凸函数及其在证明不等式中的应用

本科毕业论文
题目凸函数及其在证明不等式中的应用系别数学与信息科学学院
专业数学与应用数学
指导教师吴开腾
评阅教师
班级2004级2班
姓名冀学本
学号20040241064
2021 年５月２７日
目录
摘要 ................................................................................................................................. 错误!未定义书签。

Abstract........................................................................................................................ 错误!未定义书签。

1引言 ............................................................................................................................. 错误!未定义书签。

2 凸函数的等价定义 .......................................................................................... 错误!未定义书签。

2.1凸函数三种定义的等价性的讨论 ............................................................. 错误!未定义书签。

2.1.1定义1⇔定义2...................................................................................... 错误!未定义书签。

2.1.2定义1⇔定义
3...................................................................................... 错误!未定义书签。

2.2判定定理与JESEN不等式................................................................................ 错误!未定义书签。

3．性质......................................................................................................................... 错误!未定义书签。

4凸函数在不等式证明中的应用................................................................ 错误!未定义书签。

4.1利用凸函数定义证明不等式....................................................................... 错误!未定义书签。

4.2利用凸函数性质证明不等式...................................................................... 错误!未定义书签。

结束语............................................................................................................................ 错误!未定义书签。

参考文献 ...................................................................................................................... 错误!未定义书签。

致谢 ................................................................................................................................. 错误!未定义书签。

