4年级奥数培优讲义-7-和差倍问题综合-难版

精品资料之奥数培优讲义
适用：华杯、希望、
年级：四年级
科目：小学奥数
内容：奥数培优教程
（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）
和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：
方法一： (和+差)÷2=大数 和-大数=小数
方法二： (和-差)÷2=小数 和-小数=大数
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数 或 和一小数=大数
如果要求两个数的差，要先求1份数：
l 份数×(倍数－1)=两数差.
差倍问题的基本关系式：
差÷(倍数－1)=1倍数(较小数) 1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数
【例1】★5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？
典型例题
【解析】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；
每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【小试牛刀】师、徒两人共加工105个零件，师父加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师父
和徒弟各加工零件多少个？
【解析】把徒弟加工的个数看作1份数，师父加工的个数就比3份数还多5个，如果师父少
加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)
-个，就可以求出师父和徒弟各加工
多少个了．徒弟做了：100(31)25
⨯+=(个)．
÷+=(个)，师父做了：253580
【例2】★★（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）四年级复赛）甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有块巧克力．
【解析】由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块，此时
乙的巧克力数为(735)(112)17
++=（块）。

-÷++=（块），丙原有172322
【例3】★★甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3，丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？
【解析】甲校学生人数为：(199934)(122)400
-+÷++=（人），乙校学生人数为：
⨯-=（人）．甲、乙、丙三校的人数⨯+=（人），丙校学生人数为：40024796
40023803
分别为400，803，796．
【例4】★★★地震灾区希望小学正筹备建设图书馆，春蕾小学发动全校同学给山区的学生捐书，二（1）班、二（2）班、二（3）班三个班共捐书300本，二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本，如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．求三个班各捐了多少本书？
【解析】方法一：如图,二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本，又知道三个班一共有300本，这样可以先求出二（3）班的本数．
二(3)班有书：300602120
（） (本)，
-÷=
二(3)班比二(2)班多20240
⨯= (本)书，
二(2)班有书：1204080
-= (本)，
二(1)班有书：30012080100
--= (本)．
【小试牛刀】甲、乙两个笼子里共有小鸡20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只,求甲、乙两笼原来各有鸡多少只?
【解析】已知甲、乙两个笼子里小鸡的和是20只,根据甲笼里放入4只,乙笼里取出1只,还剩1只可知,甲、乙两个笼里小鸡只数相差:4+1+1=6(只)
1.乙笼比甲笼多多少只？4+1+1=6(只)
2.甲笼原来有小鸡多少只? (20-6)÷2=14÷2=7(只)
3.乙笼里原来有小鸡多少只? 20-7=13(只)或(20+6)÷2=13(只)
【例5】★★盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？
【解析】原来盒子里有白球300150150
-=（个），红球100个．
【小试牛刀】小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看50页，接着每天看15页；冬冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完。

这本小说一共多少页？
【解析】小月第一天比冬冬多看了28页，也就是说冬冬以后几天里面要比小月多看28页才能和小月同时看完小说，所以冬冬应该又看了2822-154
÷=
（）天，那么可以知道这本小说一共：50415110
（）页。

