2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学二模试卷【答案版】

2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列四个有关环保的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列各式中，计算错误的是（）
A．(−a)−1=1
B．a3•a4＝a7
a
C．（2a2）3＝8a6D．a3÷a2＝a
3．平面直角坐标系中，在第二象限的点是（）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
4．若实数a、b满足ab＜0，则下列事件是随机事件的是（）
A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＜0D．a＞0，b＜0或a＜0，b＞0
5．如图是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从中取走一些小正方体之后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则最多可以取走的小正方体的块数是（）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，小红用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，她先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝2cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）
A．2cm B．2√2cm C．√2cm D．4cm
7．某家电销售商店周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台），如果两种品牌冰箱周销售量的方差为S12，S22，则S12与S22的大小关系是（）
A．S12＞S22B．S12＜S22
C．S12=S22D．不能确定
8．如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理……；若从如图1开始，经过n次整理后，得到的顺序与如图1相同，则n的值可以是（）
A．11B．12C．13D．14
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9．﹣2023的绝对值是．
10．随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米＝
0.000014毫米，0.000014用科学记数法表示为．
11．分解因式：3a2﹣12＝．
12．若√(x−1)2=1﹣x，则x的取值范围是．
13．已知一个多边形的内角和比外角和多180°，则它的边数为．
14．已知矩形周长为12，面积为6，则矩形的对角线长为．
15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．
16．如图，反比例函数y=k
x 的图象（部分）经过点A（2，1），则
k
x
＞
1
2
x的解集是．
17．如图，将正方形ABCD沿着BE、BF翻折，点A、C的对应点分别是点A′、C′，若∠A′BC′＝14°，则∠EBF＝．
18．如图，⊙O的直径为m，△ABC是⊙O的内接三角形，AB的长为x，AC的长为y，且x+y＝6，AD⊥BC于点D，AD＝1，则m的最大值为．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）
19．计算：
（1）√12−|2−tan60°|+4sin30°；
（2）1−a−2a ÷a 2−4
a 2+a
． 20．解不等式组{2x +3≥112
x +3＜5，并写出该不等式组的整数解． 21．某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额（单位：万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a ．设营业员该月的销售额为x （单位：万元），甲部门营业员销售额数据的频数
分布直方图如下（数据分成5组：10≤x ＜15，15≤x ＜20，20≤x ＜25，25≤x ＜30，30≤x ≤35）： b ．甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x ＜25这一组的是：
21.3 22.1 22.6 23.7 24.3 24.3 24.8 24.9
c ．甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m 的值；
（2）在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n 1，在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n 2，比较n 1，n 2的大小，并说明理由；
（3）若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．
22．烟花三月下扬州，又到一年扬马时，2023年4月16日，扬州鉴真国际半程马拉松比赛正式鸣枪，来自世界各地的2万名跑者在扬州最美的季节畅意奔跑，外地的江女士也来参加扬马，借此机会她还想在扬州游玩一日，领略江南的美景，并购买一件纪念品，经网友推荐，她计划在“①瘦西湖”“②东关街”“③大明寺”“④个园”四个景点中挑选一个景点游玩：在扬州特色的纪念品：“a 漆器”“b 剪纸”“c 乱
针绣”三种中挑选一件留作纪念．
（1）四个景点中江女士去瘦西湖的概率是；