摘要首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式．并得到了几种常用凸函数的形式．
关键词凸函数，凸性不等式，jensen不等式
Abstract First has given the convex function three model definition，has analyzed between them the relations，and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality. Then discussed convex function several commonly used nature，has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application，the use convex function nature proof inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore，the correct understanding convex function's definition，the nature and the application，carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the application and explains with examples the problem solving mentality and the certificate method，finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms.
Key words Convex function，convexity inequality，jensen inequality
1引言
凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要．凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究．本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用．
2 凸函数的等价定义
定义1[1] 假设函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有
[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，
那么称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．
其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的割线总在曲线之上．
定义2 假设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，对于区间(,)a b 内的任意12,x x ，恒有
[]12121
(
)()()22
x x f f x f x +≤+， 那么称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．
其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．
定义3 假设函数()f x 在区间(,)a b 内可微，且对于区间(,)a b 内的任意x 及0x ，恒有
000()()()()f x f x f x x x '≥+-，
那么称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．
其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任一点处的切线，总在曲线之下．
以上三种定义中，定义3要求()y f x =在(,)a b 内是可导的，定义2要求()f x 在(,)a b 上是连续的．而定义1对函数()y f x =那么没有明显地要求．实际上可以证明在定义1中，函数()y f x =在(,)a b 上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数()y f x =是可导的，那么没有提出．如果加上可导的条件，那么可证明三种定义是等价的． 2.1凸函数三种定义的等价性的讨论 2.1.1定义1⇔定义2
证明 定义1⇒定义3，取1
2
λ=， 由定义1推得定义2． 定义2⇒定义1
首先，论证()f x 对于任意的()12,,x x a b ∈及有理数()0,1λ∈，不等式
()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦，
成立．事实上，对于此有理数λ总可以表示为有穷二进位小数，即
1212112
2220.2n n n n
n n
a a a a a a a λ---++++==
，
其中0i a =或1，()1,2,,1;1n i n a =-=．由于1λ-也是有理数．所以也可以表示为有穷
二进位小数，即
1212112
22210.2n n n n
n n
b b b b b b b λ---++++-==
，
由于()11λλ+-=，有0i b =或1，()1,2,,1;1n i n b =-=，于是
[]()()
()12121,2,,1i i i i f a x b x a f x b f x i n +≤+=-．
所以
()121f x x λλ+-⎡⎤⎣⎦
12121211211222222222n n n n n n
n n
n n
a a a a
b b b b f x x ------⎡⎤++
++++
++=+
⎢
⎥⎣
⎦
()222211121211
221122
22n n n n n n a a b b f a x b x f x x ----⎛⎫
++++≤+++ ⎪⎝⎭
232323123111121211
222222()222n n n n n n n n n n a a a a b b b b a x b x x x f --------⎡⎤
⎛⎫+++++++++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()()22221112121122112222n n n n n n a a b b a f x b f x f x x ----⎛⎫++++≤+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
()()()()()()()()()()3311122122122221
1122122111221121221111*222222*********n n n n n n n n n n n n a b a f x b f x a f x b f x f x x a f x b f x a f x b f x a f x b f x a x b x f --------⎛⎫++++≤+++++⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭≤≤++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣
⎦+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()()()()()()1112212211122112111
222
12n n n n n n a f x b f x a f x b f x a f x b f x a f x b f x ---≤
+++++
+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦++⎡⎤⎣
⎦
()()
()()()
12121211211212222222221n n n n n n n n
n
n
a a a a
b b b b f x f x f x f x λλ------++++++
++=+=+-．
下面再论证()f x 对λ为无理数时定义1也成立．事实上，对任意无理数()0,1λ∈，存在有理数列{}()()0,1,n n n λλλ⊂→→∞，所以
()()()121211n n x x x x n λλλλ+-→+-→∞，
由于()f x 在(),a b 内连续，所以
()()()()()()()()()()
12121212121lim 1lim 1lim 11n n n n n n f x x f x x f x x f x f x f x f x λλλλλλλλλλ→∞→∞
→∞+-⎡⎤⎣⎦
⎡⎤
=+-⎣⎦=+-⎡⎤⎣⎦
≤+-⎡⎤⎣
⎦=+-．
综上即知，定义1与定义2等价．
2.1.2定义1⇔定义3
证明 定义 1 ⇒定义3：对(),a b 内任意的0x 及x ，假设0x x <，那么取0h >，使
00x x h x <+<．于是，可以得到
()()()()
0000
f x h f x f x f x h x x +--≤
-， 上式中令0h →，由于()f x 可微，所以有()()()
000
f x f x f x x x -'≤
-，即
()()()()000f x f x f x x x '≥+-．假设0x x <，那么取0h >，使0x x h x <+<，同理可证．
定义3⇒定义1：对于区间(),a b 内的任意12,x x 〔不妨设12x x <〕以及()0,1λ∈，令
12x x x <<，那么有()()()1122211,x x x x x x x x λλ-=---=-，由泰勒公式，得 ()()()()111f x f x f x x θ'=+-及()()()()222f x f x f x x θ'=+-， 其中1122x x x θθ<<<<，于是
