLIM);
图5.11(a)
图5.11(b)
我们把这样的奇点称为稳定结点。
（2），
同号均为正数
这时关于(1)的讨论在此适用只需将
改为
所以此时的奇点称为不稳定结点，
轨线分布如图5.11类似，仅是图上的箭头反向。
2. 为异号实根 这时仍有(5.3.13)和(5.3.14)，所以两个坐标轴的
正负半轴仍为轨线，但是由于 的轨线成为双曲型的,且若 则当 若 时， ，则当 时， ，奇点附近
轨线均以
轴
轴为渐近线，系统在原点及
附近的轨线分布如:
图5.12(a)
图5.12(b)
这种奇点称为鞍点，它是不稳定奇点。
3 .
为重根
这时由Jordan块的不同分为两种：
(1) 标准型为
(5.3.15) 且当 时，
即
是渐近稳定的； 时 为不稳定的。此时的
反之，当
奇点称为临界结点（星形结点）.
临界结点（星形结点）.
§5.3平面线性系统的奇点及相图
本节我们仍考虑被称为平面系统的二维自治系统
(5.3.1) 其中 ， 在上 连续且满足解的
存在唯一性条件。 为了研究系统（5.3.1）的轨线的定性性态， 必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如 上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，
不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系
常点附近解轨线几乎平行
with(DEtools): a:=0. 1; DE931:=[diff(x(t),t)=-x(t), diff(y(t),t)=-2*y(t)]: DEplot(DE931,[x(t),y(t)],t=0..100, [[x(0)=1-a,y(0)=1+a],[x(0)=1-a+a/5,y(0)=1+a], [x(0)=1-a+2*a/5,y(0)=1+a],[x(0)=1-a+3*a/5,y(0)=1+a], [x(0)=1-a+4*a/5,y(0)=1+a],[x(0)=1-a+5*a/5,y(0)=1+a], [x(0)=1-a+6*a/5,y(0)=1+a],[x(0)=1-a+7*a/5,y(0)=1+a], [x(0)=1-a+8*a/5,y(0)=1+a],[x(0)=1-a+9*a/5,y(0)=1+a], [x(0)=1-a+10*a/5,y(0)=1+a],[x(0)=1+a,y(0)=1+a-a/3], [x(0)=1+a,y(0)=1+a-2*a/3],[x(0)=1+a,y(0)=1+a-3*a/3], [x(0)=1+a,y(0)=1+a-4*a/3],[x(0)=1+a,y(0)=1+a5*a/3]], x=1-a..1+a,y=1-a..1+a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21], color=red, linecolor=blue, arrows=SLIM);
相图见图 5.17 。
图 5.17
例5.3.6
画出下面的线性系统的奇点附近相图
解: 容易算出
所以
是系统的鞍点。
我们求解如下：
(当
得到
时
)
.同样的可以分析画出奇点附
近的轨线分布如图5.18所表示。
图5.18
作业
P292
习题 5.3
5
课堂练习 判断下面的线性系统奇点 的类型及稳定性
C=-1
鞍点
退化结点
4.
这时系统的标准型为
(5.3.19)
取极坐标变换
,(5.3.19)即化为:
(5.3.20)
下边分两种情况讨论:
（1） 此时解(5.3.20)得出
其中
是任意常数，消去
得
这是一族对数螺线，这样的奇点称为焦点， 且当 时是稳定焦点， 时是不稳定焦点，
的正负决定了 增加时轨线是顺时针还是逆 时针绕原点旋转的。
其中
是任意常数， 对应的 对应的
轴正负半轴都是轨线；
当
时候，再分两种情况讨论：
（1）， 这时消去
同号且均为负数 得
（5.3.14） 顶点的抛物线，且
所以轨线均为以 当 当 即规线切 当 即轨线切 时 轴趋于 时由 时 轴趋于
点。
点。
且由于(5.3.14)知此时原点
是渐近稳定的，
所以系统在原点及附近的相图如下图所示：