（2）求江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率，请用列表或画树状图说明．
23．为培养学生问题意识和良好的个性品质，增强创新意识，掌握科学研究的方法，推进其对自然、社会、自我的整体认识与体验，某中学组织学生去离学校15km的综合实践教育基地参加活动．先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度分别是多少？
24．如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME＝AM，连接DE，CM．
（1）求证：BD∥CE；
（2）当AE＝2AB，CM∥DE时，试说明四边形CEDM为矩形．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，延长ED、AC交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tan B＝2，DF=10
3
，求⊙O的半径长．
26．（1）请用一副三角板画一个角等于105°；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作一个角等于15°，不写作法，保留作图痕迹：
（3）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，作边AC的垂直平分线MN，以点B为圆心，BC长为半径画弧交MN于点E，连接BE，请按要求画出图形，并求出∠ABE的度数．
27．在平面直角坐标系中，设函数图象T 上的点P 坐标为（x ，y ）．我们不妨约定：点P 的纵坐标与横坐标的差“y ﹣x ”叫做点P 的“双减差”，而图象T 上的所有点的“双减差”的最小值称为函数图象T 的“幸福数”．例如：抛物线y ＝x 2上有点P （3，9），则点P 的“双减差”为6；当x ≥0时，y ﹣x ＝x 2﹣x ＝（x −12）2−14；该抛物线的“幸福数”为−14．据约定，解答下列问题．
（1）求函数y =6x +x （1≤x ≤2）图象的“幸福数”； （2）若直线y ＝kx +5（﹣1≤x ≤2）的“幸福数”为k 2（k ＞1），求k 的值；
（3）设抛物线y ＝x 2+bx +c 顶点的横坐标为m ，且该抛物线的顶点在直线y ＝﹣2x +2上，当2m ﹣1≤x ≤12
m +3时，抛物线y ＝x 2+bx +c 的“幸福数”是﹣4，求该抛物线的解析式．
28．【阅读材料】
由条件易证△AOC ≌△BOD ，从而得到OD ，即点O 是CD 的中点请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知△ABC 中，∠B ＝90°，点E 在边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，连接EF 交AC 于点D ．
（1）如图1，若AB ＝BC ，AE ＝CF ，求证：点D 是EF 的中点；
（2）如图2，若AB ＝2BC ，AE ＝2CF ，探究CD 与BE 之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上一点，点E 是AB 上一点，点F 在BC 延长
线上，AB ＝8，AE ＝2，AE CF =AB BC ，当点C 从点B 运动到点A ，点D 运动的路径长为 ，CF 扫
过的面积为 ．
2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列四个有关环保的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意．
故选：D．
2．下列各式中，计算错误的是（）
A．(−a)−1=1
a
B．a3•a4＝a7
C．（2a2）3＝8a6D．a3÷a2＝a
解：A．(−a)−1=−1
a
，故该选项错误，符合题意；
B．a3⋅a4＝a7，故该选项正确，不符合题意；
C．（2a2）3＝8a6，故该选项正确，不符合题意；
D．a3÷a2＝a，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
3．平面直角坐标系中，在第二象限的点是（）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）解：第二象限内的点横坐标小于0，坐标轴大于0，
∴（﹣1，2）是第二象限的点，其他的不是．
故选：C．
4．若实数a、b满足ab＜0，则下列事件是随机事件的是（）
A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＜0D．a＞0，b＜0或a＜0，b＞0
解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，
A、∵ab＜0，∴不可能使得a＞0，b＞0，∴该事件是不可能事件，故A不符合题意；
B、∵ab＜0，∴可能使得a＞0，b＜0，∴该事件是随机事件，故B符合题意；
C、∵ab＜0，∴不可能使得a＜0，b＜0，∴该事件是不可能事件，故C不符合题意；
D、∵ab＜0，∴使得a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，∴该事件是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
5．如图是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从中取走一些小正方体之后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则最多可以取走的小正方体的块数是（）
A．1B．2C．3D．4
