2015年新人教版九年级上第3课时实物抛物线学案
初中数学人教版九年级上册《2233实际问题与二次函数第三课时实物中的抛物线形问题》教案
人教版数学九年级上22.3《实际问题与二次函数》第三课时实物中的抛物线形问题教学设计分析：都有抛物线形物体。
二、探究新知探究1：如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2 m 时,水面宽4 m。
水面下降1 m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？教师提出问题：（1）怎样把这个实际问题转化数学问题来解？（2）求函数解析式的方法是什么？如何设这个函数解析式？（3）你打算利用哪个点的坐标？这个点的坐标是什么？教师引导学生思考，学生思考后回答，然后师生共同解题，写出解题过程。
探究2：三、学以致用在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高20 9米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？解和掌握。
课堂练习 1. 如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A．y=x2 B．y=-x2C．y=-x2 D．y=-x22.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为1/2 米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（）A.y=-（x-）2+3B.y=-3（x+）2+3C.y=-12（x-）2+3D.y=-12（x+）2+33.如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．4.如图，公园要在一个圆形的喷水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA的距离学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的解题技巧。
九年级数学第3课时实物抛物线教案
第 3 课时实物抛物线1教学目标1．会利用二次函数知识解决实物抛物线问题．2．能根据实际问题构建二次函数模型．2预习反馈阅读教材 P51(探究3)，完成下列问题．1．有一抛物线形拱桥，其最大高度为16 米，跨度为40 米，把它的示意图放在如图所示1 2 8的坐标系中，则抛物线的函数解析式为y＝－25x ＋5x．1 22．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y＝－8x ＋ 2，一辆车高3 m，宽4 m，该车不能 ( 填“能”或“不能” ) 通过该隧道．3新课讲授例 1 ( 教材 P51 探究 3) 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？【思路点拨】将实际问题转化为数学问题，先建立适当的坐标系求出这条抛物线表示的二次函数，再根据二次函数的图象进行解题．其中以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系最为简便( 如图 ) ．【解答】设这条抛物线表示的二次函数为y＝ ax2.由抛物线经过点 (2 ，－ 2) ，可得2－2＝ a ×2，解得1a ＝－ 2.∴这条抛物线表示的二次函数为1 2y ＝－ 2x .当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y ＝－ 3，这时有－1 23＝－ 2x ，解得 x ＝±6.∴这时水面宽度为2 6 m.答：当水面下降 1 m 时，水面宽度增加 (2 6－ 4)m.【点拨】利用二次函数知识解决实物抛物线问题的一般步骤：(1) 建立适当的平面直角坐标坐标系，并将已知条件转化为点的坐标；(2) 合理地设出所求的函数的解析式， 并代入已知条件或点的坐标， 求出解析式； (3) 利用解析式求解实际问题．【跟踪训练 1】( 22.3 第 3 课时习题 ) 如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶 ( 拱桥洞的最高点 ) 离水面 2 米．水面下降 1 米时，水面的宽度为2 6米．例 2 ( 教材变式例题 ) 某公司草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距 0.4 m 加设不锈钢管 ( 如图 ) 做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．(1) 求此抛物线的解析式；(2) 计算所需不锈钢管的总长度．【解答】 (1) 由题意得， B (0 ，0.5) ， C (1 ， 0) ．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋ ，代入得 ＝－ 0.5 ， ＝ 0.5.cac故解析式为 y ＝－ 0.5 x 2 ＋0.5.(2) 如图所示：当 x＝0.2时， y＝0.48.当 x＝0.6时， y＝0.32.∴B1C1＋ B2C2＋ B3C3＋ B4C4＝2×(0.48＋0.32)＝1.6(米)．∴所需不锈钢管的总长度为： 1.6 ×50＝80( 米 ) ．【点拨】利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【跟踪训练2】如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面 4 m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是1 2y＝－ 9(x － 6) ＋ 4，则选取点 B 为坐标原点时的抛物线的解析式是1y＝－ 9(x＋6) 2＋ 4．4巩固训练1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其1 2DO是 4 m时，这时水面宽度AB为 ( C) 函数的关系式为y＝－25x ，当水面离桥拱顶的高度A．－20 m B．10 m C．20m D．－10 m2．某铅球运动员在一次推铅球时，铅球行进高度y( m) 与水平距离x( m) 之间的关系为 y ＝－ 1 (x － 4) 2＋ 3，由此可知他铅球推出的距离是 ( )12 AA．10 m B．9.5 m C ． 9 m D．8 m 3．如图所示，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16 米，跨度为40 米，现把它的示意图放在直角坐标系中，则此抛物线的函数关系式为y＝－ 1 (x － 20) 2＋ 16．255课堂小结对具有抛物线形状的实际问题，要能根据图形的特征建立恰当的平面直角坐标系，这样就能更快地解决问题．。
抛物线形实物及运动轨迹问题 数学九年级上册同步教学课件(人教版)
6
8
解得 x1＝6 + 2 3，x2＝6﹣2 3.
