三角函数图象和性质

三角函数专题辅导
课程安排
专题辅导一
三角函数的基本性质及解题思路
课时：4-5学时 学习目标：
1. 掌握常用公式的变换。

2. 明确一般三角函数化简求值的思路。

第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)
tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β
2、倍角公式：
sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)
cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)
cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)
3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±−−−→=
()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβαβαβαβααα
αααβα
αβααβα
αα
αα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=
-
4、同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：2
2
2
2
2
2sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=
（2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
=
=
第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：
一角二名三结构
首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等）。

如：
1、已知2tan()5αβ+=
，1tan()44πβ-=，那么tan()4
π
α+的值是_____/ 2、02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2
23
sin()αβ-=，求cos()αβ+/
3、已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系
为______/
(2)三角函数名互化(切割化弦)，如
1、求值sin50(13tan10)+/
2、已知sin cos 2
1,tan()1cos 23
αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值/
(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

如
1、A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____//
2、ABC ∆，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =， ____三角形//
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=与升幂公式：2
1cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。

如
1、若32
(,)αππ∈为_____/
2、25f (x )sin xcos x x =-x R )∈递增区间＿＿＿＿＿＿
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

如 1、tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα
αα
++
+ /
2、求证：
2
1tan 1sin 212sin 1tan 2
2ααα
α
++=--；
3、化简：
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()
44
x x x x ππ-+
-+
(6)常值变换主要指“1”的变换（2
2
1sin cos x x =+2
2
sec tan tan cot x x x x =-=⋅ tan sin 42
ππ===等）。

如已知tan 2α=，求22
sin sin cos 3cos αααα+-
(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”。

如
1、若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __
（答：21
2
t -±)，特别提醒
：这里[t ∈；
2、若1(0,),sin cos 2
απαα∈+=，求tan α的值。

/
3、已知
2sin 22sin 1tan k αα
α
+=+()42ππα<<，试用k 表示sin cos αα-的值/
（8）、辅助角公式中辅助角的确定
：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所
在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b
a
θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

如
（1）
若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.
（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______ （3）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=
专题辅导二
三角函数的图像性质及解题思路
学习目标：
1会求三角函数的定义域 2会求三角函数的值域
3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。

如x y sin =与x y cos =的周期是π. 4会判断三角函数奇偶性 5会求三角函数单调区间
6对sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数的要求 （1）五点法作简图
（2）会写sin y x =变为sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的步骤 （3）会求sin()y A x ωϕ=+的解析式
（4）知道cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+的简单性质 7知道三角函数图像的对称中心，对称轴 8能解决以三角函数为模型的应用问题
（一） 、知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，
3,,
,22
2
π
π
ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：
（1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最大值1；当
()322
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

如 （1）若函数sin(3)6
y a b x π
=-+
的最大值为
23，最小值为2
1
-，则=a __，=b ＿ （2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2
,2[π
π-
∈x ）的值域是____（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是___、___
（4）
函数2()2cos sin()3
f x x x x π
=+-sin cos x x +的最小值是_____，此时x
＝__________
（
（5）己知2
1
cos sin =
βα，求αβcos sin =t 的变化范围 （6）αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最值
特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
3
4、周期性：①sin y x =，cos y x =的最小正周期都是2π；
②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是
2||
T πω=。

如
(1)若3
sin )(x
x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___ (2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4
sin x -的最小正周期为____ (3) 设函数)5
2
sin(2)(π
π
+
=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，
则||21x x -的最小值为____
5、奇偶性与对称性：
(1)正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线
()2
x k k Z π
π=+
∈；
(2)余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π
π⎛⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭
，对称轴是直线()x k k Z π=∈；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。

如
（1）函数522y sin x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的奇偶性是______、
（答：偶函数）；
（2）已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5
f()-=______ ；
（3）函数)co s (sin co s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
（4）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值。

（
6、单调性：
()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦单
调递减；
cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递
增。

特别提醒，别忘了k Z ∈！
7、 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C
===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；
()
sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c
R
=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：2
2
2
2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc
+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定
三角形的形状.
(4)面积公式：111sin ()
222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.如ABC ∆中，若C B A B A 2
2222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状（答：直角
三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：
,sin()sin ,sin cos 22
A B C
A B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关
系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