解：原几何体的左视图是：
．
故最多可以取走的小正方体的块数是3，余下几何体与原几何体的左视图相同，
故选：C．
6．如图，小红用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，她先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝2cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）
A．2cm B．2√2cm C．√2cm D．4cm
解：如图1，图2中，连接AC，
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB ＝BC ，
∵∠B ＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝BC ＝AC ＝2cm ，
在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B ＝90°，
∴AC =√AB 2+BC 2=√22+22=2√2(cm)，
故选：B ．
7．某家电销售商店周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台），如果两种品牌冰箱周销售量
的方差为S 12，S 22，则S 12与S 22的大小关系是（ ）
A ．S 12＞S 22
B ．S 12＜S 22
C ．S 12=S 22
D ．不能确定
解：甲种品牌冰箱的平均数为：16×(7+10+8+10+12+13)=10（台），
甲的方差为：
S 12=16×[(7−10)2+(10−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(13−10)2]=133
乙种品牌冰箱的平均数为：16×(9+10+11+9+12+9)=10（台），
乙的方差为：
S 12=16×[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(9−10)2+(12−10)2+(9−10)2]=43
， ∵133＞43， ∴S 12＞S 22，
故选：A ．
8．如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理……；若从如图1开始，经过n 次整理后，得到的顺序与如图1相同，则n 的值可以是（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
解：观察图1和图3可知，经过2次整理，语文的位置不变，后面4本数的顺序恰好反过来， ∴再经过2次整理，在图3的基础上，4本数的顺序又会反过来，即变为图1的顺序，
∴从如图1开始，经过n 次整理后，得到的顺序与如图1相同，则n 为4的倍数，
故选：B ．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9．﹣2023的绝对值是 2023 ．
解：﹣2023的绝对值是2023，
故答案为：2023．
10．随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米＝0.000014毫米，0.000014用科学记数法表示为 1.4×10﹣
5 ． 解：0.000014＝1.4×10﹣
5． 故答案为：1.4×10﹣
5． 11．分解因式：3a 2﹣12＝ 3（a +2）（a ﹣2） ．
解：3a 2﹣12＝3（a +2）（a ﹣2）．
12．若√(x −1)2=1﹣x ，则x 的取值范围是 x ≤1 ．
解：∵√(x −1)2=1﹣x ，∴1﹣x ≥0，解得：x ≤1．
故答案为：x ≤1．
13．已知一个多边形的内角和比外角和多180°，则它的边数为 5 ．
解：设这个多边形是n 边形，
根据题意得，（n ﹣2）•180°＝360°+180°，解得n ＝5．
故答案为：5．
14．已知矩形周长为12，面积为6，则矩形的对角线长为 2√6 ．
解：设矩形的长为a ，宽为b ，
∵矩形周长为12，面积为6，
∴a +b ＝6，ab ＝6，
∴矩形的对角线长为：√a 2+b 2=√(a +b)2−2ab =√62−2×6 =2√6
故答案为：2√6．
15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重
y 两，根据题意可列方程组为 {9x =11y (10y +x)−(8x +y)=13
． 解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得：
{9x =11y (10y +x)−(8x +y)=13
， 故答案为：{9x =11y (10y +x)−(8x +y)=13
． 16．如图，反比例函数y =k x 的图象（部分）经过点A （2，1），则k x ＞12x 的解集是 0＜x ＜2或x ＜﹣2 ．
解：设直线OA 的解析式为：y ＝k 1x ，
把点A （2，1）代入y ＝k 1x ，
得k 1=12，
∴y =12
x ，
点A （2，1）关于原点O 对称的点的坐标为（﹣2，﹣1），
补全图象如下：
由在第一象限内的图象可得：k x
＞12x 的解集为0＜x ＜2， 由在第三象限内的图象可得：k x ＞12x 的解集为x ＜﹣2，
综上，k x ＞12x 的解集为0＜x ＜2或x ＜﹣2， 故答案为：0＜x ＜2或x ＜﹣2．
17．如图，将正方形ABCD 沿着BE 、BF 翻折，点A 、C 的对应点分别是点A ′、C ′，若∠A ′BC ′＝14°，则∠EBF ＝ 38° ．
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC ＝90°，
由折叠可知，∠ABE ＝∠A ′BE ，∠CBF ＝∠C ′BF ，