则 x1﹣x2＝4 3.
所以两排灯的水平距离最小是 4 3 m.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈
抛物线状，喷出的水流高度 y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距 离 x (m) 之间满足 y 1 x2 2x.
长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物
线可以用
y＝
−
1 6
x2
+
2x
+
c
表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
6
∴
抛物线解析式为
y＝−
1 6
x2
+
2x
+
4.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
(2)把函数问题转化为实际问题时，注意实际问题的取值范围．
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，-5.6）在抛物线的图象上，
∴-5.6=36a， a 7 .
人教版-数学-九年级上册-22.3实际问题与二次函数(第3课时)导学案
第3课时 实物抛物线能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实物抛物线问题．阅读教材第51页，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系． 自学反馈学生独立完成后集体订正：1．有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数解析式为________________．2．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋2，一辆车高 3 m ，宽 4 m ，该车________(填“能”或“不能”)通过该隧道．活动1 小组讨论例1 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水面下降1 m 时，水面宽度增加多少？解：由题意建立如图所示的直角坐标系：设抛物线的解析式为y ＝ax 2.∵抛物线经过点A(2，－2)，∴－2＝4a.∴a ＝－12.∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2. 当水面下降1 m 时，点B 的纵坐标为－3.将y ＝－3代入二次函数解析式y ＝－12x 2，得 －3＝－12x 2，x 2＝6，x ＝±6. ∴此时水面宽度为2||x ＝2 6 m ，即水面下降1 m 时，水面宽度增加了(26－4)m .用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系．抛物线的解析式设的恰当会给解决问题带来方便．活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m .(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m )时，桥下水面的宽度为d(m )，求出用d 表示h 的函数解析式；(3)设正常水位时桥下的水深为2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．以桥面所在直线为x 轴，以桥拱的对称轴所在直线为y 轴建立坐标系．设抛物线的解析式为y ＝ax 2，然后点B 的坐标为(10，－4)，即可求出解析式．2．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．(1)求该抛物线的解析式；(2)计算所需不锈钢管的总长度．本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响．活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】自学反馈1．y＝－125x 2＋85x 2.不能【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)y＝－125x2.(2)h＝4－1100d2.(3)当水深超过2.76 m时，就会影响过往船只在桥下顺利航行． 2.(1)略．(2)80 m.。
新人教版初中数学九年级上册精品教案22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
抛物线教案
教案抛物线教学设计与实施一、教学目标1.让学生理解抛物线的定义、标准方程和基本性质，能够画出简单的抛物线图形。
2.培养学生运用数学语言表达、分析和解决实际问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容1.抛物线的定义和标准方程2.抛物线的焦点、准线和对称轴3.抛物线的图形和性质4.抛物线在实际问题中的应用三、教学重点与难点1.教学重点：抛物线的定义、标准方程和基本性质。
2.教学难点：抛物线的图形理解和应用。
四、教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，如抛物线运动、抛物面天线等，引导学生了解抛物线在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：（1）抛物线的定义：以一个点为焦点，到这个点的距离等于到一条直线的距离的点的轨迹。
（2）抛物线的标准方程：y^2=4ax（开口向右）、x^2=4ay（开口向上）。
（3）抛物线的焦点、准线和对称轴：焦点为（a,0），准线为x=-a，对称轴为y轴。
（4）抛物线的图形和性质：图形为U形或倒U形，性质包括对称性、顶点、焦点、准线等。
3.实践应用：（1）画出给定焦点的抛物线。
（2）已知抛物线上的点，求抛物线的标准方程。
（3）利用抛物线的性质解决实际问题，如求抛物线与直线的交点、抛物线上的切线等。
4.总结反馈：通过课堂小结，让学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。
五、作业布置1.课后习题：完成教材中抛物线相关习题。
2.拓展练习：研究抛物线在实际问题中的应用，如抛物线运动、抛物面天线等。
六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的学习兴趣，注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力。
同时，注重师生互动，鼓励学生提问，激发学生的思维活力。
在教学评价方面，采用多元化评价方式，关注学生的全面发展。
