2020高考数学(理)全真模拟卷9(解析版)

备战2020高考全真模拟卷9
数学（理）
（本试卷满分150分，考试用时120分钟）
第I 卷（选择题)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{
}
2
20A x x x =--≤，集合{}
04B x x =<≤，则A B =I （ ） A ．[]1,4- B ．(]
0,2 C ．[]1,2-
D ．(]
,4-∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
求出集合A ，根据交集定义计算． 【详解】
集合{}12A x x =-≤≤，(]
0,2A B =I ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题． 2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（） A ．1i -+ B ．1i --
C ．1i +
D ．1i -
【答案】D 【解析】 【分析】
对于复数除法计算，通过分母实数化计算z 的值，再求z 的值. 【详解】 因为()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()
z -=
==+++-，所以1z i =-. 故选：D.
本题考查复数的计算以及共轭复数的概念，难度较易.分式型复数计算，常用的方法是分母实数化. 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 2x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 2x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 2x x =- C ．(0,)x ∀∉+∞，ln 2x x =- D ．(0,)x ∀∈+∞，ln 2x x ≠-
【答案】D 【解析】
根据全称命题与特称命题的关系，可知命题“000(0,),ln 2x x x ∃∈+∞=-” 的否定为“(0,),ln 2x x x ∀∈+∞≠-”，故选D.
4．若π1
sin 34
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．
A ．7
8-
B ．14
-
C ．
14
D ．
78
【答案】A 【解析】
2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133
333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=--=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
17
21168
=⨯
-=-． 故选A ．
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
5．设向量a r ，b r 满足(3,1)a b +=r r ，1a b ⋅=r r
，则||a b -=r r ( )
A ．2 B
C ．
D
【答案】B
【分析】
由题意结合向量的运算法则求解其模即可. 【详解】
由题意结合向量的运算法则可知：
a b -=
==v v .
本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S =（ ）
A ．44
B ．44-
C ．88
D ．88-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质，求得64a =，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求解11S 的值，得到答案． 【详解】
由题意，等比数列{}n a 为等比数列，满足21a =，1016a =，
根据等比数列的性质，可得2662
10116,0a a a a =⨯=>，可得64a =，
所以664b a ==，则11111611()
11442
b b b S +==⨯=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．在6
⎫-⎝
的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．15
4
-
B ．
154
C ．38
-
D ．38
【答案】C 【解析】
因为1r T +=66
6(r
r C -⋅⋅,所以容易得C 正确. 8．某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A ．16
B ．20
C ．
16+ D ．20+【答案】D 【解析】 【分析】
由题可得该几何体为长方体被与底面成一定角度的平面截取后的几何体.画出图像逐个面求解即可. 【详解】
画出该几何体的主观图,由三视图知2AB BC CD AD ====,11B D BD ==
11113,2,1AA BB DD CC ====,11AC =
==.
