基本不等式 最值
基本不等式求最值的题型及解题策略
ʏ喻 芳利用不等式求最值的实质是a b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b >0),a b ɤa +b 22ɤa 2+b22(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )㊂A.2 B .4C .6D .8(2)已知0<x <1,则函数f (x )=x 3(1-x 3)的最大值为㊂(1)由x >0,y >0,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2y 2z 2=8(当且仅当x =y =z =1时等号成立)㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3)ɤx 3+1-x322=14,当且仅当x 3=1-x 3,即x =312时等号成立㊂故所求的最大值为14㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值㊂(2)若x ȡ72,则f (x )=x 2-6x +10x -3有( )㊂A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2(1)由x <54,可得5-4x >0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3=-5-4x +15-4x+3ɤ-2(5-4x )ˑ15-4x+3=1,当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时等号成立,所以y 的最大值为1㊂(2)由x ȡ72,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2+1x -3=(x -3)+1x -3ȡ2(x -3)ˑ1x -3=2,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立,所以f (x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2+b x +ck x +m的分式函数求最值,可化为y =m g (x )+Ag (x)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂题型三:常数代换法求最值例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3,81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则1p +2+1q +1的最小值为( )㊂A.23B .53C .74D .95由p ,q 为正实数,p +q =3,可知p +2+q +1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+1q +1 ㊃p +26+q +16 =13+16p +2q +1+q +1p +2 ȡ13+16ˑ2p +2q +1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =1,q =2时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件最值问题㊂题型四:消元法求最值例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则当x yz 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为㊂正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则z =x 2-3x y+4y 2,所以x y z =x yx 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x -3=1,当且仅当x =2y 时等号成立,所以x yzm a x=1,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2㊂所以1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121y -12+12ɤ12,所以1x +12y -1z的最大值为12㊂感悟:解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂题型五:换元法求最值例5 若正数a ,b 满足2a +b =1,则a 2-2a +b2-b的最小值是㊂设u =2-2a ,v =2-b ,则a =2-u2,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-12uu +2-vv=1u +2v -32=13(u +v )1u +2v-32=13㊃3+v u +2u v-32ȡ133+2v u ㊃2uv-32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2=2u 2,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂感悟:换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值㊂题型六:构建不等式求最值例6 (1)已知正实数x ,y 满足x y =x +y +8,则x +y 的最小值为㊂(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =8,则x y 的最大值为㊂(1)由正实数x ,y ,可得(x +y )2=x 2+y 2+2x y ȡ4x y(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ(x +y )24,即(x +y )2-4(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式求最值(解析)
