大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念
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性质
连续函数具有局部有界性、局部保号 性、可积性等性质。
多元函数连续性的性质
局部有界性
对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当 所有自变量满足|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε 。
局部保号性
如果函数在某点的极限值大于0，则存在一个正数δ ，使得当所有自变量满足|x-x0|<δ时，f(x)>0。
多元函数可微性的定义
如果函数在某点的偏导数都存在，则该函数在该点可微。
偏导数的定义
对于多元函数，在某点的某个自变量变化时，其他自变量保持不变，得到的导数称为偏 导数。
多元函数可微性的性质
可微函数的偏导数连续
如果一个多元函数在某点可微，那么它的偏导数在该点 连续。
可微函数的偏导数存在
如果一个多元函数在某点可微，那么它的偏导数在该点 都存在。
学中一个重要的概念。
02
多元函数的极限
一元函数极限的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，若在点$x_0$的某一 去心邻域内，当$x$无限趋近于$x_0$ 时，函数值$f(x)$无限趋近于某一常 数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在点 $x_0$处的极限。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部有界 性、局部保号性、四则运算法则等。
大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概 念
目录 Contents
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限 • 多元函数的连续性 • 多元函数的可微性
01
多元函数的定义与表示
定义
多元函数
设D是一个非空实数集合，P是实 数集合中的一个非空子集，若对 于每一个x∈D，P中有一个确定 的数值y与之对应，则称y是x的函 数，记作y=f(x)，其中x是自变量 ，y是因变量，P称为定义域，D 称为值域。
可积性
如果函数在闭区间[a, b]上连续，则该函数 在[a, b]上可积。
04
多元函数的可微性
一元函数可微性的定义与性质
要点一
一元函数可微性的定义
要点二
一元函数可微性的性质
如果函数在某点的导数存在，则该函数在该点具有 连续性。
多元函数可微性的定义
THANKS
多元函数
若定义域D中存在两个或两个以上 的自变量，则称该函数为多元函 数。
全纯函数
如果一个多元函数在其定义域内 的每一点都可微，则称该函数为 全纯函数。
表示方法
代数表示法
用代数符号表示多元函数的各个分量。
向量表示法
将多元函数的各个分量表示为向量或矩阵的形 式。
隐函数表示法
将多元函数表示为一个方程组，通过解方程组得到各个分量。
多元函数的几何意义
平面曲线
对于二元函数z=f(x,y)，其几何 意义为平面上的曲线。
三维曲面
对于三元函数z=f(x,y,z)，其几 何意义为三维空间中的曲面。
超曲面
对于n元函数z=f(x1,x2,...,xn)， 其几何意义为n+1维空间中的 超曲面。
流形
对于多元函数的各个分量，可 以构成一个流形，流形是几何
多元函数极限的定义
定义
对于多元函数$f(x, y, z, ...)$，若在点$(x_0, y_0, z_0, ...)$的某一去心邻域内，当各变量分别无限趋近于相应的值 时，函数值$f(x, y, z, ...)$无限趋近于某一常数$A$，则称$A$为函数$f(x, y, z, ...)$在点$(x_0, y_0, z_0, ...)$处的 极限。
性质4
四则运算法则：与一元函数类似，极限的四则运算法则也适用于多元 函数。
03
多元函数的连续性
一元函数连续性的定义与性质
定义
如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。
性质
连续函数具有局部有界性、局部保号性、可积性等性质。
多元函数连续性的定义
定义
如果对于任何接近于某点的x值，函 数在该点的极限值都等于函数值，则 函数在该点连续。
性质
与一元函数极限的性质类似，但需要考虑多个变量的变化情况。
多元函数极限的性质
性质1
极限的唯一性：对于任意点$(x_0, y_0, z_0, ...)$处的极限，其值是唯 一的。
性质2
局部有界性：在点$(x_0, y_0, z_0, ...)$的某一邻域内，多元函数是有 限的。
性质3