∵∠A ′BF ＝∠C ′BF ﹣∠A ′BC ′，∠ABE +∠A ′BE +∠A ′BF +∠CBF ＝90°，
∴2∠A ′BE +2∠C ′BF ﹣∠A ′BC ′＝90°，即：2∠A ′BE +2∠C ′BF ＝90°+∠A ′BC ′＝104°， ∴∠A ′BE +∠C ′BF ＝52°，
∴∠EBF ＝∠A ′BE +∠C ′BF ﹣∠A ′BC ′＝52°﹣14°＝38°，
故答案为：38°．
18．如图，⊙O 的直径为m ，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 的长为x ，AC 的长为y ，且x +y ＝6，AD ⊥
BC 于点D ，AD ＝1，则m 的最大值为 9 ．
解：如图：过点A 作⊙O 的直径AE ，连接CE ，
则AE ＝m ，∠ACE ＝90°，∠ABD ＝∠AEC ，
∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB ＝∠ACE ＝90°，
∴△ABD ∽△AEC ，
∴
AB AE =AD AC ， ∴x m =1y
， ∴m ＝xy ，
∵x +y ＝6，
∴y ＝6﹣x ，
∴m ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ＝﹣（x ﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴当x ＝3时，m 取最大值，最大值为9，
故答案为：9．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）
19．计算：
（1）√12−|2−tan60°|+4sin30°；
（2）1−a−2a ÷a 2−4
a 2+a
． 解：（1）√12−|2−tan60°|+4sin30°=2√3−|2−√3|+4×12 =2√3−(2−√3)+2
=2√3−2+√3+2 =3√3；
（2）1−a−2a ÷a 2−4a 2+a
=1−a−2a ×a(a+1)(a+2)(a−2) =1−a+1a+2 =a+2−a−1a+2 =1a+2． 20．解不等式组{2x +3≥112x +3＜5，并写出该不等式组的整数解． 解：{2x +3≥1①
12x +3＜5②， 解不等式①得x ≥﹣1，
解不等式②得x ＜4，
∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜4，
∴不等式组的整数解有﹣1，0，1，2，3．
21．某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额（单位：万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a ．设营业员该月的销售额为x （单位：万元），甲部门营业员销售额数据的频数
分布直方图如下（数据分成5组：10≤x ＜15，15≤x ＜20，20≤x ＜25，25≤x ＜30，30≤x ≤35）： b ．甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x ＜25这一组的是：
21.3 22.1 22.6 23.7 24.3 24.3 24.8 24.9
c ．甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m 的值；
（2）在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n 1，在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n 2，比较n 1，n 2的大小，并说明理由；
（3）若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．
解：（1）甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，排在第10、11位的两个数分别为23.7，24.3，故中位数m =23.7+24.32
=24； （2）在甲部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为11人，故n 1＝11；
∵乙部门的平均数为23.0，中位数为22.7，
∴在乙部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为不少于11人，故n 2≤10，
∴n 2＜n 1；
（3）100×23.0＝2300（万元），
答：估计乙部门该月的销售总额为2300万元．
22．烟花三月下扬州，又到一年扬马时，2023年4月16日，扬州鉴真国际半程马拉松比赛正式鸣枪，来自世界各地的2万名跑者在扬州最美的季节畅意奔跑，外地的江女士也来参加扬马，借此机会她还想在扬州游玩一日，领略江南的美景，并购买一件纪念品，经网友推荐，她计划在“①瘦西湖”“②东关街”“③大明寺”“④个园”四个景点中挑选一个景点游玩：在扬州特色的纪念品：“a 漆器”“b 剪纸”“c 乱针绣”三种中挑选一件留作纪念．
（1）四个景点中江女士去瘦西湖的概率是 14 ；
（2）求江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率，请用列表或画树状图说明．
解：（1）四个景点中江女士去瘦西湖的概率是14． 故答案为：14． （2）根据题意画树状图，如图所示：
∵共有12种等可能的情况，其中江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的只有一种情况，
∴江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率为112．