故2
24ABCD S ==,1111(23)2
52
ABB A ADD A S S +⨯==
=,
1111(12)232BCC B DCC D S S +⨯==
=,1111
2
A B C D S ==
故表面积4523220S =+⨯+⨯+=+
故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积问题,需要根据三视图画出主观图进行分析,属于中等题型. 9．将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为( ) A ．
310
B ．
12
C ．
35
D ．
25
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可. 【详解】
由题意可知，甲乙被分在不同组的分组组数为：1
2
24C C ，所有的分组组数为：3
6C ，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：12243
63
5
C C p C ==. 本题选择C 选项. 【点睛】
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 10．已知MOD 函数是一个求余数函数，(),MOD
m n (),m N n N ++∈∈表示m 除以n 的余数，例如
()8,32MOD =.如图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为28，则输出的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，根据题意，28大于1的约数有：2,4,7,14,28共5个，即可得解. 【详解】
模拟执行程序框图，可得：
2n =，0i =，28m =，
满足条件28n ≤，()28,20MOD =，1,3i n ==； 满足条件28n ≤，()28,31MOD =，1,4i n ==； 满足条件28n ≤，()28,40MOD =，2,5i n ==； 满足条件28n ≤，()28,53MOD =，1,6i n ==； …
Q
28
N n
*∈，可得程序框图的功能是统计28大于1的约数的个数，由于约数有：2,4,7,14,28共5个，故5i =．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的(),MOD m n 的值是解题的关键，属于
基础题．
11．已知函数()1421
6
x x f x +-+=，()()20g x ax a =->.若[]120,log 3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，
()()12f x g x =，则a 的取值范围是（ ）
A ．21,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．2,23
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算()f x 的值域为20,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，再计算()g x 在[]1,2上的值域为[]
2,22a a --，根据题意得到
[]20,2,223a a ⎡⎤
⊆--⎢⎥⎣⎦
，计算得到答案. 【详解】
()()
2
216
x f x -=
，0212x ≤-≤，所以()f x 的值域为20,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
因为0a >，所以()g x 在[]1,2上的值域为[]
2,22a a -- 依题意得[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，则20
2223a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩
解得4
23a ≤≤.
故选：C 【点睛】
本题考查了根据函数值域求参数范围，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.
12．已知F 是抛物线2
:2C y px =(0)p >的焦点，抛物线C 的准线与双曲线22
22:1x y a b
Γ-=(0,0)
a b >>的两条渐近线交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则Γ的离心率e =（ ） A
B
C
．
7
D
．
3
【答案】D 【解析】 【分析】
求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是
等边三角形求出a ，b 的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值． 【详解】
解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线方程为：2p x =-，
联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程2
p x b y x a ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩
，
解得2pb y a =±
，可得||pb
AB a
=， ABF ∆
为等边三角形，可得pb
p a
=
，即有b a =，
则c e a ====．
故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．
第II 卷（非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

13．设曲线y =x^4+ax +3在x =1处的切线方程是y =x +b ，则a =________； 【答案】−3
【解析】因为y^′=4x^3+a ，所以由导数的几何意义及题设条件可得切线的斜率k =4+a =1，解之得a =−3，应填答案−3 。

14．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布(
)2
10000,10
N ，且各个元件能否正常工
作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.
【答案】375 【解析】 【分析】
先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值. 【详解】
由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为
1
2
，则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228
⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为3
10003758
⨯=台. 故答案为：375 【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题. 15．在三棱锥B ACD -中，BA ，BC ，BD 两两垂直，2BC =，4BD =，三棱锥B ACD -的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】29π 【解析】 【分析】
根据侧面积计算得到3AB =，再计算半径为R =，代入表面积公式得到答案.
【详解】
三棱锥B ACD -的侧面积为
111
242413222
AB AB ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以3AB =
故该三棱锥外接球的半径为：R ==
，球的表面积为24π29πR =. 故答案为：29π
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
16．已知实数x 、y 满足条件500,3x y x y z x yi x -+≥⎧⎪
+≥=+⎨⎪≤⎩
（i 为虚数单位），则73z i -+的最小值是_____
【答案】4 【解析】 【分析】
本题本质是线性规划问题，先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将73z i -+的最大值和最小值转化成定点与区域中的点的距离最大与最小的问题，利用图形求解． 【详解】
如图，作出5003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
对应的区域，由于z ＝x +yi （i 为虚数单位），
所以73z i -+表示点（x ，y ）与D （7，﹣3）两点之间的距离， 由图象可知73z i -+的最小值为D 到A （3，﹣3）的距离， 即
4AD =，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了复数的模的几何意义，考查了一定点与区域中的一动点距离最值的问题，利用线性规划的知识
进行求解是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17．在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin b
A B
=
. （1）求A ；
（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.
