一类抛物型k-Hessian方程

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Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｔｈｅｆｉｒｓｔｉｎｉｔｉａｌｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆ一ｆ４－ｌｏｇＳ（（Ｄ））一
１＜。２＜ … ＜ｆ
ｆ（４（Ｄ））．文献［５］讨论了如下更一般形式的抛物型Ｈｅｓｓｉａｎ方程：一Ｄ＋厂（（Ｄｚ４－））一
（，）．文献［６ — ７］借助如下抛物型肛Ｈｅｓｓｉａｎ方程第一初边值问题解的存在唯一性研究了退化椭圆型
肛Ｈｅｓｓｉａｎ方程：
，￡）∈ ＱＴ，ｆＦ（Ｄ）一一（，ｔ，），（ｊ一ｏ，（，）∈ ａＸＥｏ，Ｔ］，
（１）
［ “ 一。，
收稿日期：２０１２ — ０９ — ２４．
第Ｓ１卷
第３期
吉林大学学报（理学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏ１．５ｌＮＯ．３
Ｍａｙ２０１３
ｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｕｂｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｐｒｉｏｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ．Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｕｎｉｑｕｅｉｆ２０１３年５月
ｄｏｉ：１０．７６９４／ｊｄｘｂ１ｘｂ２Ｏ１３Ｏ３Ｏｌ
一
类抛物型ｋ－Ｈｅｓｓｉａｎ方程
任长宇，牛颖，袁洪君
（吉林大学数学学院，长春１３００１２）
摘要：考虑抛物型忌一Ｈｅｓｓｉａｎ方程一＋ｌｏｇＳ（（Ｄ。））一（，ｔ，）的第一初边值问题．对于
≥０．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｌｌｙｎｏｎｌｉｎｅａｒ；ｐａｒａｂｏｌｉｃｔｙｐｅ；Ｈｅｓｓｉａｎｅｑｕａｔｉｏｎ
０引言及主要结果
Ｈｅｓｓｉａｎ方程属于完全非线性偏微分方程，与几何中的曲率度量问题密切相关．抛物型Ｈｅｓｓｉａｎ方程是ＨｅｓｓｉＸｎ方程的扩展，物体表面按某种曲率进行形体演变的模型都可以归结为抛物型Ｈｅｓｓｉａｎ方程［１］．Ｉｖｏｃｈｋｉｎａ等［。］研究了抛物型电一Ｈｅｓｓｉａｎ方程一Ｄ４－Ｓ（（ＤＭ））一（ｘ，￡）的第一初边值问
ＡＣｌａｓｓｏｆＰａｒａｂｏｌｉｃｋ — ＨｅｓｓｉａｎＥｑｕａｔｉｏｎｓ
。ＲＥＮＣｈａｎｇ — ｙｕ，ＮＩＵＹｉｎｇ，ＹＵＡＮＨｏｎｇ－ｊｕｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００１２，Ｃｈｉｎａ）
题，这里（Ｄ）一（， …，）表示未知函数（，￡）的Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵特征值向量．Ｓ（）为的ｋ阶初等对称多项式，即Ｓ（）一Ａ・・文献［４］将此结果由ｓ｛（（Ｄ。））推广到一般的
（，ｔ，），ｗｈｉｃｈｉｓａｃｌａｓｓｏｆｐａｒａｂｏｌｉｃ是一Ｈｅｓｓｉａｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｍｏｏｔｈｒｅｇｉｏｎ．，ｕｎｄｅｒ
一
般的光滑区域ｎ，在方程存在可容许下解的条件下，建立了可容许解的ｃ（西）先验估计，
并利用连续性方法得到方程可容许解的存在性．当 ≥０时，解是唯一的．
关键词：完全非线性；抛物型；Ｈｅｓｓｉａｎ方程中图分类号：Ｏ１７５．２６文献标志码：Ａ文章编号：１６７１ — ５４８９（２０１３）０３ — ０３４１ — ０８