高一秋季第2讲： 基本不等式求最值题型概览一． 基本不等式1.1 应用最值定理求最值; 1.2 幂指式内隐和积互化; 1.3 最值定理对“定值”的要求.二． 十种变形技巧2.1 整体处理求最值;2.2 凑系数(乘、除变量系数); 2.3 凑项(加、减常数项); 2.4 连续使用基本不等式求最值;2.5 分离 (分子)常数法求最值问题; 2.6 1y aa b=+ 型函数的最值; 2.7 变用公式;2.8 常数代换（逆用条件).三.不能使用基本不等式的情况3.1 应用函数单调性求最值;一． 基本不等式1.1应用最值定理求最值【典例】设函数1()21(0)f x x x x=+-<,则()f x （） A. 有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数【答案】A【解析】由0x <,得20x ->,10x ->，所以()2f x x =+111(2)1221x x x ⎡⎤⎛⎫-=--+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当2x =时等号成立,所以()f x 有最大值,故选A . 【评注】:在使用基本不等式求最值时,要坚持“一正二定三等”这三项原则,藴着不等式的最值定理"积定和最小,和定积最大”.计算最值时我们常说的利用基本不等式求最值，即使用最值定理. 变式题组【变式1】下列不等式一定成立的是() A.21lg lg (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭B.12x x+C.212||()x x x +∈RD.211()1x x >∈+R 1.【答案】 C【解析】选项 A 中,当 12x =时,214x x +=; 选项 B 中,0x >时 ,12x x + ，0x <时, 12x x +-; 选项C中, 222||1(||1)0()x x x x -+=-∈R ; 选项 D 中,211x ∈+(0,1]()x ∈. 故选 C .【变式2】两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值,即“和定积最大" 已知,x y +∈R ,且满足134x y+=,则xy 的最大值为_________________. 2.【答案】3 【解析】,x y +∈R,123434x y x y∴+=⨯=即3xy , 当且仅当 34x y = 即 32x =，2y =时取等号,∴xy 的最大值为 3.【变式3】若两个正数的积为定值时,则可求其和的最小值,即“积定和最小" 已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =___________.3.【答案】 36 【解析】∵()424a a f x x x x x =+⋅=当且仅当 4x =ax, 即 24a x = 时取等号,由 3x =, 得 36a =.【变式4】已知12x y a a +=+,12xy b b =,则()21212a ab b +的取值范围是______.4. 【答案】(,0][4,)-∞+∞【解析】由题可知 12x y a a +=+,12xy b b =所以 ()22221212()22a a x y x y xy x yb b xy xy y x++++===++, 当 ,x y 同号时,24x yy x++, 当 ,x y 异号时,2220x y y x ++-+=,故所求的取值范围是 (,0][4,)-∞+∞.【变式5】已知三个数a ，b ，c 成等比数列,若1a b c ++=,则b 的取值范围为_______. 5.【答案】1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】设等比数列的公比为q ，则有111b q q =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由 12q q +或 12q q+-, 可得 b 的取值范围为1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【变式6】已知,a b 均为正实数,且1a b +=,求1y a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.1b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.6.【答案】254【解析】22111b a a b y ab ab ab a bab ab ab ab +=+++=++=++2()222a b ab ab ab ab +-=+-令 t ab =, 则 10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，2()f t t t =+在 10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， ∴ 当 14t =时,min min 25()24y f t =-=.1.2 幂指式内隐和积互化【典例】若221x y +=,则x y +的取值范围是()A.[0,2]B.[2,0]-C.[2,)-+∞D.(,2]-∞-【答案】D【解析】由22222x y x y +⋅=y12(2x y ⇒+-当且仅当1x y ==-时取等号).故选D . 【评注】:利用最值定理求最值,首先要在条件中找到定值.同底幂的和为定值,隐藏着其积即指数和存在最大值. 变式题组【变式1】若实数,a b 满足2a b +=,则633a +的最小值是_____________. 1.【答案】 6【解析】332336a b a b +⋅=, 当且仅当 1a b == 时取等号,故 33a b + 的最小值是 6.【变式2】若241x y +=,则2x y +的取值范围是______________. 2.【答案】 6【解析】由222x y +==，得22x y +- (当且仅当 222x y = 时取等号) .【变式3】若实数,,a b c 满足222a b a b ++=,222a b c ++=2a b c ++,求c 的是大值. 3.【答案】22log 3-【解析】 由 222222a b a b a b +=-⋅=得 12a ba b+++, 即2a b +, 所以 (*22222222a b c a b a b c a b a b c ++++++=--=-=-1) 22(21)424r c -=⋅-, 所以 324c ⋅, 解得 22log 3c - （当且.仅当 1a b == 时取等号). 故所求 c 的最大值为 22log 3-.1.3最值定理对“定值”的要求【典例】已知1x >,则21y x x =+-的最小值为_______________.