高中数学解题思想方法技巧：导数开门腾龙起凤

高中数学解题思想方法技巧：导数开门腾龙起凤数学破题36计第33计导数开门腾龙起凤
计名释义
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.
近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.
典例示范
x【例1】 (2005年北京卷)过原点作曲线y=e的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为 .
【分析】本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.果想到导数的几何意义，我们不妨一试.
x【解答】对于未给定切点的要先求导数，即y′=(e)′.
xxxxx0000设切点为(x，e)，y′=e，y=e. 则切线方程为y-e=e(x-x), 0x=
x00
xxx000?切线过(0，0)点，0,e=e(0-x)，?x=1，?e=e,?切点坐标为(1，e),切线斜率为e. 00
【点评】求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.
13【例2】若函数f (x)=loga(x-ax) (a>0,a?1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是 ,2
( )
1399，,，,••••••,1,1A. B. C. D. (•,••，,)(••1••,•••),,,,4444，,，,
32【解答】 B 设u=x-ax，则u′=3x-a.
113222当a>1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x-a>0，即a<3x在上恒成立.又0<3x<，(,•,•0)(,•,•0)422
a0，这与a>1矛盾.
1122当0<a<1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x-a<0，即a>3x在上恒成立，(,•,•0)(,•,•0)22
311133 ?a?且(-)-a (-)>0，即a>,故有?a<1,故正确答案为B. 42244
【点评】此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决.
x2【例3】已知a?R，讨论函数f (x)=e(x+ax+a+1)的极值点的个数.
x2xx2【解答】f′(x)=e(x+ax+a+1)+e(2x+a)=e,x+(a+2)x+(2a+1),.
2令f′(x),0得x+(a+2)x+(2a+1)=0.
22(1)当Δ=(a+2)-4(2a+1)=a-4a=a(a-4)>0.
2即a<0或a>4时，方程x+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x，x，不妨设x<x，于是1212xf′(x)=e(x-x)(x-x). 12
从而有下表:
x (-?，x) x(x，x) x(x，+?) 11 122 2
fˊ(x) + 0 - 0 +
f (x) ? f (x)为极大值 ? f (x)为极小值 ? 12
即此时f (x)有两个极值点.
2(2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x=x.于是12x2f′(x)=e(x-x). 1
故当x<x时，f′(x)>0;当x>x时，f′(x)>0.因此f (x)无极值. 122x2(3)当Δ<0，即0<a<4时，x+(a+2)x+(2a+1)>0，f′(x)=e,x+(a+2)x+(2a+1),>0，故f (x)为增函数，此时f (x)无极值.因此当a>4或a<0时，f (x)有2个极值点，当0?a?4时，f (x)无极值点. 【点评】此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数.
对应训练
ax,61.已知函数f (x)=的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0. 2x，b
(1)求函数y=f (x)的解析式; (2)求函数y=f (x)的单调区间.
24x,72.已知函数f (x)=，x?,0，1,. 2,x
(?)求f (x)的单调区间和值域;
32(?)设a?1，函数g (x)=x-3ax-2a，x?,0，1,.若对于任意x?,0,1,，总存在x?,0,1,,使得g (x)=f 10(x)成立，求a的取值范围. 12x3.已知a?0，函数f (x)=(x-2ax)e.
(?)当x为何值时，f x)取得最小值,证明你的结论;
(?)设f (x)在,,1，1,上是单调函数，求a的取值范围.
参考答案
11.分析:由已知导出f (-1)=-2，结合f′(-1)= -，易求出a、b的值. 2
解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f′
1(-1)= -. 2
,a,b,,,22,1，ba(x，b),2x(ax,6),?f′(x)=，? ,22a(1，b)，2(,a,6)1(x，b),,,2,2(1，b),
a,2b,4,,即 aba(1,),2(，6)1,,,2,2(1，b),
2x,6解得a=2，b=3(?b+1?0，b= -1舍去).所以所求的函数解析式是f (x)=. 2x，3
2,2x，12x，62(2)f′(x)=.令-2x+12x+6=0，解得x=3-23，x=3+23，当x<3-23，或x>3+23时，1222(x，3)
f′(x)<0;
2x,6333当3-2<x<3+2时，f′(x)>0. 所以f (x)= 在(-?，3-2内是减函数; 2x，3
3-23，3+23)内是增函数; 在(3，23，+?)内是减函数. 在(
点评:本题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识分析、解决问题的能力.
2,4x，16x,7(2x,1)(2x,7)2.解析:(?)对函数f (x)求导,得
f′(x)=， ,,22(2,x)(2,x)
17令f′(x)=0解得x=或x=. 22
当x变化时，f′(x)、f (x)的变化情况如下表:
x 0 1 111(0，) (，1) 222
fˊ(x) + - 0 + -
7f(x) ? -4 ? -3 ,2
1所以，当x?(0，)时，f (x)是减函数; 2
1当x?(，1)时，f (x)是增函数; 2
当x?,0,1,时，f (x)的值域为,,4，,3,.
22(?)对函数g (x)求导，得g′(x)=3(x-a).
2因为a?1，当x?(0,1)时，g′(x)<3(1-a)?0.
因此当x?(0,1)时，g (x)为减函数，从而当x?,0,1,时有g(x)?,g(1)，g(0),.
22又g (1)=1-2a-3a，g(0)= -2a，即当x?,0,1,时有g (x)?,1-2a-3a，-2a,. 任给x?,0，1,，f (x)?,-4,-3,,存在x?,0，1,使得g(x)= f (x)，则 110012,,1-
2a-3a，-2a,,-4,-3,.
1,2a,3a2,,•4,•••••••••••••?,即,,2a,,3.••••••••••••••••••••?,
53解?式得a?1或a?-; 解?式得a?. 32
3又a?1，故a的取值范围为1?a?. 2
点评:本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础
知识，以及逻辑思维能力、
运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.
3.分析:(?)利用导数的性质解决问题.
(?)利用函数f (x)在,,1，1,上是单调函数的充要条件是x?1.(x=x时f (x)取到极小值) 222xx2x解:(?)对函数f (x)，求导数，得:f′(x)=(x-2ax)e+(2x-
2a)e=,x+2x(1-a)x-2a,e，令
2x2f′(x)=0，得,x+2(1-a)x-2a,e=0，从而x+2(1-a)x-2a=0.
22解得x=a-1-，x=a-1+，其中x<x. 1，a1，a1212当x变化时，f′(x)、f (x)的变化如下表
x (-?，x) x(x，x) x(x，+?) 11 122 2
fˊ(x) + 0 - 0 +
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 即f (x)在x=x处取到极大值，在x=x处取到极小值. 当a?0时，x<-1，x?0，f (x)在(x，x)为减函数，121212x在(x,+?)为增函数，而当x<0时，f (x)=x(x-2a)e>0，当x=0时，f (x)=0. 2
2所以当x=a-1+时，f (x)取得最小值. 1，a
32(?)当a?0时，f (x)在,,1，1,上为单调函数的充要条件是x?1，即a-1+?1,解得:a?，1，a24
33综上，f(x)在,,1，1,上为单调函数的充分必要条件为a?，即a的取值范围是,，+?). 44点评:本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.。