【答案】(1) 6
A π
=. (2)
【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理得到tan A =
，计算得到答案. （2）化简得到()cos cos B C C +=-，即A C =，再计算得到2a c ==，代入面积公式得到答案. 【详解】
（1sin sin b a B A ==
，∴tan A =.∵()0,A π∈，∴6A π=. （2）∵()cos 2sin sin cos B C B C C -=-
∴cos cos sin sin 2sin sin cos B C B C B C C +=-， ∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =. ∵6
A π
=
，∴23
B π
=
.∵2a =，∴2a c ==.
∴11sin 2222ABC S ac B ∆==⨯⨯= 【点睛】
本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.
18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，60BAD ∠=︒，1CD =，
2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =.
（1）证明：1D G ∥平面11BB C C . （2）求二面角11A D G A --的余弦值.
【答案】(1)见解析 (2) 31
【解析】 【分析】
（1）连接1C B ，证明11GB CD D C P P 得到四边形11GBC D 为平行四边形，故11D G C B P 得到证明. （2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，
计算平面11A D G 的法向量为(m =u r ，平面1AD G 的法向量为(n =r
，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，44AB CD ==，3AG GB =， 则11GB CD D C P P ，且111GB D C ==， 所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11D G C B P .
又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1D G ∥平面11BB C C .
（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所 在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则
()10,0,1D
，)1
1,1A -
，)1,0A
-，()10,0,1D
，)
G
，
所以)
111,0D A =
-u u u u r
，)
11D G =
-u u u u r
，()0,3,0AG =u u u r
.
设平面11A D G 的法向量为()111,,m x y z =u r
，
则111111110,20,
D A m y D G m y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 令11x =
，得(m =u r . 设平面1
AD G 的法向量为()222,,n x y z =r
，
则2122230,
20,
AG n y D G n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v
u u u u v v 令21x =
，得(n =r .
所以cos ,m n =
=u r r
因为二面角11A D G A --
. 【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19．2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.
（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
P D，（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为()
即可得到结论.
【详解】
（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计
为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即270530
0.81000
+=.
（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，
记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，
(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-
0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，
所以X 的分布列为
故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.
（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么
3270
31000
()0.02C P D C =≈.
回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
20．已知直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点，()()002,0M y y ≠为弦AB 的中点，过M 作AB
的垂线交x 轴于点P . （1）求点P 的坐标；
（2）当弦AB 最长时，求直线l 的方程. 【答案】(1) ()4,0
. (2) y =
y =+
【解析】 【分析】
（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x 代入抛物线相减得到0
2
k y =，再根据1MP k k ⋅=-计算得到答案. （2）直线l 的方程为()2
2y k x k -
=-，联立方程，根据韦达定理得到124y y k
+=， 2122
88k y y k -+=，代入计算得到()2
2
19224
f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭得到答案. 【详解】
（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，
则21122
244y x y x ⎧=⎨=⎩，
，两式相减得()()()1212124y y y y x x -+=-.
因为00y ≠，所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ， 所以1212120
42
y y k x x y y y -=
==-+.
因为1MP k k ⋅=-，所以00
022
MP P y y k x -=-
=-， 解得4P x =，所以点P 的坐标为()4,0.
（2）由（1）知，直线l 的斜率一定存在，且不为0，设直线l 的斜率为k ， 则0
2k y =
，即02y k =，所以直线l 的方程为()2
2y k x k
-=-. 联立()24,
2
2,
y x y k x k ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩
得222
4880k y ky k --+=， 则124y y k +=，2122
88
k y y k
-+=.
由()22
2
164880k k
k ∆=-->，可得2
12
k
>
，
所以12AB y =-= 设()2102t t k =<<，令()2
219224
f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，
可知()max 19
24f t f ⎛⎫==
⎪⎝⎭
，此时2112t k ==，即k =
所以当弦AB 最长时，直线l 的方程为y =y =
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
21．已知函数()()()1ln 1f x x x m n =++++⎡⎤⎣⎦，曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为21y x =+. （1）求m ，n 的值和()f x 的单调区间；
（2）若对任意的[
)0,x ∈+∞，()f x kx >恒成立，求整数k 的最大值. 【答案】（1）1m =，0n =，()f x 的单调递增区间为2
11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭；（2）3. 【解析】 【分析】
（1）求导得到()()'ln 11f x x m =+++，根据切线方程计算得到1m =，0n =，代入导函数得到函数的单调区间.