如
（1）ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、
，且A =60 4,a b =，那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定
（2）在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件
（3）在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____
(4)在ABC ∆中，a ,b ,分
别是角A 、B 、C 所对的边，若
(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____
（5）在ABC ∆中，若其面积222
S =C ∠=____
（6）在ABC ∆中，60 1A ,b ==ABC ∆外接圆的直
径是_______
（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，
21,cos 32
B C
a A +==则= ，
22b c +的最大值为
（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 ＿＿
（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=，且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积
满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=，求A ∠
8、反三角函数：
（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a 表示一个角，这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
内(11)a -≤≤。

(2)反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是
)2
,2(],,0[],2,2[π
πππ
π--
. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ，[)π,0， [0,),[0,),[0,]2
π
ππ．
9、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标
准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

如
（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2
560x x -+=的两根，则求αβ+的值______
；
（2）ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______
（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值
.
专题辅导三
形如sin()y A x ωϕ=+函数的基本性质及解题思路
课时：4课时 学习目标：
1、掌握形如sin()y A x ωϕ=+函数的基本性质。

2、知道解题方法。

（一）、知识要点梳理
1、几个物理量：A ：振幅；1
f T
=
频率（周期的倒数）；x ωϕ+：相位；ϕ：初相；
2、函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A
期确定；ϕ由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2
π
ϕ<
()f x ＝_____（答：15()2sin()23
f x x π
=+）；
3、函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，
3,,
,22
2
π
π
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

4、函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()s i n y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数
()s i n y x ωϕ=+的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移
|
|ϕ
ω
个单位，如 （1）函数2sin(2)14
y x π
=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？
（答：2sin(2)14y x π
=-
-向上平移1个单位得2sin(2)4
y x π
=-的图象，再向左平移8
π
个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1
2
即得sin y x =的图象）；
(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2
x
y =的图象向___平移____
个单位
（3）将函数72sin(2)13
y x π
=-
+图像，
按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6
a π
=-
-）；
（4）若函数()[]()
cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是
附录一、三种基本变换规律： 1．平移变换规律
(1)水平平移：y ＝f (x ＋ )的图象，可由y ＝f (x )的图象向左( ＞0), 或向右( ＜0)
平移| |个单位得到。

(2)垂直平移：y ＝f (x )+b 的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b |
个单位得到。

2．对称变换规律
(1) y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称。

(2) y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称。

(3) y ＝f －1
(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称。

(4) y ＝－f -1
(－x )与y ＝f (x ) 的图象关于直线y ＝－x 对称。

(5) y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称 3．伸缩变换规律
(1) 水平伸缩：y ＝f (ωx )(ω＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸长(0＜ω
＜1) 或缩短( ω＞1)到原来的1
ω
倍(纵坐标不变)得到。

(2) 垂直伸缩:y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)得到。

注：函数y ＝Asin (ωx ＋ )(A ＞0, ω＞0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变
换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y =Af (ωx ＋ ) (A ＞0, ω＞0)也成立。

例1：要得到函数y ＝sin (2x －π
3 )的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )
(A)向左平移 π3 个单位 (B)向右平移π
3 个单位
(C)向左平移π6 个单位 (D)向右平移π
6 个单位
例2：函数y ＝－1
x ＋1
的图象是( )
例3：如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )
(A) －13 (B)－3 (C) 1
3
(D)3
例4：设函数f (x )＝1－1－x 2 (-1≤x ≤0)，则函数y ＝f
－1
(x )的图象是( )
例5：将y ＝2x
的图象( )
(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位
再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y ＝log 2(x +1)的图象。

例6：函数y ＝tan (x 2 －π
3
)在一个周期内的图象是( )
例7：函数y ＝12 cos 2
x ＋ 3 2 sinxcosx ＋1的图象可由y ＝sinx 的图象经过怎样的平移和伸缩
变换得到？
5、研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将
sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区
间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。

如
（1）函数23
y sin(x )π
=-+的递减区间是______
（2）12
34
x y log cos(
)π
=+的递减区间是_______ （3）设函数)2
2,0,0)(sin()(π
ϕπ
ωϕω<
<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3
2π=
x 对称，它的周期是π，则
A 、)2
1,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[
,]123
ππ
上是减函数 C 、)0,12
5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A （4）对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
给出下列结论： ①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线12
x π
=
成轴对称；
③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3
π
个单位得到； ④图像向左平移
12
π
个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。