+⨯=页，验证2241110
⨯+=
【例6】★★小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖？
【解析】如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多，说明小玲比小红多3块；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍，即小明的糖加2是小红的糖减2后的2倍，说明小明的糖是小红的糖的2倍少2226⨯+=块．小红有(7336)(112)19-+÷++=块糖．
【小试牛刀】甲、乙、丙三数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2．求这三个数．
【解析】这道题里出现了3个数，首先要确定把哪个数看作“1倍数”．把丙数看作“1倍数”算起来更简便．这样，乙数就是“3倍少2”．甲数是“乙数的2倍多4”，可转化为：甲数是丙数的(3倍2)-⨯246+=倍，这三个数的和就相当于丙数的6倍+(3倍-2)+1倍=10倍-2． (782)(631)8+÷++=……丙 83222⨯-=……乙 22244
⨯+=……甲 【例7】★★ (2008年湖北省第六届“创新杯”全国数学邀请赛六年级)某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1人．那么六年级的男生有 人．
【小试牛刀】六年级男生至少有6人，而六年级男生不能多于6人，否则再加上六年级的女生至少有1人，则六年级的学生人数就会多于7人，这不可能．因此，六年级的男生恰好有有6人．
【例8】★有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是小桶的3倍，求原来大桶有水多少千克？
【解析】现在大桶水比小桶水多：8216⨯=（千克），所以现在小桶中的水是：16(31)8÷-=（千克），而原来大桶中有水是：8216⨯=（千克）．
【小试牛刀】学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的3倍．排球比足球多4个．问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？
【解析】可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数，教师辅导指正．
从线段图上可以看出，把足球的个数看作1份数，篮球的个数是3份数，如果排球少买4个，也是l 份数，这时三种球一共(494-)个，总份数是(131++)，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数．
如果排球减少4个，三种球一共多少个？ 494
4-=(个) 足球多少个？ 45(131)÷++=(个)
篮球多少个？ 932
⨯=(个) 排球多少个？ 9+4=1(个)
【例9】★被除数、除数、商3个数的和是212。

已知商是2，被除数和除数各是多少？
【解析】由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。

把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；
被除数为：70×2=140。

【小试牛刀】（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）两个正整数相除，商是7，余数是5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于1039．原来的被除数是 ，除数是 ．
【解析】被除数、除数都扩大到原来的4倍，它们的商还是7、余数为5420⨯=，所以被除数与除数的和为10392071012--=，而此时被除数比除数的7倍大20，所以除数为(101220)(71)124-÷+=，所以原来的除数为124431÷=，被除数原来为3175222⨯+=．
【例10】★★下面有三道加法题，当正方形、三角形、圆形各代表什么数时，才能使下面的等式成立?
□+□+△+〇=16 ① □+△+△+〇=13 ② □+△+〇+〇=11 ③
【解析】先求□、△、〇三种图形的代表数之和，再减去其中两图形代表数之和，从而求出其中一图形代表的数，进而求出其他图形的代表数．
由①、②、③相加
4个□+4个△+4个〇=40
4×(□+△+〇)=40
得，□+△+〇=10 ④
由①-④得：□=16-10=6
由②-④得：△=13-10=3
由③-④得：〇=11-10=1
检验，将□=6，△=3，〇=1分别代入原等式①、②、③，三等式成立，说明求解正确．
【小试牛刀】用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。

如果，车÷马=2，炮÷车=4，炮-马=56，那么“车+马+炮”等于多少？
【解析】车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，画出线段图如下：
把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份，
所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8。

“车+马+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。

1.一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克．已知苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千克．一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？
【解析】梨的重量是：(1123)(113)23+÷++=（千克）
苹果的重量是：23369⨯=（千克）
香蕉的重量是：23320-=（千克）
2.小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只．白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只?
【解析】⑴黄鸡多少只？ 18(21)÷
-=(只) 课后作业
⑵白鸡多少只？1823
⨯=(只)
⑶黑鸡多少只？1813
-=(只)
⑷白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？ 1836559
++=(只)
3.两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从
第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等．你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗?
【解析】第一个筐中的苹果是第二筐的4倍，则第二
筐的苹果数是一倍数．如果第二筐中少取出2千克，
剩下的重量就正好相当于1倍，那么两筐苹果的相差
数26－2＝24(千克)，相当于第二筐原来重量的3倍．两筐苹果的差和倍差都知道了，就可以求出两筐苹果原来的重量．两筐苹果的倍数差是4－1＝3（倍），两筐苹果相差26－2＝24(千克)，第二筐原来有苹果重量24÷3＝8(千克)，第一筐原来有苹果重量8×4＝32（千克）.
4.两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4
倍，求每块花布原有多少米？
【解析】已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，
第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的
多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第
二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块
多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，
第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。

第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米）
第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）
第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）
综合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4＋31=35（米）
5.有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有多少支？
【解析】这三种笔支数的和是钢笔数的6倍．1723333638424951289
+++++++=除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．
6.六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．
【解析】计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565
+++++=，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．。