高中数学解题思想方法技巧:导数开门腾龙起凤

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高中数学解题思想方法技巧:导数开门腾龙起凤数学破题36计第33计导数开门腾龙起凤
计名释义
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化,它不仅是数学解题的工具,又是一种先进的思维取向.
近年高考对导数加大了力度,不仅体现在解题工具上,更着力于思维取向的考查.导数,她像是一条腾跃的龙和开屏的凤,潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领,辨证思想的渗透,帮助着我们确立科学的思维取向.
典例示范
x【例1】 (2005年北京卷)过原点作曲线y=e的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为 .
【分析】本题中没有给出切线方程,而要我们求切点坐标和切线斜率,似乎太难为我们考生了.果想到导数的几何意义,我们不妨一试.
x【解答】对于未给定切点的要先求导数,即y′=(e)′.
xxxxx0000设切点为(x,e),y′=e,y=e. 则切线方程为y-e=e(x-x), 0x=
x00
xxx000?切线过(0,0)点,0,e=e(0-x),?x=1,?e=e,?切点坐标为(1,e),切线斜率为e. 00
【点评】求导既是一种解题方法,又是一种思维取向,故要求我们将方法与思维并存,表里合一,协调匹配.
13【例2】若函数f (x)=loga(x-ax) (a>0,a?1)在区间(,0)内单调递增,则a的取值范围是 ,2
( )
1399,,,,••••••,1,1A. B. C. D. (•,••,,)(••1••,•••),,,,4444,,,,
32【解答】 B 设u=x-ax,则u′=3x-a.
113222当a>1时,f (x)在上单调递增,必须u′=3x-a>0,即a<3x在上恒成立.又0<3x<,(,•,•0)(,•,•0)422
a0,这与a>1矛盾.
1122当0<a<1时,f (x)在上单调递增,必须u′=3x-a<0,即a>3x在上恒成立,(,•,•0)(,•,•0)22
311133 ?a?且(-)-a (-)>0,即a>,故有?a<1,故正确答案为B. 42244
【点评】此题是对数型复合函数,因真数含立方,故宜用导数解决.
x2【例3】已知a?R,讨论函数f (x)=e(x+ax+a+1)的极值点的个数.
x2xx2【解答】f′(x)=e(x+ax+a+1)+e(2x+a)=e,x+(a+2)x+(2a+1),.
2令f′(x),0得x+(a+2)x+(2a+1)=0.
22(1)当Δ=(a+2)-4(2a+1)=a-4a=a(a-4)>0.
2即a<0或a>4时,方程x+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x,x,不妨设x<x,于是1212xf′(x)=e(x-x)(x-x). 12
从而有下表:
x (-?,x) x(x,x) x(x,+?) 11 122 2
fˊ(x) + 0 - 0 +
f (x) ? f (x)为极大值 ? f (x)为极小值 ? 12
即此时f (x)有两个极值点.
2(2)当在Δ=0,即a=0或a= 4时,方程x+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x=x.于是12x2f′(x)=e(x-x). 1
故当x<x时,f′(x)>0;当x>x时,f′(x)>0.因此f (x)无极值. 122x2(3)当Δ<0,即0<a<4时,x+(a+2)x+(2a+1)>0,f′(x)=e,x+(a+2)x+(2a+1),>0,故f (x)为增函数,此时f (x)无极值.因此当a>4或a<0时,f (x)有2个极值点,当0?a?4时,f (x)无极值点. 【点评】此题虽不是求极值,但确定极值点个数实际上还是考查极值,解答时最好列表分析,便于确定极值点的个数.
对应训练
ax,61.已知函数f (x)=的图象在点M(-1,f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0. 2x,b
(1)求函数y=f (x)的解析式; (2)求函数y=f (x)的单调区间.
24x,72.已知函数f (x)=,x?,0,1,. 2,x
(?)求f (x)的单调区间和值域;
32(?)设a?1,函数g (x)=x-3ax-2a,x?,0,1,.若对于任意x?,0,1,,总存在x?,0,1,,使得g (x)=f 10(x)成立,求a的取值范围. 12x3.已知a?0,函数f (x)=(x-2ax)e.