（2）讨论0x =，0x >两种情况，变换得到()111ln 11x x k x
⎛
⎫+
+++ ⎪⎝⎭<，设 ()()111ln 11h x x x x ⎛⎫
=++++ ⎪⎝⎭
，求函数的最小值得到答案.
【详解】
（1）()()'ln 11f x x m =+++，由切线方程，知()01f m n =+=，()'012f m =+=， 解得1m =，0n =.
故()()()1ln 11f x x x x =++++，()()()'ln 121f x x x =++>-， 由()'0f x >，得211x e >
-；由()'0f x <，得2
1
11x e
-<<-. 所以()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞
⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
. （2）①当0x =时，()0100f k =>⨯=恒成立，则k ∈R . ②当0x >时，()f x kx >恒成立等价于()111ln 11x x k x
⎛
⎫+
+++ ⎪⎝⎭<对()0,∞+恒成立. 令()()111ln 11h x x x x ⎛
⎫=+
+++ ⎪⎝
⎭，()()2ln 11'h x x x x
-+-=，()0,x ∈+∞. 令()()ln 11u x x x =-+-，()0,x ∈+∞， 则()1'1101
x
x u x x =-
=>++对()0,x ∈+∞恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递增. 又()21ln30u =-<，()32ln 40u =->，所以()02,3x ∃∈，()00u x =. 当()00,x x ∈时，()'0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >.
所以()()()min 000011
1ln 11h x x h x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭
，又()()000ln 110u x x x =-+-=， 则()()()min 0000111ln 11h x x h x x x ⎛⎫==+
+++ ⎪⎝⎭()()000011
11113,4x x x x ⎛⎫=+-++=+∈ ⎪⎝⎭
， 故01k x <+，整数k 的最大值为3. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.
（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为2
12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），曲线C 的参数方程为
cos sin x m y a n α
α
=⎧⎨
=+⎩（0m >，0n >，α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求a ，m ，n 的值；
（2）已知点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 【答案】（1）4a m n ===；（2
. 【解析】 【分析】
（1）根据极坐标方程得到()2
2416x y +-=，根据参数方程得到答案.
（2
）将参数方程代入圆方程得到270t --=
，根据韦达定理得到120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案. 【详解】
（1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，则22
8x y y +=，即()2
2416x y +-=.
因为0m >，0n >，所以4a m n ===.
（2
）将2
12x y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入()22416x y +-=
，得270t --=.
设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t
，则120t t +=>，1270t t =-<. 所以
12t t P PB A =-==
+
【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键. 23．已知函数()3124f x x x =+--. （1）求不等式()3f x >的解集；
（2）若对任意x ∈R ，不等式()2
28f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围.
【答案】（1）()4,10,5⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
U ；（2）1t ≤-或9t ≥. 【解析】 【分析】
（1）分别计算1x <-，12x -≤≤，2x >三种情况，综合得到答案. （2）化简得到()23336f x x x x --=+--，利用绝对值三角不等式得到
()29f x x --≤，解不等式289t t -≥计算得到答案.
【详解】
（1）当1x <-时，()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-； 当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45
x >
，则4
25x <≤；
当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >. 综上所述：不等式()3f x >的解集为()4,10,5⎛⎫
-∞-+∞
⎪⎝⎭
U . （2）()231242f x x x x x --=+----3132x x =+--3336x x =+--
()33369x x ≤+--=，当2x ≥时等号成立.
若对任意x ∈R ，不等式()2
28f x x t t --≤-恒成立，即289t t -≥，
解得1t ≤-或9t ≥. 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.。