()()()()()()()()12122121111f x f x f x x x x f f λλλλλλθθ''+-=+-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
再进一步由()()21f f θθ''>，所以()()()()121211f x f x f x x λλλλ+-≥+-⎡⎤⎣⎦即
()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦，
最后，由等价的传递性即知定义2与定义3也是等价的．
2.2判定定理与Jesen 不等式
判定定理[2] 设f 为区间I 上的二阶可导函数，那么在I 上f 为凸函数的充要条件是
()0f x ''≥，x I ∈．
用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的．但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，那么是相当简便的．在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式．在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙．证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数．
定理 (Jensen 不等式)[3] 设函数:(,).f a b R →f 在(,)a b 上处处二次可微，且
()0f x ''≥ (对任意(,)x a b ∈，那么()f x 为(,)a b 上的凸函数，即对任意m N ∈，(,)
k x a b ∈及1
0,1m
k k k λλ=≥=∑成立如下不等式
1
1
()()m m
k k k k k k f x f x λλ==≤∑∑， 〔1〕
该不等式称为Jensen 不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况．可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来表达的，因为每个凸函数都有一个Jensen 不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用．利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路．
注：由定理，经简单计算知以下函数在其定义域上都是凸函数，从而()(1,2,3)i f x i =都满足不等式〔1〕．〔a 〕11()0,0)f x x a a x =
>≥+ （，〔b 〕21()(0)f x x c c x
=<<-，〔c 〕
3()(0)x f x x c c x
=
<<-．凸函数及其性质在解题中有着十分广泛的应用，下面试举数例
述之．
3．性质
利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明．函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析．凸函数是一类重要的函数．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．
性质1[4] 设函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，那么()()f x x +g 在区间I 也为凸函数．
证明：()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈因函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，从而
()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，且
()()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-．
于是有
()()()()()()()()()12121122[11][]1[]f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+ 因此()()f x +g x 在区间I 为凸函数．
性质2设函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，那么()(){}max ,f x g x 在区间I 为凸函数．
证明 ()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈，因函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数从而有
()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，
且
()()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-．
令()()(){}max ,F x f x g x =，那么
()()()()()(){}
1212121max 1,1F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-
()()()()()(){}1212max 1,1f x f x g x g x λλλλ≤+-+-
()(){}()()(){}()()()112212max ,1max ,1f x g x f x g x F x F x λλλλ≤+-=+-．
因此，()()(){}max ,F x f x g x =在区间I 为凸函数．
性质3 [5]设函数()()f x x 、g 在区间(),a b 为递增的非负凸函数，那么()()f x x g 在区间(),a b 为凸函数．
证明 ()12,,x x a b ∀∈，设12x x <，因()()f x x 、g 为非负凸函数，由定理3知(),x a b ∀∈，
()()f x x 、g 在点x 连续，且
()()1212
0(
)()22
f x f x x x f ++≤≤， ()()1212
0()()22
g x g x x x g ++≤≤．
因此()()f x x g 在区间(),a b 连续，因()()f x x 、g 递增，从而
()()()()()()()()()()()()2121112212210
f x f x
g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x --=+-+≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦且
()()()()21211212(
)()2222
f x f x
g x g x x x x x
f g ++++≤ ()()()()()()()()()()()()
11221221221142
f x
g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x ++++=
≤
由定义知()()f x x g 在区间(),a b 为凸函数．
当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举．
4凸函数在不等式证明中的应用
4．1利用凸函数定义证明不等式
例1 求证：对任意实数,a b ，有()2
12
a b a b
e
e e +≤
+． 证明 设()x f x e =，那么()()0,,f x x ''≥∈-∞+∞，故()x f x e =为(),-∞+∞上的凸函数．从而对121
,,2
x a x b λ===
，由定义有 ()12121
111(1)(1)()2
222f x x f x f x ⎡⎤+-≤+-⎢⎥⎣⎦，
即()2
12
a b
a b
e
e e +≤
+． 例2 设01,01x a <<<<，那么有()
()1111a
a
x x x -+-<-．
证明 设()()()111a a f x x x -=+- ()01x <<，那么
()()()()()
()11
1111a
a a a f x a x x x ax ---'=-+-++-
()()()()()()()()()()
111
12
111111111a
a a a a a a
a f x a a x x a a x x a a x x a a x x
--------''=--+---+--+--+
()()()()()()1
1122111111a a a a a a a x x x x x x x x -----⎡⎤=--+-++++-+⎣⎦
()()
()()()
()1
1
22
111111a a a a a a x x a a x x
-----=--+-=-+-，
于是01,01x a <<<<时，()0f x ''>．
由严格凸函数的定义，其中12,1,0x x x λ=== 得
()()()()()110110f x f x x x f x f =+-<+-⎡⎤⎣⎦，
即()
()1111a
a
x x x -+-<-．
例3[6] 假设()f x 为(),a b 内的凸函数，(,),1,2,
,i x a b i n ∈=，求证
()1
1
1()n
i
n
i i i x
f f x n n ==≤∑∑．
证明 对1
2,2
n x ==
，不等式是显然的，设对1n -不等式成立，那么因为 1212111
1n n n x x x x x x n x n n n n
-++++++-=+-，
这里1n n λ-=，
()()121
,,,1