23．为培养学生问题意识和良好的个性品质，增强创新意识，掌握科学研究的方法，推进其对自然、社会、自我的整体认识与体验，某中学组织学生去离学校15km 的综合实践教育基地参加活动．先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h ，先遣队和大队的速度分别是多少？
解：设大队的速度为x km /h ，
由题意得：15x −151.2x =0.5，
解得：x ＝5，经检验x ＝5是原分式方程的解．
所以1.2x ＝6，
答：先遣队的速度为6km /h ，大队的速度为5km /h ．
24．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是对角线BD 上一点，连接AM 并延长至点E ，使ME ＝AM ，连接DE ，CM ．
（1）求证：BD ∥CE ；
（2）当AE ＝2AB ，CM ∥DE 时，试说明四边形CEDM 为矩形．
（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，
∵平行四边形ABCD ，
∴AO ＝OC ，
∵ME ＝AM ，
∴MO 是△ACE 的中位线，
∴MO ∥CE ，
∴BD ∥CE ．
（2）解：∵平行四边形ABCD ，
∵AE＝2ME＝2AM，
∴MO是△ACE的中位线，
∴MO∥CE，
∴BD∥CE．
∵CM∥DE，
∴四边形CEDM是平行四边形，
∵AE＝2AB，AE＝2ME＝2AM，
∴AB＝ME，
∵平行四边形ABCD，
∴AB＝DC，
∴CD＝ME，
∴四边形CEDM为矩形．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，延长ED、AC交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tan B＝2，DF=10
3
，求⊙O的半径长．
（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠ODC ＝∠ACB ，
∴∠ODC ＝∠B ，
∴AB ∥OD ，
∵DE ⊥AB ，
∴OD ⊥DE ，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：连接AD ，
∵AC 是⊙O 直径，
∴∠ADC ＝90°，
∵AB ＝AC ，
∴BD ＝DC ，
∵tan B ＝2，
∴DE BE =AD BD =2，
设BE ＝x ，则DE ＝2x ，
∴BD =√5x ，
∴AD =2√5x ，
∴AB =√AD 2+BD 2=5x ，
∴AC ＝5x ，AE ＝4x ，
∴OD ＝2.5x ，
∵AB ∥OD ，
∴△ODF ∽△AEF ，
∴OD AE =DF EF ，
∴2.5x 4x =103103+2x ， ∴x ＝1，
∴OD ＝2.5x ＝2.5，
即⊙O 的半径长2.5．
26．（1）请用一副三角板画一个角等于105°；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作一个角等于15°，不写作法，保留作图痕迹：
（3）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，作边AC 的垂直平分线MN ，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧交MN 于点E ，连接BE ，请按要求画出图形，并求出∠ABE 的度数．
解：（1）让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如图所示，即：45°+60°＝105°；
（2）作线段AB ，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画弧，交于一点C ，可得△ABC 为等边三角形，则∠BAC ＝60°，
以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D 、点E ，再分别以点D 、点E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，交于一点F ，
∴AF 平分∠BAC ，则∠BAF =∠CAF =12∠BAC =30°，
连接AF 交DE 于点G ，再分别以点G 、点E 为圆心，大于12GE 为半径画弧，交于一点H ，连接AH ， ∴AH 平分∠BAF ，则∠BAH =∠HAF =12∠BAF =15°，
即：∠BAH 即为所求；
（3）按要求画出图形，如图，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
过点B作BF⊥MN，
∵MN垂直平分AC，
∴∠ACB＝∠BFG＝∠FGC＝90°，
∴四边形BFGC为矩形，则BF=CG=1
2
AC=
1
2
BC=
1
2
BE，BF∥AC，
∴cos∠FBE=1
2
，∠FBA＝∠A＝45°，
∴∠FBE＝60°，
∵BE＝BE′，BF⊥MN，
∴BF平分∠EBE′，
∴∠FBE＝∠FBE′＝60°，
∴∠ABE′＝∠FBE′+∠FBA＝105°，
∠ABE＝∠FBE﹣∠FBA＝15°，
∴∠ABE的度数为15°或105°．
27．在平面直角坐标系中，设函数图象T上的点P坐标为（x，y）．我们不妨约定：点P的纵坐标与横坐标的差“y﹣x”叫做点P的“双减差”，而图象T上的所有点的“双减差”的最小值称为函数图象T的“幸福数”．例如：抛物线y＝x2上有点P（3，9），则点P的“双减差”为6；当x≥0时，y﹣x＝x2﹣
x＝（x−1
2）2−
1
4
；该抛物线的“幸福数”为−
1
4
．据约定，解答下列问题．
（1）求函数y =6x