需要重点关注的细节是“实践应用”部分。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数 实际问题与二次函数 导学案3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题学习目标：1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．一、知识链接如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出二次函数的解析式类型.(1)_________ (2)_________ (3)_________二、要点探究探究点1：利用二次函数解决抛物线形实物问题 合作探究如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m.水面下降1m ，水面宽度增加多少？问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线的位置呢？问题3 如何确定a的值是多少？问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？知识要点：解决抛物线型实际问题的一般步骤.(1) 根据题意建立适当的直角坐标系；(2) 把已知条件转化为点的坐标；(3) 合理设出函数解析式；(4) 利用待定系数法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.典例精析例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示．（1）请写出该抛物线的函数解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？变式如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．探究点2：利用二次函数解决抛物线形运动轨迹问题例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流离喷嘴的水平距离x（m）之间满足（1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？变式 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m 才能使喷出的水流不致落到池外？例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心4m （水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m ，如果篮框中心距离地面3.05m ，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？三、课堂小结1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=－4.9t 2+19.6t 来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地.2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.第2题图 第3题图3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A.50mB.100mC.160mD.200m4.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m ，拱顶距离水面 4 m ．建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式.5.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15 m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45 m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60 m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．能力提升悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1) 若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式；(2) 计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长.参考答案自主学习 知识链接（1）y=ax 2 （2）y=ax 2+k （3）y=a(x-h)2+k 或y=ax 2+bx 课堂探究 二、要点探究探究点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题 合作探究问题1 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图．问题2 由于顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式为y=ax 2 （a ＜0）．问题3 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A （2，-2）在抛物线上，由此得出-2=a·22，解得a=1.2-因此， ，其中｜x ｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．问题4 解：这条抛物线表示的二次函数为y=21.2x -当水面下降1m 时，水面的纵坐标-3 令213,2x -=-解得12x x ==即，水面下降1m时，水面宽度增加()4m.212y x =-例1 解：（1）根据题意得C （0，4），把C （0，4），代入y ＝16-x 2+2x+c ，得c=4.所以抛物线解析式为y ＝16-x 2+2x+4.（2）抛物线解析式为y ＝16-x 2+2x+4=16-(x-6)2+10.所以对称轴为x ＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）或（10，0），当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过.（3）令y ＝8，则16-(x-6)2+10=8,解得x 1＝2＝,则x 1﹣x 2＝所以两排灯的水平距离最小是变式 解：（1）如图，以O 为原点建立直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为（8，8）.设y ＝a （x ﹣8）2+8，将点（0，0）代入上式得0＝64a+8，解得a=1.8-故函数的解析式为 y ＝18-（x ﹣8）2+8（0≤x ≤16）.（2）由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿处，x ＝7.5﹣3.5＝4，当x ＝4时，y ＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行.探究点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题例2 解：(1)∵y ＝12-x 2+2x=12-(x-2)2+2.故当x ＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y ＝2.