10特殊的平行四边形 - 学生版

教师姓名学生姓名年级上课时间学科数学课题名称特殊的平行四边形
待提升的知
识点/题型
Ⅰ知识梳理
知识点一
一、矩形
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：
（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：
（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽
知识点二
二、菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：
（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：
（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
知识点三
三、正方形
1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

2.正方形的判定定理：
（1）判定定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

（2）有一组邻边相等并且由一个角是直角的平行四边形是正方形。

（3）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（4）有一个角是直角的菱形是正方形。

（5）既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

3.正方形的性质：
（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（2）边——四边相等，邻边垂直，对边平行且相等。

（3）角——四个角都是直角。

（4）对角线——相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

（5）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。

（6）正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等。

（7）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.正方形的面积：正方形的面积=边长的平方=两条对角线乘积的一半
Ⅱ知识精析
一、矩形
（一）典例分析、学一学
例1-1 如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，P 是BC 是的一点，PE ∥AC 交BD 于点E ，PF
∥BD 交AC 于点F ，求四边形PEOF 的周长。

F
E O
P
D
C B
A
例1-2在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，∠ACB=30°，求∠BEO 的度数．
A
B
C
D
O
E
例1-3已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。

三、正方形
（一）典例分析，学一学
例3-1以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 ． 例3-2在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ， 则△ABO 的周长是（ ） A.12+122
B.12+62
C.12+2
D.24+62
例3-3如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ． （1）求证：CE=CF ；
（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？
例3-4如图，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转30°，至正方形AB ′C ′D ′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是________．
例3-5在正方形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、CD 的中点，且CM 和BN 相交于点P ． 求证：PA=AB ．
P
N D
M
C
B
A
（二）限时巩固、练一练
1．已知如下图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点， F 为BC 延长线上一点，CE =CF ． (1)求证：△BEC ≌△DFC ；
(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数．
2.如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，EF 垂直平分AM ，分别交AB 、CD 于点E 、F ，若正方形的边长是8，则△AEM 的面积是
E
D
M
F
C
B
A
3.如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上的一点，AE=3，BE=1，P 为AC 上的动点，则PB+PE 的最小值为 ．
4.在正方形ABCD 中，BE ∥AC ，CE=AC ，交AB 于点F ． （1）求∠ECA 的度数． （2）证明：AF=AE ．
E
D
F
C
B
A
5．已知正方形ABCD 的边长为1，对角线AC 上一点P ，又有∠EPB=90°，交AD 于点E ． 求证：
（1）PE=PB ．
（2）若P 在AC 上移动，且∠EPB=90°，设PC=x ，AE=y ．求y 关于x 的解析式并求出函数的定义域．
四、概念理解专项训练（在对特殊的平行四边形进行辨析与判断时，要紧扣矩形、菱形、正方形
的定义、判定与性质。

）
1．下列命题是假命题的是（ ）
A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
B ．对角线互相垂直的矩形是正方形．
C ．对角线相等的菱形是正方形．
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形． 2．已知四边形ABCD ，下列说法正确的是（ ） A ．当AD=BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B ．当AD=BC ，AB=DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C ．当AC=BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形
3．已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列结论中正确的是 ( )
（A ）当AB =BC 时，四边形ABCD 是矩形； （B ）当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是矩形； （C ）当OA =OB 时，四边形ABCD 是矩形； （D ）当∠ABD =∠CBD 时，四边形ABCD 是矩形． 4、如果□ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断□ABCD 为菱形的是 （ ） （A ）∠OAB ＝∠OBA （B ）∠OAB ＝∠OBC （C ）∠OAB ＝∠OCD （D ）∠OAB ＝∠OAD 5．下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是 （ ） Ａ．四边相等； Ｂ．对角线相等；
Ｃ．对角线平分一组对角； Ｄ．对角线互相平分且垂直．
P
D
E
C
B
A
6．下列命题正确的是 （ ）
（A ）一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形； （B ）两条对角线相等的四边形是矩形；
（C ）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形； （D ）四条边相等的四边形是正方形． 7、下列命题中，真命题是 （ ）
(A)菱形的对角线互相平分且相等； (B)矩形的对角线互相垂直平分；
(C)对角线相等且垂直的四边形是正方形； (D) 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 8、下列命题中正确的是 （ ）
（A ）矩形的两条对角线相等； （B ）菱形的两条对角线相等；
（C ）等腰梯形的两条对角线互相垂直； （D ）平行四边形的两条对角线互相垂直． 9、下列命题中，假命题是 ( )
A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形；
B ．一组邻边相等的矩形是正方形；
C ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；
D ．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.
Ⅲ课堂测评
一、填空题
1. 如图矩形的周长为24cm 一边中点与对边两顶点连线成直角则矩形的两邻边分别为 和。