局部保号性：在点$(x_0, y_0, z_0, ...)$的某一邻域内，若函数值无限 趋近于正数或负数，则该函数在此邻域内与该常数同号。
连续函数具有局部有界性、局部保号 性、可积性等性质。
多元函数连续性的性质
局部有界性
对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当 所有自变量满足|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε 。
局部保号性
如果函数在某点的极限值大于0，则存在一个正数δ ，使得当所有自变量满足|x-x0|<δ时，f(x)>0。
多元函数可微性的定义
如果函数在某点的偏导数都存在，则该函数在该点可微。
偏导数的定义
对于多元函数，在某点的某个自变量变化时，其他自变量保持不变，得到的导数称为偏 导数。
多元函数可微性的性质
可微函数的偏导数连续
如果一个多元函数在某点可微，那么它的偏导数在该点 连续。
可微函数的偏导数存在
如果一个多元函数在某点可微，那么它的偏导数在该点 都存在。
学中一个重要的概念。
02
多元函数的极限
一元函数极限的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，若在点$x_0$的某一 去心邻域内，当$x$无限趋近于$x_0$ 时，函数值$f(x)$无限趋近于某一常 数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在点 $x_0$处的极限。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部有界 性、局部保号性、四则运算法则等。
大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概 念
目录 Contents
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限 • 多元函数的连续性 • 多元函数的可微性
01
多元函数的定义与表示
定义
多元函数
设D是一个非空实数集合，P是实 数集合中的一个非空子集，若对 于每一个x∈D，P中有一个确定 的数值y与之对应，则称y是x的函 数，记作y=f(x)，其中x是自变量 ，y是因变量，P称为定义域，D 称为值域。
可积性
如果函数在闭区间[a, b]上连续，则该函数 在[a, b]上可积。
04
多元函数的可微性
一元函数可微性的定义与性质
要点一
一元函数可微性的定义
要点二
一元函数可微性的性质
如果函数在某点的导数存在，则该函数在该点具有 连续性。
多元函数可微性的定义
THANKS
多元函数
若定义域D中存在两个或两个以上 的自变量，则称该函数为多元函 数。
全纯函数
如果一个多元函数在其定义域内 的每一点都可微，则称该函数为 全纯函数。
表示方法
代数表示法
用代数符号表示多元函数的各个分量。
向量表示法
将多元函数的各个分量表示为向量或矩阵的形 式。
隐函数表示法
将多元函数表示为一个方程组，通过解方程组得到各个分量。
多元函数的几何意义
平面曲线
对于二元函数z=f(x,y)，其几何 意义为平面上的曲线。
三维曲面
对于三元函数z=f(x,y,z)，其几 何意义为三维空间中的曲面。
超曲面
对于n元函数z=f(x1,x2,...,xn)， 其几何意义为n+1维空间中的 超曲面。
流形
对于多元函数的各个分量，可 以构成一个流形，流形是几何
多元函数极限的定义
定义
对于多元函数$f(x, y, z, ...)$，若在点$(x_0, y_0, z_0, ...)$的某一去心邻域内，当各变量分别无限趋近于相应的值 时，函数值$f(x, y, z, ...)$无限趋近于某一常数$A$，则称$A$为函数$f(x, y, z, ...)$在点$(x_0, y_0, z_0, ...)$处的 极限。
性质4
四则运算法则：与一元函数类似，极限的四则运算法则也适用于多元 函数。
03
多元函数的连续性
一元函数连续性的定义与性质
定义
如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。
性质
连续函数具有局部有界性、局部保号性、可积性等性质。
多元函数连续性的定义
定义
如果对于任何接近于某点的x值，函 数在该点的极限值都等于函数值，则 函数在该点连续。
性质
与一元函数极限的性质类似，但需要考虑多个变量的变化情况。
多元函数极限的性质
性质1
极限的唯一性：对于任意点$(x_0, y_0, z_0, ...)$处的极限，其值是唯 一的。
性质2
局部有界性：在点$(x_0, y_0, z_0, ...)$的某一邻域内，多元函数是有 限的。
性质3
局部保号性：在点$(x_0, y_0, z_0, ...)$的某一邻域内，若函数值无限 趋近于正数或负数，则该函数在此邻域内与该常数同号。