(2)令y=0,即12-x 2+2x=0,解得x 1=0,.变式 解：建立如图①所示的坐标系.根据题意得，A 点坐标为(0，1.25)，顶点B 坐标为(1，2.25).设右边抛物线为y=a(x-h)2+k ，由待定系数法可求得抛物线解析式为 y=－ (x-1)2+2.25.当y=0时,可求得点C 的坐标为(2.5,0) ;同理，点 D 的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要 2.5m ，才能使喷出的水流不致落到池外.图① 图②例3 解：如图②，建立直角坐标系.则点A 的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B （0，3.5）.以点C 表示运动员投篮球的出手处.设以y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax 2+k.而点A ，B 在这条抛物线上，所以有 2.25 3.05,3.5,a k k +=⎧⎨=⎩0.2,3.5.a k =-⎧⎨=⎩解得所以该抛物线的解析式为y=－0.2x 2+3.5.当 .当堂检测1.42.23.C4.解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax 2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a ，a=-0.04.∴y=-0.04x 2.5.解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣h ）2+k ，根据题意得：抛物线的顶点坐标为（15，45），∴y＝a （x ﹣15）2+45，∵与x 轴交于点A （60，0），∴0＝a （60﹣15）2+45，解得：a ＝145-.∴解析式为y=145-（x ﹣15）2+45，令x ＝0得：y ＝145-（0﹣15）2+45=40.∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米． 能力提升 解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y 轴，设抛物线的函数解析式为y=ax 2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得81.5=a•4502+0.5.解得a ＝2811=4502500.故所求解析式为y=12500x 2+0.5（-450≤x ≤450）. (2) 当x=450－100=350时，得y=12500×3502+0.5=49.5.当x=450－50=400时，得y=12500×4002+0.5=64.5.即距离桥两端主塔分别为100m ，50m 处垂直钢索的长分别为49.5m 、64.5m.。
九年级数学上册-实际问题与二次函数第3课时导学案新版新人教版
22.3实际问题与二次函数第3课时实际问题与二次函数（3）一、导学1.导入课题:如图中的抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m,水面下降1 m,水面宽度增加多少？（板书课题）2.学习目标:（1）能建立合适的直角坐标系,用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题.（2）进一步巩固二次函数的性质与图象特征.3.学习重、难点:重点：建立合适的直角坐标系,用二次函数解决实际问题.难点：建立合适的直角坐标系.4.自学指导：（1）自学内容：教材第51页的“探究3”.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲：①图中的抛物线表示拱桥,以抛物线的顶点为坐标原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系.②设y=a x2(a≠0),根据已知条件图象经过点（2,-2）,用待定系数法就可以求出a,即可确定解析式.③水面下降1m后,y=a x2中的y=-3,求出对应的x值为x1=6,x2= 6,故此时的水面宽度为26m.④水面宽度增加多少？水面宽度增加（26-4）m⑤如果以下降1 m后的水面为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系.给出你的解答,两种方法的结果相同吗？设抛物线的解析式为y =a x 2+3,抛物线过点（2,1）,则1=4a+3,解得a=-12, ∴抛物线的解析式为y x =-+2132.当y=0时,x =-+21032,解得x 1,x 2=此时水面宽度为m,水面宽度增加（）m.两种方法的结果相同.⑥你还有其他的方法吗？请与你的同桌分享.还可以,以水面未下降时的水面为x 轴,以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系来计算.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：关注学生探究提纲第⑤题的解答情况,让他们体会坐标系建立方式的不同和具体区别.(2)差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.2.生助生：小组内相互交流、研讨.四、强化利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系；（2）写出抛物线形上的关键点的坐标；（3）运用待定系数法求出函数关系式；（4）求解数学问题；（5）求解抛物线形实际问题.五、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课学习中你有何收获？掌握了哪些解题技能和方法？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的状态、方法、效果及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时进一步探究二次函数在实际问题中的应用,主要涉及二次函数在建筑问题如拱桥、拱形门等中的应用,在前面学习的基础上适当放手让学生独立思考、分析并总结此类问题的解题步骤,通过类比的思想,总结二次函数在实际问题中的应用.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（50分）1.( 25分)某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示）,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高为（精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计）（B ）A.9.2 mB.9.1 mC.9 mD.5.1 m2.(25分)某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,现测得水平宽度AB=1.6m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m,那么在如图所示的直角坐标系中,涵洞所在的抛物线的解析式是y=-3.75x 2.