+x （1≤x ≤2）图象的“幸福数”； （2）若直线y ＝kx +5（﹣1≤x ≤2）的“幸福数”为k 2（k ＞1），求k 的值；
（3）设抛物线y ＝x 2+bx +c 顶点的横坐标为m ，且该抛物线的顶点在直线y ＝﹣2x +2上，当2m ﹣1≤x ≤12
m +3时，抛物线y ＝x 2+bx +c 的“幸福数”是﹣4，求该抛物线的解析式．
（1）解：由y =6x +x 得y ﹣x =6x ，
∵当1≤x ≤2时，6x 随x 的增大而减小， ∴x ＝2时，63取最小值3，即函数y =6x
+x （1≤x ≤2）图象的“幸福数”是3； （2）由y ＝kx +5可得y ﹣x ＝（k ﹣1）x +5，
令W ＝y ﹣x ，则W ＝（k ﹣1）x +5，
∵k ＞1，
∴W 随x 的增大而增大，
∵﹣1≤x ≤2，
∴x ＝﹣1时，W 取最小值﹣（k ﹣1）+5，
∴k 2＝﹣（k ﹣1）+5，
∴k ＝﹣3或2，
∵k ＞1，
∴k ＝2；
（3）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 顶点的横坐标为m ，且该抛物线的顶点在直线y ＝﹣2x +2上，
∴顶点坐标为（m ，﹣2m +2）
∴抛物线为y ＝（x ﹣m ）2﹣2m +2＝x 2﹣2mx +m 2﹣2m +2，
令w ＝y ﹣x ＝x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣2m +2，对称轴是直线x =
2m+12， ∵2m ﹣1≤x ≤12m +3，
∴m ≤83，
①当
2m+12＞12m +3时，即m ＞5，不合题意舍去； ②当2m+12＜2m ﹣1，即32＜m ≤83， 此时当x ＝2m ﹣1，w 取最小值﹣4，
∴（2m ﹣1）2﹣（2m +1）（2m ﹣1）+m 2﹣2m +2＝﹣4，
解得m ＝2或4，
∵32＜m ≤83， ∴m ＝2，
∴y ＝x 2﹣4x +2．
③当2m ﹣1≤
2m+12≤12m +3，即m ≤32， 此时当x =
2m+12，w 取最小值﹣4， ∴（2m+12）2﹣（2m +1）（2m+12）+m 2﹣2m +2＝﹣4，
解得m =2312，
∴y ＝x 2−236x +265144．
综上所述，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +2或y ＝x 2−
236x +265144． 28．【阅读材料】
由条件易证△AOC ≌△BOD ，从而得到OD ，即点O 是CD 的中点请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知△ABC 中，∠B ＝90°，点E 在边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，连接EF 交AC 于点D ．
（1）如图1，若AB ＝BC ，AE ＝CF ，求证：点D 是EF 的中点；
（2）如图2，若AB ＝2BC ，AE ＝2CF ，探究CD 与BE 之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上一点，点E 是AB 上一点，点F 在BC 延长线上，AB ＝8，AE ＝2，
AE CF =AB BC ，当点C 从点B 运动到点A ，点D 运动的路径长为 52π ，CF 扫过的面积为 9
2π ．
（1）证明：∵AB ＝BC ，∠B ＝90°，
∴∠A ＝∠ACB ＝45°，
过点E 作EG ∥BF ，则∠AGE ＝∠ACB ＝45°，∠AEG ＝∠B ＝90°，
∴△AEG 是等腰直角三角形，则AE ＝GE ，
∵AE ＝CF ，
∴GE ＝CF ，
∵∠AGE ＝∠ACB ＝45°，
∴∠DGE ＝∠DCF ＝135°，
又∵∠GDE ＝∠CDF ，
∴△DGE ≌△DCF ，
∴DE ＝DF ，
∴点D 是EF 的中点；
（2）过点E 作EG ∥BF ，则△AEG ∽△ABC ，
∴AE EG =AB BC ，
∵AB ＝2BC ，AE ＝2CF ，则AE ＝2EG ，
∵EG ∥BF ，
∴∠AGE ＝∠ACB ，∠AEG ＝∠B ＝90°，
∴∠DGE ＝∠DCF ，
又∵∠GDE ＝∠CDF ，
∴△DGE ≌△DCF （AAS ），
∴CD ＝DG ，
∵EG ∥BF ，
∴AG AE =GC BE =2CD BE ，
∵AE ＝2EG ，则AG =√AE 2+EG 2=√5EG
∴
AG AE =√52， ∴AG AE =2CD BE
=√52， ∴CD =√54BE ；
灵活应用：
∵AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上一点，
∴∠ACB ＝90°，
过点E 作EG ∥BF ，则△AEG ∽△ABC ，
∴
AE EG =AB BC ， ∵AE CF =AB BC ，
∴EG ＝CF ，
∵EG ∥BF ，
∴∠AGE ＝∠ACB ＝90°，
∴∠DGE ＝∠DCF ＝90°，
又∵∠GDE ＝∠CDF ，
∴△DGE ≌△DCF （AAS ），
过点D 作DM ∥BF ，则
DG EM =CD BM ，∠ADM ＝90°， ∴EM ＝BM ，
∵AB ＝8，AE ＝2，
∴BE ＝6，则EM =BM =12BE =3，
∴AM ＝AE +EM ＝5，
∴点D 在以AM 为直径的半圆上运动，
∴D 运动的路径长为：12AM ⋅π=52π，
过点F 作FH ∥AC ，则
AB BC =AH CF ，∠BFH ＝90°， ∵AE CF =AB BC ，
∴AE ＝AH ＝2，
∴BH ＝AH +AB ＝10，
∴点F 在以BH 为直径的半圆上运动，
则CF 扫过的面积为以BH 为直径的半圆与以AB 为直径的半圆的面积之差， 即：CF 扫过的面积为12(BH 2)2π−12(AB 2)2π=92π，
故答案为：52π，92π．。