【答案】1【解析】221122111y x x x x =+=-+++--,当且仅当211x x -=-即1x =时等号成立,∴21y x x =+-的最小值为1+. 变式题组【变式1】函数212(0)y x x x=+>的最小值是______________.1. 【答案】2【解析】222311112232222y x x x x x x =+=++⋅==, 当且仅当 2122x x=, 即 x = 时等号成立,所以函数的最小值是 2.【变式2】已知0x >,0y >,且191x y+=,则x y +的最小值是____________. 【答案】16 【解析】由191x y +=, 得 19()10x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+ ⎪⎝⎭910216y x y x y x ++=, 当且仅当 9y x x y =, 即当 4x =,12y = 时取等号,故 x y + 的最小值为 16.【变式3】已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2a b +的最小值是（ ）A. B. C.3D.2解析： 借助换元，“1”的代换 令1a m +=，1b n +=， 则1m >，1n >，且111m n+=，则()()212123a b m n m n +=-+-=+-，又()112221233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+⎪⎝⎭所以22333a b m n +=+-≥+-=当且仅当2n m m n =，即1m =，12n =+时，取到最小值B.【变式4】已知,a b 为正实数，且2a b +=，则22221a b a b ++-+的最小值为 . 解析1：22222112121221211111a b b a a b a b a b a b a b +-++-=++-=++-+-=+-++++ 2(1)2(1)121111(1)()1(21)1()3131313b b a a a b a b a b a b ++=+++-=+++-=+≥⋅+++当且仅当2(1)1b a a b +=+，即1)a b =+，即64a b =-=时等号成立.【变式5】若正数,a b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是_____ 解析：(分母换元+常数替换):令1,1x a y b =+=+，则3x y +=（1,1x y >>）1111211a b x y a b x y x y ⎛⎫--∴+=+=-+ ⎪++⎝⎭,而()11111142333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1122113a b a b x y ⎛⎫∴+=-+≤ ⎪++⎝⎭,则11a b a b +++的最大值是23.二． 十种变形技巧2.1整体处理求最值【典例】若实数,a b 满足12a b+=则ab 的最小值等于（）A B.2C. D.4【答案】C【解析】12a b =+≥，当且仅当2b a =时取等号,整理得22ab .故选C . 【评注】:遇到求a b +，ab 的最值,一般可以对题设条件直接使用基本不等式,获得关于,a b ab +的不等式,进而化简变形,即可顺利获解.变式题组【变式1】利用基本不等式将条件式转化为关于目标式的不等式若正实数,x y 满足++=26x y xy ，则xy 的最小值是 ，则+x y 的最小值是 【答案】18【解析】26226xy x y xy =+++, 则 2--60, 解得2xy - （舍去）或32xy , 从而18xy (当且仅当 3x = ，6y =时取等号).【变式2】已知>>++=0,0,228x y x y xy 则+2x y 的最小值是 【答案】4【解析】2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭, 得 2(2)x y ++4(2)320x y +-, 即 24x y +( 当且仅当 2x y = 时取等号).【变式3】已知实数,x y 满足3xy x y -=+，且1x >则(8)y x +的最小值是()A.33B.26C.25D.21 解析1： 转化为单变量问题3xy x y-=+31x y x +∴=- 336(8)(8)1132511x y x x x x x +∴+=⋅+=-++≥-- 解析2：因式分解3(1)(1)4xy x y x y -=+∴--=，令41,1x t y t -=-=4(1)(9)25t t∴++≥【变式4】由+=±222()2x y x y xy 的关系结合基本不等式转化若实数,x y 满足++=221x y xy ，则+x y 的最大值是【答案】【解析】 由 2()1x y xy +=+ 得 22()12x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 则233x y +（ 当且仅当 x y == 时取等号).2.2 凑系数（乘、除变量系数）【典例】设<<302x ，则函数=-4(32)y x x 的最大值是【答案】92【解析】2232922(32)222x x y x x +-⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭, 当且仅当232x x =-, 即 34x = 时等号成立. 所以函数的最大值是92. 变式题组【变式1】已已知<<103x ，则-(13)x x 取得最大值时x 的值是【答案】16【解析】 211313(13)3(13)332x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭112, 当且仅当 313x x =- 即 16x = 时取等号. 故 (13)x x - 取得最大值时 x 的值是16.【变式2】配凑系数，活用不等式+222a b ab设+=220,0,12y x y x ，则的最大值为【答案】4【解析】2221222y x ++=⋅=2212224y x ++=, 当且仅当 x =，y = 取等 号, 故的最大值为【变式3】设>0x ，则3(1)x x -的最大值为 【解析】【变式4】设>,,0x y z ，则+++222xy yzx y z 的最大值为【答案】2【解析】因为2222x y y +⋅2222z y y +⋅所以222y y x y z ⋅+⋅≤++，所 以222xy yz x y z +=++.22222212xy z x y z++⋅=++，当且仅y ==时等号成立,故222xy yz x y z +++的最大值为2.2.3 凑项（加、减常数项）【典例】已知<54x ，求函数=-+-1()4245f x x x 的最大值.