(?)当x为何值时,f x)取得最小值,证明你的结论;
(?)设f (x)在,,1,1,上是单调函数,求a的取值范围.
参考答案
11.分析:由已知导出f (-1)=-2,结合f′(-1)= -,易求出a、b的值. 2
解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1,f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f (-1)+5=0,即f (-1)=-2,f′
1(-1)= -. 2
,a,b,,,22,1,ba(x,b),2x(ax,6),?f′(x)=,? ,22a(1,b),2(,a,6)1(x,b),,,2,2(1,b),
a,2b,4,,即 aba(1,),2(,6)1,,,2,2(1,b),
2x,6解得a=2,b=3(?b+1?0,b= -1舍去).所以所求的函数解析式是f (x)=. 2x,3
2,2x,12x,62(2)f′(x)=.令-2x+12x+6=0,解得x=3-23,x=3+23,当x<3-23,或x>3+23时,1222(x,3)
f′(x)<0;
2x,6333当3-2<x<3+2时,f′(x)>0. 所以f (x)= 在(-?,3-2内是减函数; 2x,3
3-23,3+23)内是增函数; 在(3,23,+?)内是减函数. 在(
点评:本题主要考查函数的单调性,导数的应用等知识,考查运用数学知识分析、解决问题的能力.
2,4x,16x,7(2x,1)(2x,7)2.解析:(?)对函数f (x)求导,得
f′(x)=, ,,22(2,x)(2,x)
17令f′(x)=0解得x=或x=. 22
当x变化时,f′(x)、f (x)的变化情况如下表:
x 0 1 111(0,) (,1) 222
fˊ(x) + - 0 + -
7f(x) ? -4 ? -3 ,2
1所以,当x?(0,)时,f (x)是减函数; 2
1当x?(,1)时,f (x)是增函数; 2
当x?,0,1,时,f (x)的值域为,,4,,3,.
22(?)对函数g (x)求导,得g′(x)=3(x-a).
2因为a?1,当x?(0,1)时,g′(x)<3(1-a)?0.
因此当x?(0,1)时,g (x)为减函数,从而当x?,0,1,时有g(x)?,g(1),g(0),.
22又g (1)=1-2a-3a,g(0)= -2a,即当x?,0,1,时有g (x)?,1-2a-3a,-2a,. 任给x?,0,1,,f (x)?,-4,-3,,存在x?,0,1,使得g(x)= f (x),则 110012,,1-
2a-3a,-2a,,-4,-3,.
1,2a,3a2,,•4,•••••••••••••?,即,,2a,,3.••••••••••••••••••••?,
53解?式得a?1或a?-; 解?式得a?. 32
3又a?1,故a的取值范围为1?a?. 2
点评:本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础
知识,以及逻辑思维能力、
运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.
3.分析:(?)利用导数的性质解决问题.
(?)利用函数f (x)在,,1,1,上是单调函数的充要条件是x?1.(x=x时f (x)取到极小值) 222xx2x解:(?)对函数f (x),求导数,得:f′(x)=(x-2ax)e+(2x-
2a)e=,x+2x(1-a)x-2a,e,令
2x2f′(x)=0,得,x+2(1-a)x-2a,e=0,从而x+2(1-a)x-2a=0.
22解得x=a-1-,x=a-1+,其中x<x. 1,a1,a1212当x变化时,f′(x)、f (x)的变化如下表
x (-?,x) x(x,x) x(x,+?) 11 122 2
fˊ(x) + 0 - 0 +
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 即f (x)在x=x处取到极大值,在x=x处取到极小值. 当a?0时,x<-1,x?0,f (x)在(x,x)为减函数,121212x在(x,+?)为增函数,而当x<0时,f (x)=x(x-2a)e>0,当x=0时,f (x)=0. 2
2所以当x=a-1+时,f (x)取得最小值. 1,a
32(?)当a?0时,f (x)在,,1,1,上为单调函数的充要条件是x?1,即a-1+?1,解得:a?,1,a24
33综上,f(x)在,,1,1,上为单调函数的充分必要条件为a?,即a的取值范围是,,+?). 44点评:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.。

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