第1题图 第2题图二、综合应用（25分） 3.(25分) 某幢建筑物,从10米高的窗户A 用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状（如图）,若抛物线最高点M 离墙1米,离地面403米,求水流落地点B 离墙的距离. 解：设该抛物线的解析式为y=a(x -1)2+403. ∵抛物线过点（0,10）,∴＝（）a -+24010013,解得a =-103,∴抛物线的解析式为＝（）y x --+21040133, 令y=0,则（）x --+=210401033. 解得x 1=3,x 2=-1（舍去）.∴水流落地点B 离墙的距离为3米.三、拓展延伸（25分）4.(25分)某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m （如图）,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？解：以水平面为x 轴,抛物线对称轴为y 轴建立直角坐标系.设抛物线解析式为y=a x 2+0.5,∵抛物线过点（1,0）,∴0=a+0.5,解得a=-0.5.∴抛物线解析式为y=-0.5x 2+0.5.令y ＝0,则-0.5x 2+0.5＝0,解得x ＝±1.令x =0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48,令x =0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32.（0.48+0.32）×2=1.6 （m ）∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为1.6m.。
1.5二次函数的应用1(实物抛物线)教学设计数学九年级下册
九年级 数学科目 新授课型 第__章___课时，总第__课时 授课时间： 月 日课题： 1.5 二次函数的应用1（实物抛物线）教学目标：1. 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.2. 经历运用二次函数解决实际问题的探究过程,进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系,体会二次函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能力.3. 体验函数是有效的描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.教学重点：根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标,求出函数的解析式，从而解决实际问题。
教学难点：建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式。
导学流程及学习内容方法指导 或行为提示一、目标导学（一）复习导入（1）一抛物线如右图所示，则它的解析式为_____________________；当x=1时，y=___________.（2）顶点为（－3，4）且过点（2，－1）的抛物线的解析式为 _ _．（3）当一枚火箭竖直向上发射后，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可用公式h=5t 2+150t+10来表示，则当t=_____s 时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是__________m.（二）学习目标解读二、新知探究（一）自学自研自主学习教材P29P30“动脑筋”和“议一议”并完成探究13探究1：“动脑筋”用抛物线的知识解决拱桥类问题1、此题能用二次函数模型来刻画的依据是____________________2、除图119的形式建立平面直角坐标系外还可以怎么建立平面直角坐标系，试着画一画它的草图看看！比较看看那种形式简便。
3、自变量的取值范围是：__________________4、当水面宽时，拱顶离水面________m,当水面宽时，拱顶离水面________m.探究2;牛刀小试某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少m.探究3：“议一议”基本步骤问题：建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图像和性质求解 实际问题的解为新知探究进行知识链接，解答“复习导入”题很有必要.通过比较明白建立合适平面直角坐标系是解“实物抛物线”的关键Ox y13 3（二）合作共研1、生生交流“自学自研”的内容2、请学生汇报交流后的结果，老师适时的点评、点拨。
九年级实物抛物线教学设计
九年级实物抛物线教学设计引言：抛物线作为数学中的重要概念，在九年级的数学学科中具有一定的重要性。
通过实物方式进行抛物线教学设计，不仅能够提升学生对抛物线的理解和应用能力，还能够增强学生的学习兴趣。
本文将围绕九年级实物抛物线教学设计展开，重点介绍实物抛物线教学的目标、内容、教学步骤以及评价方法等。
一、教学目标：1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的性质及其与二次函数的关系；2. 能够运用实物抛物线进行实验观察，分析实物抛物线的特征，并能够将实物抛物线与数学模型相联系；3. 提高学生的实践操作能力、观察能力和团队合作精神。
二、教学内容：1. 抛物线的定义及其性质；2. 抛物线与二次函数的关系；3. 实物抛物线的制作及观察。
三、教学步骤：1. 导入阶段：以悬挂在墙上或吊挂在教室中央的实物抛物线为起点，向学生介绍抛物线的概念，并引发学生对抛物线的兴趣。
2. 知识讲解阶段：系统介绍抛物线的定义、性质以及与二次函数的关系。
通过展示抛物线的数学模型，与实物抛物线进行对比，加深对抛物线的理解。
3. 实物观察阶段：组织学生观察实物抛物线，分析其特征，例如焦点、顶点、对称轴等，并通过实物的形状变化，让学生理解抛物线的性质。
4. 实验设计阶段：让学生分组进行实验设计，设计不同形状和材料的实物抛物线，并观察实物抛物线的运动轨迹。
鼓励学生发现线性、非线性关系等，并将实物抛物线的运动过程和数学模型相对应。
5. 学生展示和总结阶段：学生展示实验结果，并进行分析和总结，交流各组之间的经验和发现。
教师引导学生理解实物抛物线与数学模型的联系，并对学生的学习进行总结和梳理。
四、教学评价方法：1. 学生实验报告的评价：包含实验设计、数据收集和分析等方面，评估学生对抛物线性质的理解和运用能力。
2. 学生展示的评价：评估学生的演示能力、团队合作能力和语言表达能力。
3. 学生的课堂表现评价：包括学生的参与度、提问和回答问题的积极性等方面。
结论：通过实物抛物线教学设计，学生能够更加直观地理解抛物线的定义和性质，同时培养学生的实践操作能力、分析能力和团队合作精神。
人教版九年级上15.3课堂教学设计
人教版九年级上15.3课堂教学设计一、教学内容本节课的教学内容为人教版九年级上册第15章第3节的“一次函数的图像与性质”。