解：由->540x ，得⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦1()(54)354f x x x -+=231，当且仅当=1x 时等号成立，故函数()f x 的最大值为5.评注：求解本题需要关注两点：一是对已知条件的适当变形，由<54x 得到->540x ;二是对目标函数解析式的适当变形，以便活用结论“若<0x，则⎡⎤⎛⎫+=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11()x x x x -=-2”.变式题组【变式1】若函数=+>-1()(2)2f x x x x 在=x n 处取得最小值，则=n 【解析】因为 11()(2)2422f x x x x x =+=-++--, 当且仅当1202x x -=>-, 即 3x = 时等号成立, 即函数在 3x = 处取得最小 值, 故 3n =.【变式2】函数⎛⎫-+=> ⎪-⎝⎭2211212x x y x x 的最小值是12【解析】221(21)11212121x x x x y x x x x -+-+===+=---111(21)2212x x -++-, 又因为 111(21)22212x x -+=- 当且仅当x 取等号 ), 所以函数的最小值是12.2.4连续使用基本不等式求最值 【典例】若>>0a b ，求+-216()a b a b 的最小值为【解析】++=+-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦2222216166416()()2a a a b a b a b a b （当且仅当=-b a b 且=8a a，即==2a b 时等号成立)，故+-216()a b a b 的最小值为16.评注：此处第一次运用基本不等式，实质也是化二元为一元的消元过程.连续多次使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致，否则就会出错。
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
基本不等式中常见的方法求最值
基本不等式中常见的方法求最值基本不等式是数学中常用的不等式形式，它可以解决两个或多个变量之间的大小关系问题。
在实际问题中，求最值是一类常见的问题，可以通过基本不等式的方法来解决。
下面将介绍一些常见的方法用于求解最值的基本不等式。
一、最值问题的数学建模在解决最值问题之前，首先需要进行数学建模。
数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程，通常包括确定问题的目标函数和约束条件。
在求解最值问题中，目标函数表示要求解的最值，约束条件是指限制该函数取值范围的条件。
例如，求解一个函数在给定范围内的最大值，可以将问题建模为求解一个目标函数在一组特定约束条件下的最大值。
二、最值问题的基本不等式方法在实际问题中，一般使用不等式约束来限制变量的取值范围。
下面将介绍几种常用的基本不等式方法来求解最值问题。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）算术平均-几何平均不等式是一种常见的不等式方法，用于求解多个正实数的不等式关系。
它可以将多个正实数的乘积限制在一些范围内，并且表明乘积最大值在一组特定值时取得。
设a1, a2, ..., an为n个正实数，那么AM-GM不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解向量内积的不等式关系。
它可以将两个向量的内积限制在一些范围内，并且表明内积最大值在一组特定值时取得。
设a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为n个实数，则柯西-施瓦茨不等式可以表示为：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。
在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。
以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。
这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。
首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。
然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。
方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。
例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。
方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。
然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。
方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。
例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。
例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。
方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。
假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。
反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。
以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。
根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式是在数学中经常用到的一种求最值的技巧，它可以帮助我们在求解问题时找到合适的界限，从而得到最优解。