n n x x x a b x a b n -+++∈∈-，由定义有 ()()1
11
1
111()()1n n i
i n i i n i i x
x n f f f x f x n n n n n -===-≤+=-∑∑∑，
例4假设()0,i θπ∈，1,2,
,i n
=那么12sin
n
n n
θθθ++
+≥
证明 令 ()ln(sin )i i f θθ=-，()0,i θπ∈，1,2,,i n =．由于()2sec 0i i f θθ''=>那么
()f x 为()0,π上的严格凸函数，所以由例3的不等式有
11
11ln(sin )ln(sin )n n
i i i i n n θθ==-≤-∑∑，
即12121
ln(sin
)ln(sin sin sin )n
n n
n
θθθθθθ++
+≥
，由1e >得 12sin n n n
θθθθ+++≥
上式等号仅在1
2n θθθ===成立．
4.2 利用凸函数性质证明不等式
例5 证明不等式：
1222
12
122
(
)n
n x x x x x x n
n
++++++≤≤，
其中 10,1,2,
,x i n >=．
证明 考虑对数函数()()ln 0f x x x =>，因为()2
1
0,f x x ''=-<故函数()ln f x x =是上凸函数，由上凸函数的性质，即得
()121212
1ln ln ln
ln ln n n n n x x x x x x x x x n n +++≥++
+=，
由对数性质，即证明了
12n
x x x n
++
+≤
． 〔2〕
又考虑函数()()20g x x x =->，所以()20g x ''=-<．故()2g x x =-也是上凸函数，由上凸函数的性质，得
222
2
12
12()n
n x x x x x x n
n
+++-----≥
，
即 222
2
1
212()n
n x x x x x x n
n
++
++++≤
，
因此
1222
12122
(
)n
n x x x x x x n
n
++
++++≤， 〔3〕
综合〔2〕，〔3〕整个命题证明结束．
例6 设12n ααα，，，均为正数，且121n ααα++
+=．求证：
2
2
2
2
121
2
1
1
1
(1)()()()n n n n
αααααα++
++
+
++≥．
证明 考虑函数()2,f x x =因为()20f x ''=>，所以()2f x x =是下凸函数，令
111
1
,x a a =+
1
,n n n
x a a =+
，由下凸函数的性质，那么有 222
1212
111()()()n n
a a a a a a +
+++++
12212
111(
)n n
a a a a a a n n
+
+++++
≥ 〔4〕
2
12
1111(1)n
n a a a =
++++
， 由柯西不等式：2
2
222
1
1
1
()()()n
n
n
i i
i i i i i a b a b ===≥∑
∑∑ 得
12
12
111111
(
)()1n n
a a a a a a +++
=+++
()21212
111
(
)n n
a a a n a a a =+++
+≥，
于是有212
111
(
)n
n a a a +++
≥，并代入〔4〕式即得
2
2
2
2
121
2
1
1
1
(1)()()()n n n n
αααααα++
++
+
++≥，
证毕．
例7[7] 在ABC ∆
中，求证sin sin sin 2
A B C ++≤
证明 考虑函数()sin 0y x x π=<<，因为()sin 00y x x π''=-<<<，
所以sin y x =在()0,π内是上凸函数，由上凸函数的性质有
sin sin sin sin 33
A B C A B C
++++≤，
由于A B C π++=
．故sin sin sin A B C ++≤
例8[8] 设,i i a b R +
∈，1,2,,i n =，11n
n
i i i i a b ===∑∑，那么21112n
n
i i i i i i
a a a
b ===+∑∑．
证明 记1
n
i i s a ==∑那么1
1n
i
i a s
==∑
，取()1,01f x x x =
>+，易知()0f x ''>，有判定定理知()f x 为凸函数，取i
i i b x a =，由于11
n n
i i i i a b s ====∑∑．故由性质得
211111
112
11n
n i i n
n
i i i i i i i i
i i a a s s s s a
b a b s x x s
s
=====≥=
=
++++∑∑∑∑
． 例9 设,0i i a b >，1,2,
,i n =，有1111n n n
q
p q i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤
≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑∑，其中0,0p q >>，
11
1p q
+=． 证明 令(),1,0p f x x p x =>>，因为()2(1)0p f x p p x -''=->，由判定定理知
(),1,0p f x x p x =>>，在()0,+∞上是严格凸函数，由Jensen 不等式得到
1
1
()n
n
p
p
i i i i
i i x x λλ==≤∑∑，今设12,,
,n u u u 为非负实数且1
0n
i i u =≠∑，在上述表达式中以1
n
i
i
i u u
=∑代替i λ，得到11
1
1
()()()n
n
n
p
p p i i i i
i i i i u x u x u -===≤∑∑∑．
由题设111p q +=知)1q p p =-令1,q q
i i i i i u b x a b -==，不妨设1
0n
i i b =≠∑，代入上式便得
不等式1
111n n n
q
p q i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤
≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑∑．
特别地，取2p q ==
时得就到柯西不等式1n
i i i a b =≤
∑ 综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凸函数的定义及性质，就可使一些较复杂的不等式迎刃而解．
结束语
通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间的等价性．给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen 不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数的应用领域非常广泛，主要是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找适宜的函数，假设不能直接找出，那么可以对不等式进行适当的变形，从而到达证明不等式的目的．至于凸函数在其他领域的应用那么未涉及．
参考文献
[1] 花树忠．凸函数的三种典型定义及其间的等价关系[J]．邯郸职业技术学院学
报．2002(1)：52-54．
[2] 李碧荣．及其性质在不等式证明中的应用[J]．广西师范学院学报．2004，21(2) ． [3] 林银河．凸函数的等价描述与Jensen 不等式[J]．丽水师范专科学校学报．2001，
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[4] 杜厚雄．凸函数的性质及其应用[J]．现代企业教育．2007:173-174．
[5] 白景华．凸函数的性质、等价定义及应用[J]．开封大学学报．2003，17(2):59-64． [6] 曹良干．凸函数的定义及应用[J]．阜阳师范学院学报．1994(2) ．
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[8] 李荣春．利用凸函数证明不等式[J]．宁德师专学报．1998，10(1) ．
致谢
经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的催促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个论文是难以想象的．
在这里首先要感谢我的导师吴开腾老师．吴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从查阅资料到论文开题，中期检查，后期修稿定稿等整个过程中都给予了我悉心的指导．我的论文较为复杂烦琐，但是，吴老师仍然细心地纠正论文中的错误．除了敬佩吴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的典范，并将积极影响我今后的学习和工作．
然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我打下数学与应用数学专业知识的根底；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业论文才会顺利完成．
最后感谢数学与信息科学学院和我的母校—内江师范学院大学四年来对我的大力栽培．
谨以此文献给所有关心和帮助过我的老师、亲人、同学和朋友们．我唯有在以后不断地努力进取，以学业和工作的继续求索来感谢培育我的母校和所有关心我的师长亲朋！希望我们都幸福快乐！
谢意难尽，前途漫长，除了热血、辛劳、泪水和汗水之外，我别无奉献．
论文落笔，如释重负，但“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索〞．。