其中正确结论是_______
（5）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为
3
π
，那么此函数的周期是_______
6、正切函数tan y x =的图象和性质：
（1）定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。

遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数
的定义域了吗？
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。

绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。

如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =
cos x +的周期为
2
π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ
=-+=-+，|tan |y x =的周
期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫
⎪⎝⎭
()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但
无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
内都是增函数。

但要注
意在整个定义域上不具有单调性。

专题辅导四 综合训练
课时：4课时 学习目标：
1、掌握一些常见题型的解法。

（三）例题讲解
例1求函数3tan(2)4
y x π
=--的定义域，周期和单调区间。

例2已知函数()2sin(2)4
f x x π
=-
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若3[0,
]4
x π
∈，求()f x 的取值范围； （7）求函数()f x 的对称轴与对称中心；
（8）若()f x ϕ+为奇函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ；若()f x ϕ+为偶函数，[0,2)ϕπ∈，求
ϕ。

例3．（1）将函数1s i n (2)24
y x π
=
-的图象向______平移_______个单位得到函数1
s i n 22
y x =
的图象(只要求写出一个值) (2) 要得到1cos(2)24y x π=-的图象,可以把函数sin()cos()66
y x x ππ
=--的图
象向______平移_______个单位(只要求写出一个值).
例4.设x R ∈,函数2
1()cos ()2f x x ωϕ=+-
(0,)2
o π
ωϕ><<,已知()f x 的最小正周期为π,且1
()8
4
f π=. (1)求ω和ϕ的值; (2)求的单调增区间.
例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b (1)求这段时间的最大温差
(2)写出这段曲线的函数解析式
（四）练习题 一、选择题
1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6
π
个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A ．sin()6
y x π
=+ B ．sin()6y x π
=-
C ．sin(2)3y x π=+
D ．sin(2)3
y x π
=- 2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=
<<，下列结论正确的是
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值 3.函数y =1+cos x 的图象
（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称
（D ）关于直线x =
2
π
对称 4.已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-
,
4
π
]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于
A.
32 B.2
3
C.2
D.3 5.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距
离的最小值
4
π
，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.
2π D . 4
π 6.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( )
（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1
7为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的
点
（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变） （C ）向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
8.已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是
(A)[]1,1- (B) ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ (C) ⎡-⎢⎣⎦ (D)
1,⎡-⎢⎣
⎦
9.函数1
|sin(3)|2
y x =+的最小正周期是（ ）
Ａ．
π2
Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π
10.函数()tan 4f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调增区间为 A ．,,2
2k k k Z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
B ．()(),1,k k k Z ππ+∈
C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-
+∈ ⎪⎝
⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛
⎫
-+∈ ⎪⎝
⎭
11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A ）sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（B ）sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（C ）cos 43y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（D ）cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
12.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4
π
=x 处取得最
小值，则函数)4
3(
x f y -=π
是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(
π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 13设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ） Ａ．充分而不必要条件
Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
14.函数y=
2
1sin2+4sin 2
x,x R ∈的值域是 (A)［-
21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2
1
22,2122---］ 二、填空题 15.sin()4
y x π
=-+
在[0,2]x π∈的增区间是
16.2cos 0()x x R ≥∈的x 的集合是 17.8sin()4
8
x y π
=-
的振幅,初相,相位分别是
18.tan 1x ≤,且x 是直线的倾斜角,则x ∈ 19.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿＿＿。

20.若)4
sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = . 三．解答题
22设函数3cos(2)3
y x π
=+
（1）用“五点法”作出在一个周期内的简图；
（2）写出它可由cos y x =的图像经怎样的变化得到。

23已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图像关于直线6
x π
=-对称，求a 的值。

24已知2()2cos f x x x a =+（a R ∈是常数 （1）若()f x 的定义域为R ，求()f x 的单调增区间； （2）若[0,]2
x π
∈时，()f x 的最大值为4，求a 的值。

25已知函数sin(
)(0,0,||)2
y A x B A π
ωϕωϕ=++>><在
同一个周期上的最高点为(2,2)，最低点为(8,4)-。

求函数解析式。

26 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位小时）的函数，记作：
()y f t =下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+。

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放。

由（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
27已知函数f (x )=A 2sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2
π
函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;
（2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).。