本文将详细介绍基本不等式的概念、性质以及如何利用它来求解最值问题。
1.基本不等式的概念基本不等式是指一个关于非负实数的不等式，其表达形式为a≥b。
在数学中，我们常常需要比较两个数的大小关系，而基本不等式则提供了一种简便的方法来判断这种关系。
2.基本不等式的性质基本不等式具有以下几个性质：(1)反身性：对于任意实数a，有a≥a。
(2)对称性：对于任意实数a和b，如果a≥b，则b≤a。
(3)传递性：对于任意实数a、b和c，如果a≥b，并且b≥c，则a≥c。
(4)加法性：对于任意实数a、b和c，如果a≥b，则a+c≥b+c。
(5) 乘法性：对于任意非负实数a、b和c，如果a≥b，并且c≥0，则ac≥bc。
3.利用基本不等式求最值的方法在实际问题中，我们经常需要求解一些函数的最值，而基本不等式可以帮助我们找到这个函数的最优界限。
下面将介绍几种常见的求解最值问题的方法。
(1)最值的存在性判断：根据基本不等式的定义，我们可以得出如果一个函数在一些区间上是连续的，那么它在这个区间上一定有最值。
(2)最大最小值的求解：有时候我们需要求解一个函数的最大值或最小值。
对于一个连续函数，我们可以通过极值点来求解。
而在确定极值点时，基本不等式可以提供一种简单的方法。
首先计算函数的导数，然后令导数等于零，求得极值点。
接着我们比较这些极值点与函数在区间端点处的值来确定最值。
(4)最优解的存在性判断：在一些优化问题中，我们需要证明一些最优解的存在性。
基本不等式可以作为一种常用的工具来判断最优解是否存在。
首先，我们需要构造一个满足条件的函数，然后根据条件推导出函数的最优界限。
最后，我们利用基本不等式来判断这个界限是否存在，从而证明最优解的存在性。
综上所述，基本不等式是一种求解最值问题的常用技巧。
在实际问题中，我们可以根据具体情况灵活运用基本不等式来求解最值。
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法引言在数学中，不等式是一种关系，用于描述两个数之间的大小关系。
基本不等式是一类常见的不等式，可以通过一些特定的方法求解其最值。
本文将介绍基本不等式的概念、性质以及求解最值的方法。
基本不等式的定义基本不等式是指在数学中常见且常用的一类不等式，包括大于等于不等式和小于等于不等式。
大于等于不等式表示一个数大于或等于另一个数，记作a≥b，其中a 和b为实数。
小于等于不等式表示一个数小于或等于另一个数，记作a≤b。
基本不等式的性质基本不等式具有以下性质：1.传递性：如果a≥b且b≥c，则a≥c。
2.反对称性：如果a≥b且b≥a，则a=b。
3.加法性：如果a≥b，则a+c≥b+c。
4.乘法性：如果a≥b且c>0，则ac≥bc；如果a≥b且c<0，则ac≤bc。
这些性质使得基本不等式在数学推导和证明中有着重要的应用。
求解基本不等式的最值方法求解大于等于不等式的最大值对于大于等于不等式a≥b，我们要求解其最大值。
下面介绍两种常见的方法：图像法和代数法。
图像法图像法是通过绘制函数的图像来求解不等式的最值。
对于大于等于不等式a≥b，我们可以将其转化为函数f(x)=a−b，然后绘制函数f(x)的图像。
最大值即为函数图像上的最高点。
代数法代数法是通过代数运算来求解不等式的最值。
对于大于等于不等式a≥b，我们可以进行如下运算：1.将不等式转化为等价的形式：a−b≥0。
2.将不等式化简为一个或多个因式相乘的形式：(a−b)(c−d)≥0。
3.求解不等式中每个因子的取值范围：a−b≥0且c−d≥0。
4.根据每个因子的取值范围，确定不等式的最值范围。
求解小于等于不等式的最小值对于小于等于不等式a≤b，我们要求解其最小值。
同样可以使用图像法和代数法来求解。
图像法对于小于等于不等式a≤b，我们可以将其转化为函数f(x)=b−a，然后绘制函数f(x)的图像。
最小值即为函数图像上的最低点。
代数法对于小于等于不等式a≤b，我们可以进行如下运算：1.将不等式转化为等价的形式：b−a≥0。
基本不等式——求最值的好方法
ʏ谭 尧基本不等式是高中数学的重要内容,也是高考的常考点,利用基本不等式求最值问题的常用方法有:正用a +b ȡ2a b ,逆用a b ɤa +b22,整体代换法,凑系数法,凑项法,分离常数法,平方法等㊂下面举例分析㊂一㊁正用a +b ȡ2a b例1 对任意的m ,n ɪ(0,+ɕ),都有m 2-a m n +2n 2ȡ0恒成立,则实数a 的最大值为( )㊂A .2 B .22C .4D .92因为对任意的m ,n ɪ(0,+ɕ),都有m 2-a m n +2n 2ȡ0恒成立,所以m 2+2n 2ȡa m n 恒成立,即a ɤm 2+2n 2m n =m n +2nm恒成立㊂因为m n +2n m ȡ2m n ㊃2nm=22,当且仅当m n =2nm ,即m =2n 时取等号,所以a ɤ22㊂故实数a 的最大值为22㊂应选B ㊂评注:正用基本不等式求最值时,要求两个正数的和的最小值,必须这两个正数的积为定值㊂二㊁逆用a b ɤa +b22例2 若正实数x ,y 满足x +y =2,且1x yȡM 恒成立,则M 的最大值为( )㊂A.1B .2C .3D .4因为正实数x ,y 满足x +y =2,所以x y ɤ(x +y )24=224=1,当且仅当x =y =1时等号成立,所以1x yȡ1㊂又因为1x y ȡM 恒成立,所以M ɤ1,即M 的最大值为1㊂应选A ㊂评注:逆用基本不等式求最值时,必须要求这两个正数的和为定值㊂三㊁整体代换法例3 已知a >0,b >0,且4a +b =4,则1+1a1+1b的最小值为㊂由4a +b =4,可得a +b4=1㊂因为1+1a1+1b=1+a +b4a1+a +b4b=2+b 4a54+a b=52+2ab +5b 16a +14=114+2a b +5b 16a ȡ114+258=114+102,当且仅当2a b =5b16a,即42a =5b 时取等号,所以1+1a 1+1b的最小值为114+102㊂评注:求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用 整体代换法 或 常数1的代换法,然后构造不等式求最值㊂四㊁凑系数法例4 设0<x <910,则函数y =x (9-10x )的最大值为㊂由0<x <910,可得9-10x >0㊂因为y =x (9-10x )=110㊃10x (9-10x )ɤ110㊃10x +9-10x 22=42 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.81400,当且仅当10x =9-10x ,即x =920ɪ0,910时等号成立,所以函数y =x (9-10x )的最大值为81400㊂评注:本题无法直接运用基本不等式求最值,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求出最大值㊂五㊁凑项法例5 已知x +mx -2(x >2)的最小值为8,则正数m 的值为㊂因为x >2,即x -2>0,又m >0,所以x +mx -2=x -2+mx -2+2ȡ2(x -2)㊃mx -2+2=2m +2,当且仅当x =2+m 时取等号㊂又因为x +mx -2(x >2)的最小值为8,所以2m +2=8,解得m =9㊂评注:x +mx -2是和的形式,但乘积不是定值,必须凑项变为x -2+mx -2+2的形式,再求最值㊂六㊁分离法例6 -x2x +1(x <-1)的最小值为㊂-x2x +1=-x 2-1+1x +1=-x -1+1x +1=-x +1+1x +1-2=-(x +1)+1-(x +1)+2㊂因为x <-1,所以x +1<0,即-(x +1)>0,所以-x 2x +1=-(x +1)+1-(x +1)+2ȡ21+2=4,当且仅当-(x +1)=1-(x +1),即x =-2时等号成立㊂故-x2x +1(x <-1)的最小值为4㊂评注:将-x 2x +1分离为-(x +1)+1(x +1)+2,再利用基本不等式求最值㊂七㊁平方法例72x -1+5-2x12<x <52的最大值为( )㊂A .22B .8C .4D .52令y =2x -1+5-2x12<x <52 ㊂注意到2x -1与5-2x 的和为定值,所以(2x -1+5-2x )2=4+2(2x -1)(5-2x )ɤ4+(2x -1)+(5-2x )=8㊂因为y >0,所以0<y ɤ22,当且仅当2x -1=5-2x ,即x =32时不等式取等号㊂故2x -1+5-2x 12<x <52的最大值为y m a x =22,即所求最大值为22㊂应选A ㊂评注:将2x -1+5-2x 平方,根号下的两数的 和为定值 ,为利用基本不等式求最值创造了条件㊂若a >0,b >0,则1a +ab2+b 的最小值为( )㊂A .22B .23C .42D .43提示:因为a >0,b >0,所以1a +ab 2+b ȡ21a ㊃a b 2+b =2b+b ȡ22b㊃b =22,当且仅当1a =a b 2且2b=b ,即a =b =2时等号成立,所以1a +ab2+b 的最小值为22㊂应选A ㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)52知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值的六种方法一、配项法求解函数 $y=\frac{9}{x-2}$ 的最小值。
解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq8$，当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。
二、配系数法求解函数 $y=x^4-3x^2$ 的最大值，其中 $0<x<1$。
解析：$y=\frac{2}{3}x^4-\frac{2}{3}x^4-3x^2+2\leq2$，当 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时等号成立。
三、重复使用不等式法求解 $a>b>0$ 时，$a^2+b^2$ 的最小值。
解析：$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}$，$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}\geq\frac{(2\sqrt{ab})^2}{2}=2ab $，所以 $a^2+b^2\geq2ab$，当 $a=b\sqrt{2}$ 时等号成立。
四、平方升次法求解函数 $y=x+4-x^2$ 的最大值，其中 $x>0$。
解析：$y^2=4+2x^4-x^2\leq4+(x^2+(4-x^2)^2)=8$，当$x=2$ 时，$y$ 取得最大值 $2\sqrt{2}$。
五、待定系数法求解函数 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。
解析：$y=2\sin^2x+2\sin x\cos x=2\sin^2x+\sin2x\leq2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$，当 $\sinx=\frac{1}{\sqrt{2}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时等号成立。
六、常值代换法已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ 的最小值。
解析：$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x+2y}{2}}\geq\sqrt{3x+ 2\sqrt{2xy}}$，$3x+2\sqrt{2xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2(\sqrt{x}+2\sqrt{y})\geq(\s qrt{x}+\sqrt{y})^3$，所以$\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq\sqrt[3]{\frac{27}{2}}$，当 $x=2,y=1$ 时等号成立。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
应用基本不等式求最值
2 2 2
2 即x = 1 , x + 1 时 有最小值 x = 2. 4 x . 2 已知 ≥ 3,求x + 的最小值 、 x
2
×
×
4 4 4 解: x + ≥ 2 x ⋅ = 4,∴原式有最小值. x x 4 x , . 当且仅当 = ,即x = 2时 等号成立 x
5 x
x
C、 y = 3 + 3 ( x ∈ R ) 、
−x
1 π D、 y = sin x + 、 (0 < x < ) sinBiblioteka x 2利用基本不等式证明不等式
a b 1.已知a, b是正数，且 + = 1( x, y ∈ R+ ), x y 求证：x + y ≥ ( a + b ) 2 .