2、菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是 。

3、菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为_________．
4、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是边AD 上的动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为：____
5
12
_____。

5、正方形ABCD 中，对角线BD 长为16cm ，P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和等于
cm
6、如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是__________厘米.
7、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH=
二、选择题
1、已知菱形ABCD 的周长为40cm ，BD=
3
4
AC ，则菱形的面积为（ ） A ．96cm 2
B ．94cm 2
C ．92cm 2
D ．90cm 2
2、如下图，四边形ABCD 为正方形，△BPC 为等边三角形，连接PD 、BD ，则∠BDP=（ ） A ．15° B ．25° C ．30° D ．35°
(2题图) （3题图） （4题图）
3、 如上图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ， 若CD ＝6，则AF 等于 （ ） A ．43 B ． C ． D ．8
4、如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）
A．
3
10
B．
1
3
C．
2
5
D．
4
9
5、如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE的面积是( )
A．60 B．100 C．150 D．200
（5题图）（6题图）（7题图）
6、如右图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
7、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH
的面积是( )
A．30 B．34 C．36 D．40
三、解答题
1、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2，
求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。

（3）83
2、如图，在ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，EF过点O且垂直于AC并交AB于点E，交CD于点F，求证：四边形AECF是菱形。

3、如图，已知E 为正方形ABCD 的边BC 的中点，EF ⊥AE ，CF 平分∠DCG ，求证：AE ＝EF ．
Ⅳ 回顾总结
矩形 菱形
正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等
对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
对
角线
互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等.
·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一
组邻边相等；
·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；
·是菱形，且有一个角是直角。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
G
F
C
A
D
B
E
F
E
G
Ⅴ 课后挑战
一、填空题
1、如图，矩形ABCD 的对角线相交于O 点，AE ⊥BD ，垂足为E ，若∠DAE ＝4∠BAE ，则∠EAC ＝
2、已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线长为8cm ，则这个菱形的周长为cm .
3、已知菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为 .
4、菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm ，则另一条对角线的长是
5、如图，正方形的对角线相交于O ，∠BAC 的的平分线交BD 于E ，若正方形的周长是20cm ，则DE ＝
6、如图,E 是正方形ABCD 内一点,如果△ABE 为等边三角形,那么∠DCE= ___。

二、选择题
1、下列命题中，真命题是（ ）
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
D.对角线相等的四边形是菱形 2、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( ) A ．四个角都是直角
B ．对角线互相平分
C ．对角线互相垂直
D ．对角线相等
3、具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是(
)
A ．三个角都是直角
B ．四个角都相等
C ．对角线相等的平行四边形
D ．对角线垂直且相等 4、矩形的各角平分线若相交围成的四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形
A
B C 难
D 过 E
第6题图
5、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是（3，4）则顶点A、B的坐标分别是（）
A. （4，0）（7，4）
B. （4，0）（8，4）
C. （5，0）（7，4）
D. （5，0）（8，4）
6、菱形的周长为4，一个内角为60 ，则较短的对角线长为（）
A．2 B． 3 C．1 D．2 3
7、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50.
(2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD∶CE=1：2. 其中正确的有（）
A 5个
B 4个
C 3个
D 2个
三、解答题
1、如下图，在正方形ABCD中，G为BC边上任意一点(与点B、C不重合)，AE⊥DG于点E，CF∥AE交DG与点F。

求证：AE=FC+EF。