具体内容包括：1. 一次函数的一般形式：y = kx + b（k、b是常数，k≠0）。
2. 一次函数的图像：直线。
3. 一次函数的性质：斜率k和截距b对直线图像的影响。
二、教学目标1. 让学生掌握一次函数的一般形式，了解斜率和截距的概念。
2. 培养学生绘制一次函数图像的能力，理解一次函数图像与斜率、截距的关系。
3. 培养学生运用一次函数解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：一次函数的一般形式、斜率和截距的概念及一次函数的图像。
难点：一次函数图像的绘制，斜率和截距对直线图像的影响。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
学具：笔记本、尺子、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：以“小明家的花园”为情境，引入一次函数的概念。
描述小明家的花园是一个长方形，长为10米，宽为5米，求花园的面积。
引导学生思考如何用数学表达式表示花园的面积。
2. 概念讲解：（1）一次函数的一般形式：y = kx + b（k、b是常数，k≠0）。
（2）斜率k：表示直线的倾斜程度，k>0时，直线向上倾斜；k<0时，直线向下倾斜。
（3）截距b：直线与y轴的交点坐标。
3. 图像绘制：（1）让学生在坐标系中，绘制一次函数y = 2x 1的图像。
（2）分析斜率k和截距b对直线图像的影响。
4. 性质讲解：（1）斜率k的值越大，直线越陡。
（2）截距b的值越大，直线在y轴上的截距越远。
5. 例题讲解：（1）例题：已知一次函数的图像经过点（2，5）和（0，1），求该一次函数的解析式。
（2）解题思路：利用两点式求一次函数的解析式。
（3）解题过程：设一次函数的解析式为y = kx + b，代入点（2，5）和（0，1）得：5 = 2k + b1 = b解得：k = 3，b = 1所以，该一次函数的解析式为y = 3x 1。
实物抛物线第3课时学案.doc
实物抛物线第3课时学案本资料为WORD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课件m第3课时实物抛物线出示目标能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.预习导学阅读教材第51页，自学“探究3”，学会根据实际问题,建立适当的坐标系和二次函数关系.自学反馈学生独立完成后集体订正隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=-x2+2,一辆车高3m,宽4m,该车不能（填“能”或“不能”）通过该隧道.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40 米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为y=-x2+x.合作探究活动1小组讨论例1小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在1时，拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降lm时，水面宽度增加多少？解：由题意建立如图的直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax2.•••抛物线经过点A(2, -2 ),・•・-2=4a,・•・a二-.即抛物线的解析式为y =-x2.当水面下降1 m时，点B的纵坐标为-3 .将y=-3代入二次函数解析式y=-x2,得-3=-x2, x2=6, x = + . 此时水面宽度为 2 | x | =2m.即水面下降lm时，水面宽度增加了(2-4)m.用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系•抛物线的解析式设的恰当会给解决问题带来方便.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m, 拱顶距离水面4m.如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m),求出将d表示为h的函数解析式；设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行.解：1•①y=-x2；②d =10；③当水深超过时，就会影响过往船只在桥下顺利航行以桥面所在直线为X轴，以桥拱的对称轴所在直线为y 轴建立坐标系•设抛物线线解析式为y=ax 2,然后点B的坐标为（10, -4）,即可求出解析式.2•某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.求该抛物线的解析式；计算所需不锈钢管的总长度.解：①略；②80m.本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响.活动3课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？当堂训练教学至此，敬请使用学案当堂训练部分•莲山课件。
人教版九年级数学上册 学案：22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1
第3课时拱桥问题和运动中的抛物线学习目标1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程一、预备练习：1、如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为，点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的解析式为。
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是，点B的坐标为；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为。
二、新课导学：例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？三、课堂练习：1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？。
人教版九年级数学上册 学案：22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1
第3课时拱桥问题和运动中的抛物线学习目标1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程一、预备练习：1、如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为，点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的解析式为。
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是，点B的坐标为；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为。