a b bx ay 证明：x + y = ( x + y )( + ) = a + b + + x y y x
应用基本不等式求最值
江西师大附中
黄润华
一、复习回顾
基本不等式： 基本不等式：
a, b ∈ R, a + b ≥ 2ab
2 2
(当且仅当 当且仅当a=b时取“=”号) 时取“ 号 当且仅当 时取
a+b a ≥ 0, b ≥ 0, ≥ ab 2
(当且仅当 当且仅当a=b时取“=” 时取“ 当且仅当 时取 号)
5 当且仅当 log 2 x = , 即 x = 2− 5 时，等号成立. log 2 x
二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值: (2)先变形再利用基本不等式求函数最值: 先变形再利用基本不等式求函数最值
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式求最值的方法有多种，以下列举了其中六种方法：
1.配凑法：通过观察式子中的各项，尝试将其配成基本不等式的形式，从而求出最值。
2.均值不等式：对于一组正数a1, a2, ..., an，其算术平均值大于等于几何平均值，即
(a1+a2+...+an)/n >= sqrt(a1a2...*an)。
利用此不等式，可以将式子变形，从而求出最值。
3.等号成立条件：在使用基本不等式时，需要注意等号成立的条件。
例如，在使用均值不
等式时，只有在a1=a2=...=an时，等号才会成立。
4.换元法：在求解一些复杂的不等式时，可以通过换元法将问题简化。
例如，设a=a1/b1,
b=a2/b2, ...，将原式化简后再使用基本不等式求解。
5.对勾函数性质：对勾函数是一种特殊的函数形式，其性质可以用来求解一些复杂的不等
式。
例如，当x>0时，x+1/x >= 2 (当且仅当x=1时取等号)。
6.三角不等式：对于一些涉及到三角函数的式子，可以使用三角不等式来求解。
例如，
|sin(a)-sin(b)| <= |a-b|。
求基本不等式最值的方法
求基本不等式最值的方法基本不等式最值的求解方法是数学中的重要内容，它在解决实际问题和数学推导中具有广泛的应用。
下面将介绍几种常见的方法来求解基本不等式的最值。
1. 利用二次函数性质：对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别是实数，当 a>0 时，函数开口向上，最小值为 f(-b/2a)；当 a<0 时，函数开口向下，最大值为 f(-b/2a)。
2. 利用数轴和符号的方法：以不等式的变量为基准，将不等式化简为一维数轴上的问题。
首先找到不等式的解集，并根据不等式中的符号（大于号或小于号）确定最值的类型（最大值或最小值）。
然后，根据最值的要求，找到数轴上对应的点，即最值点。
3. 利用 AM-GM 不等式：AM-GM 平均值不等式是一种用于估计数值大小的方法。
对于非负实数 a1, a2, ..., an，其几何平均值 GM = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)，算术平均值 AM = (a1 + a2 + ... + an)/n，不等式表达式为GM ≤ AM。
通过利用 AM-GM不等式，将给定的不等式进行转换和化简，可以求解不等式的最值。
4. 利用导数和极值：对于连续函数 f(x) 在某个区间内，如果 f'(x) 存在且连续，可以通过求解 f'(x) = 0 的根来找到函数 f(x) 的极值点。
然后根据极值的类型（极大值或极小值）来确定最值。
以上是一些常见的方法来求解基本不等式的最值。
根据具体的不等式形式和要求的最值类型，我们可以选择合适的方法进行求解。
在实践中，掌握这些方法并灵活运用它们，将能够有效地解决各种不等式最值的问题。
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法
基本不等式的形式为：a+b>=2√ab(等号成立的条件：当且仅当a=b 时）因此运用基本不等式时，主要是为了解决最值问题，当遇上a+b 或两数相加的形式的时候，题目有要求是求最小值，就用a+b>=2√ab(等号成立的条件。
因为x＞5/4，所以4x-5＞0
由均值定理，y＝4x-2＋1/（4x-5）
＝（4x-5）＋1/（4x-5）＋3
≥2√［（4x-5）*1/（4x-5）］＋3＝5，
当4x-5＝1即x＝3/2时，y最小值为5。
基本性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
≥2√［（4x-5）*1/（4x-5）］＋3＝5，
当4x-5＝1即x＝3/2时，y最小值为5。
基本性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；
⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
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1 最小值为 4，当且仅当 a＝b＝ 时等号成立． 2
答案：4
方 法 ： 一 的 妙 用
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课后·三维演练
基本不等式
结束
2．已知x＞0，求函数
的最小值；
x 2＋5x ＋4 4 y＝ ＝x ＋ ＋5 x x ≥2 4＋5＝9， 4 当且仅当 x ＝ 即 x ＝2 时等号成立． x x 2＋5x ＋4 故 y＝ (x ＞0)的最小值为 9， x
a＝( a＋
1) (x， y， a＞0)， 当且仅当 y＝ ax
1 a ＋ 时取等号， 所以(x＋y)· x y
的最小值为( a＋1)2，于是( a＋1)2≥9 恒成立．所以 a≥4， 故选 B． 答案：B
课前·双基落实 课堂·考点突破 课后·三维演练
基本不等式
结束
2．已知正数 x，y 满足 x＋2 2xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数 λ 的 最小值为________．
课前·双基落实
答案：36
课堂·考点突破 课后·三维演练
基本不等式
结束
x2＋ax＋11 2．已知函数f(x)＝ (a∈R)，若对于任意的x∈N*， x＋1 f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________． 2 x ＋ax＋11 * 解析：对任意 x∈N ，f(x)≥3，即 ≥3 恒成立，即 x＋1 8 8 8 * a≥－x＋x＋3． 设 g(x)＝x＋x， x∈N ， 则 g(x)＝x＋x≥4 2， 17 当 x＝2 2时等号成立，又 g(2)＝6，g(3)＝ ．∵g(2)＞g(3)， 3 8 17 8 ∴g(x)min＝ ．∴－ x＋x ＋3≤－ ， 3 3 8 8 8 答案：－3，＋∞ ∴a≥－ ，故 a 的取值范围是－3，＋∞． 3
答案：2
课前·双基落实 课堂·考点突破 课后·三维演练
方 法 ： 凑 项
基本不等式
结束
3 4．设 0＜x ＜ ，则函数 y＝4x (3－2x )的最大值为________． 2 2x＋3－2x 2 9 解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2 ＝2， 2
3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝ 时，等号成立． 4 3 3 又∵ ∈0，2， 4 ∴基本不等式
结束
☆ 教学目标
1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题；（重点） 2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式；（重点） 3.会求给定条件的最值问题； 4.能证明一些简单的不等式.