二、新课导学：例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？三、课堂练习：1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？。
人教版九年级数学上册 学案：22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1
第3课时拱桥问题和运动中的抛物线学习目标1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程一、预备练习：1、如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为，点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的解析式为。
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是，点B的坐标为；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为。
二、新课导学：例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？三、课堂练习：1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？。
九年级数学人教版上册实物抛物线 同步课件
(3)设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航 行，桥下水面的宽度不得小于 18 m，求水深超过多少米时就会影 响过往船只在桥下顺利航行．
1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所 示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y＝－215x2，当水面离桥拱
顶的高度 DO 是 4 m 时，这时水面宽度 AB 为( C )
3．一名男生推铅球，铅球行进高度 y(单位：m)与水平距离
x(单位：m)之间的关系是 y＝－112x2＋23x＋53，则他将铅球推出的
距离是( C )
A．8 m
B．9 m
C．10 m
D．11 m
4．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球 所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手 处 A 点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处 B 点的坐标为(6，5)．
应用思考：现用高度为 20 cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究， 水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直 距离 h cm 处开一个小孔．
(1)写出 s2 与 h 的关系式；并求出当 h 为何值时，射程 s 有最 大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a，b，要使两孔射出水的射程相同，求 a，b 之间的关系式；
第二十二章 二次函数
2实物抛物线问题的一般步骤：
(1)建立适当的平___面__直__角___坐__标__系__，将抛物线形的图形放在平
面直角坐标系中；
(2)设函数解析式，结合图形与已知条件，用_待__定___系__数__法__
求函数解析式；
(1)若球向正前方运动(即 x 轴垂直于底线)，求球运动的高度 y(单 位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的函数关系式(不必写出 x 取值范 围)．并判断这次发球能否过网，是否出界，说明理由；
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第3课时 实物抛物线
出示目标 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题. 预习导学
阅读教材第51页，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=-18
x 2+2,一辆车高3 m,宽4 m ，该车不能(填“能”或“不能”)通过该隧道.
②有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的
函数关系式为y=-125x 2+85x.
合作探究
活动1 小组讨论
例1 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水面下降1 m 时，水面宽度增加多少?
解:由题意建立如图的直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax 2.
∵抛物线经过点A(2，-2),∴-2=4a,∴a=-12.即抛物线的解析式为y=-12x 2.
当水面下降1 m 时，点B 的纵坐标为-3.将y=-3代入二次函数解析式y=-12x 2，得
-3=-12x 2，x 2=6,x=∴此时水面宽度为2|x |=2 即水面下降1 m 时，水面宽度增加了-4)m.
用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系.抛物线的解析式设的恰当会给解决问题带来方便. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m.
①如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
②在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d 表示为h 的函数解析式； ③设正常水位时桥下的水深为2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行.
解：1.①y=-125
x 2；② 2.76 m 时，就会影响过往船只在桥下顺利航行
以桥面所在直线为x 轴，以桥拱的对称轴所在直线为y 轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax 2，然后点B 的坐标为(10，-4)，即可求出解析式.
2.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管如
图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.
①求该抛物线的解析式；
②计算所需不锈钢管的总长度.
解：①略；②80 m.
学生试述:这节课你学到了些什么?
当堂训练
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。