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基本不等式
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第二节
解析： 依题意得 x ＋ 2 2xy ≤x＋ (x＋ 2y) ＝ 2(x＋ y)，即 x＋2 2xy x＋2 2xy ≤2(当且仅当 x＝2y 时取等号)， 即 的 x＋ y x＋y x＋2 2xy 最大值为 2．又 λ≥ ，因此有 λ≥2，即 λ 的最 x＋y 小值为 2．
板块命题点专练（九）
答案：2
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基本不等式
结束
[由题悟法] 求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从 而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等 式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
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基本不等式
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[即时应用] 1．已知不等式(x＋y)
1 a ＋ x y
≥9对任意的正实数x，y恒成立，则 ( )
正实数a的最小值为 A．2 B． 4 C．6
D．8
解析：
2
1 a y ax (x ＋ y) x＋y ＝ 1 ＋ a ＋ x ＋ y ≥1 ＋ a ＋ 2
基本不等式
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基本不等式
ab ab a 0, b 0 2
人教A版必修5的第3章第4节 第二课时
杨村三中数学组：沈志超
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基本不等式
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1
教材分析
☆ 教材的地位与作用 基本不等式是必修5的重要内容，也是高考的重点 考察内容，在高考中占有重要的地位，与解三角形、 数列联系紧密，因此需要我们着重重视.它也是不等式 的延续与拓展，为基本不等式的应用奠定了基础，在 不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用.
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考点三
利用基本不等式求参数的取值范围 [典例引领]
a 1．已知函数f(x)＝4x＋ x (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小 值，则a＝________．
a 解析：∵x＞0，a＞0，∴f(x)＝4x＋x≥2
a 4x· x＝4 a，
a 当且仅当 4x＝x，即 4x2＝a 时，f(x)取得最小值． 又∵f(x)在 x＝3 时取得最小值， ∴a＝4×32＝36．
答案：2 2
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基本不等式
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1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等” 三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号 成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致 解题错误． 3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件 一致．
基本不等式简单应用
1． 基本不等式 ab≤
a＋ b 2
(1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b .
a＋b 设 a＞0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 a>0，b>0 _____ 2 ，几何平均
两个正数的算术平均数不 ab ， 数为 ____ 基本不等式可叙述为： _____________________
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基本不等式
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考点一
利用基本不等式求最值
1 1 1．已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则 ＋ 的最小值为________． a b 解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
1 1 a＋b a＋b b a ∴ a＋b＝ a ＋ b ＝ 2＋a＋ b ≥2＋2 ba 1 1 · ＝ 4 ，即 ab a＋b 的
2． 算术平均数与几何平均数
a＝b
小于它们的几何平均数 ______________________.
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基本不等式
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3．重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)； 4．常用不等式变形不等式 b a (1) ＋ ≥ 2 (a，b 同号)； a b (2)ab
3 9 y＝4x(3－2x) 0＜x＜2 的最大值为 ． 2
方 法 ： 凑 系 数
9 答案： 2
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基本不等式
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[由题悟法 ] 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积 为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求 解．常用的方法有：拆项法、凑项法、凑系数法、 1 的妙用等． (2)条件变形，进行“ 1” 的代换求目标函数最值．
( ab 2 ) (a，b∈R)； 2
(3) (a b)2 2(a2 b2 ) (a，b∈R)．
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基本不等式
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5．利用基本不等式求最值问题 已知 x >0， y>0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x ＋y 有最小值是
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方 法 ： 拆 项
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3 ．若实数 x 满足 x ＞－ 4 ，则函数 f (x ) ＝ x ＋ ________．
9 的最小值为 x ＋4
解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0， 9 9 ∴f(x)＝x＋ ＝ x＋ 4＋ －4≥2 x＋4 x＋ 4 ＝ 2， 9 当且仅当 x＋4＝ ，即 x＝－1 时取等号． x＋4 9 x＋4· － 4 x＋4
2 p 简记：积定和最小)． _____(
(2)如果 x ＋y 是定值 q ，那么当且仅当 x ＝y 时，xy 有最大值是
q2 ___( 4 简记：和定积最大)．
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2．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋( 2y)2≥2x( 2y)＝2 2， 所以 x2＋2y2 的最小值为 2 2．